Exercices sur les systèmes d'équations linéaires

Questions

  1. Résoudre les systèmes suivants d'inconnues réelles x et y, avec un éventuel paramètre mR.
  2. Résoudre les systèmes suivants à l'aide de la méthode du pivot de Gauss

    Problèmes d'application

    Dans le plan muni d'un repère cartésien, déterminer l'intersection des droites d'équations y = 2x + 7 et y = 4 − x puis déterminer une équation sous forme canonique de la droite passant par les points A (−2 ; 3) et B (3 ; −1).

    Déterminer les coefficients du polynôme du second degré P tel que P(1) = 3, P(2) = 1 et P(3) = 0.
    Quelles sont les solutions en remplaçant la deuxième condition par P′(2) = 1 ? et par P′(2) = 0 ?

    Soit nN avec n ≥ 2. Résoudre le système formé par les équations xi + xi+1 = 0 pour tout entier i entre 1 et n−1 et l'équation xn + x1 = 0.

    Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout xR \ {1 ; 3}, 1/(x − 1)2(x − 3) = ax + b/(x − 1)2 + c/(x − 3)
    ENSAI 2008 Exercice 1
    Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout θR \ {1 ; 3}, cos(5θ) = a cos5(θ) + b cos(θ)3 + c cos(θ).
    Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout nN, k=0n k2 = an3 + bn2 + cn.

    Soit λR. On considère le système {(2 − λ)xy + z = 0xλyz = 02x − 4y − (1 + λ)z = 0.

    1. Résoudre le système dans le cas particulier λ = 2.
    2. En supposant λ ≠ 2, montrer à l'aide du pivot de Gauss que le système peut se réécrire {2x − 4y − (1 + λ)z = 0(2 − λ)y + λ−1/2z = 0P(λ)/2 − λ z = 0P est un polynôme du second degré que l'on déterminera.
    3. En déduire que le système admet une solution non nulle si et seulement si λ est une racine de P.
    ENS 2013
    Déterminer les valeurs de λR pour lesquelles le système n'est pas de Cramer dans chacun des cas suivants.
    • {x + y = λxy = λy
    • {x + y = λxx + 2y = λy
    ENS 2012 exercice I B