Variables aléatoires sur un univers fini

Notions
variable aléatoire, loi de probabilité, support
Définitions
loi uniforme, loi de Bernoulli et loi binomiale, espérance et variance, indépendance de variables aléatoires
Résultats
espérance et variance de la loi uniforme, espérance et variance de la loi de Bernoulli, espérance et variance de la loi binomiale, théorème de transfert, linéarité de l’espérance, formule de König-Huygens, propriété quadratique de la variance
Compétences
calcul de la loi d’une variable aléatoire, de son espérance et sa variance, notamment un maximum ou un minimum de variables indépendantes.

Définitions et exemples

Sur un ensemble fini Ω muni d'une loi de probabilité P, une variable aléatoire X est simplement une application de Ω dans un ensemble E. On note alors pour tout xE, P(X = x) = P(X−1{x}).

Le support de X est son ensemble image X(Ω). La loi de probabilité de X est l'application xP(X = x) de X(Ω) vers l'intervalle [0 ; 1].

Définition
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur un ensemble fini non vide A si pour tout kA, on a P(X = k) = 1/Card(A).
On note alors X 𝒰(A).

En particulier, si A est un intervalle d'entiers de la forme [[a ; b]], alors Card(A) = ba + 1.

Soit p ∈ ]0 ; 1[. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de Bernoulli de paramètre p sur {0 ; 1} si P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p.
On note alors X ℬ(p).

On peut parler aussi de variable de Bernoulli sur une autre paire de valeurs que {0 ; 1} mais il faut alors préciser quelle est la valeur dite de succès, dont la probabilité est égale au paramètre.

Espérance

Si l'ensemble des valeurs d'une variable aléatoire réelle X s'écrit X(Ω) = {x1, … , xn}, l'espérance de X s'écrit E(X) = i=1n xi P(X = xi).

Théorème de transfert
Si X est une variable aléatoire et f une fonction réelle définie sur X(Ω) alors la composée est une variable aléatoire réelle, notée f(X), et en notant X(Ω) = {x1, … , xn} on trouve E(f(X)) = i=1n f(xi) P(X = xi).
Linéarité de l'espérance
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles sur l'univers fini Ω. Pour tout λR on a E(λX + Y) = λE(X) + E(Y).
Positivité de l'espérance
Soit X une variable aléatoire réelle sur l'univers fini Ω. Si ses valeurs sont positives alors E(X) ≥ 0.
Croissance de l'espérance
Soit X et Y deux variables aléatoires réelles sur l'univers fini Ω. Si pour tout ω ∈ Ω on a X(ω) ≤ Y(ω) alors on a E(X) ≤ E(Y).

Variance

La variance d'une variable aléatoire X est définie par V(X) = E((XE(X))2).

Si X(Ω) = {x1, … , xn} on peut donc calculer V(X) = i=1n (xiE(X))2 P(X = xi). La variance d'une variable déterministe est donc nulle. Mais pour calculer la variance d'une variable aléatoire en général on passe plutôt par la formule suivante.

Formule de König-Huygens
V(X) = E(X2) − (E(X))2
Propriété
La variance est toujours positive.
La variable aléatoire (XE(X))2 est positive donc son espérance est positive aussi.
Propriété
Si X est une variable aléatoire réelle alors pour tout cR on a V(X + c) = V(X).
Propriété
La variance est quadratique : pour tout λR, pour toute variable aléatoire réelle X sur Ω, on trouve V(λX) = λ2 V(X).

Loi binomiale

Définition
Soit nN et p ∈ ]0 ; 1[. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi binomiale de paramètres n et p si pour tout k ∈ [[0 ; n]], P(X = k) = (kn) pk(1 − p)nk.
On note alors X ℬ(n, p).

Cette loi se ramène à la loi de Bernoulli dans le cas n = 1

Propriété
Une variable suivant une loi binomiale de paramètres n et p a pour espérance np et pour variance np(1 − p).

Indépendance

Définition
Deux variables aléatoires réelles discrètes X et Y sont dites indépendantes si pour tout (x, y) ∈ R2 on a P(X = x et Y = y) = P(X = x) P(Y = y).

Comme pour les évènements, l'indépendance mutuelle de trois variables aléatoires ou plus est une propriété plus forte que l'indépendance des variables deux à deux.

Définition
Soit (X1, … , Xn) une famille de variables aléatoires discrètes. On dit que les variables qui composent cette famille sont mutuellement indépendantes si pour tout (x1, … , xn) ∈ Rn, on a P(∀i, Xi = xi) = i=1n P(Xi = xi).
Propriété
Soit (X1, … , Xn) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. Alors i=1n Xi suit la loi binomiale de paramètres n et p.