Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Énoncés

Loi de probabilité sur un ensemble fini

Exercice
Calculer l'espérance et la variance pour la face apparente lors du lancer d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. Calculer l'espérance et la variance de la somme des résultats apparents de 2 dés.
Exercice
Dans une classe de 30 élèves, trois élèves n'ont pas fait leur exercice et l'enseignant récupère dix cahiers au hasard. Calculer la probabilité que tous les cahiers relevés contiennent l'exercice demandé, puis la loi du nombre de cahiers fautifs et son espérance.
Exercice
Un couple décide d'avoir des enfants jusqu'à en avoir quatre ou jusqu'à avoir un fils. On suppose qu'à chaque naissance le sexe de l'enfant est équiprobable et indépendant des naissances antérieures. Déterminer la loi du nombre d'enfants, la probabilité d'avoir un garçon et l'espérance du nombre de filles.
Exercice
Un lot de 500 pièces passe sur une machine pour la finition. Il s’avère que chaque pièce a une probabilité égale 0,015 d’être ratée.
On prélève 10 pièces dans le lot après passage dans la machine et on désigne par X le nombre de pièces pour laquelle l’opération a échoué. Quelle est la loi suivie par X ? Donner son espérance et sa variance.
Ecricome 2000 exercice 2
Exercice
On lance deux dés équilibrés à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on gagne un nombre de points égal à la somme des deux valeurs obtenues. Si les deux dés affichent la même valeur, on gagne en plus la valeur obtenue par un lancer de dé supplémentaire.
  1. Calculer l’espérance du nombre de points obtenus.
  2. Un joueur a obtenu 12 points. Calculer la probabilité qu’il ait commencé par obtenir deux valeurs identiques.
Exercice
On considère deux pièces, l’une équilibrée, l’autre biaisée avec une probabilité p ∈ ]0 ; 1[ d’obtenir « pile », sans qu’on puisse les distinguer visuellement.
On doit effectuer 2n lancers et on note X le nombre de fois où l’on obtient le côté « pile ». Calculer l’espérance de X dans chacun des cas suivants.
  1. On choisit une des deux pièces au hasard et on la lance 2n fois.
  2. On lance n fois chacune des deux pièces.
Exercice
On tire successivement et sans remise deux tickets d’une urne qui en contient 100, numérotés de 1 à 100. Pour tout entier k entre 1 et 99, calculer la probabilité que les deux numéros obtenus diffèrent de k. En déduire l’espérance de cet écart.
Exercice
Un premier lancer de dé standard donne la valeur k. Exprimer en fonction de k la probabilité qu'un second lancer donne un résultat strictement supérieur.
Si on obtient un deuxième résultat strictement supérieur, on gagne la somme des deux résultats, sinon on ne gagne rien. Expliciter en fonction de k l'espérance du gain au deuxième lancer.
Exercice
Soit Y une variable aléatoire réelle positive ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Démontrer la relation suivante : y ≥ 0,   E(Y) ≥ y P(Yy).
On pourra écrire E(Y) = E(Y 1Yy) + E(Y 1Y < y), où 1Yy est la variable aléatoire qui vaut 1 si Yy et 0 sinon, ainsi on a toujours 1Yy + 1Y < y = 1.
EN 2014 exercice 2 : théorème de Weierstrass (préliminaires)
Exercice
Soit nN et k ∈ ⟦1 ; n. On considère une urne contenant k boules rouges et nk boules blanches. On tire successivement toutes les boules de l’urne sans remise et on note X le rang de la première boule rouge.
Déterminer la loi de X et préciser son espérance.

Loi de probabilités sur un ensemble infini

Exercice
Calculer la probabilité d’obtenir une valeur paire pour une variable géométrique, de Poisson ou pour une variable binomiale.
Pour la variable de Poisson, on pourra utiliser la série exponentielle pour x = λ et pour x = −λ.
Exercice
Calculer la loi de probabilité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de même paramètre p.
Même question avec la différence.
Exercice
Le nombre de clients dans une file d'attente suit une loi de Poisson de paramètre λ = 6. Chaque client a une chance sur deux d'être traité rapidement et une chance sur deux d'entrainer un retard indéterminé. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucun retard indéterminé ?
Exercice
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi de Poisson de paramètre λR+∗.
Soit nN. Déterminer la loi de X sachant X + Y = n.
Exercice
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[.
Soit nN. Déterminer la loi de X sachant max(X, Y) = n.

Processus stochastiques

Exercice
On lance un dé standard à 6 faces jusqu'à obtenir un 6. On note X le nombre de lancers effectués. Expliciter l'ensemble des valeurs possibles pour X, puis sa loi de probabilité. En particulier, calculer P(X = 6).
Exercice
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On procède à l'expérience suivante : on tire une boule et si elle est blanche, on la remet dans l'urne avec une boule blanche supplémentaire et on recommence ; sinon on note X le nombre de tirages effectués.
Pour tout nN, on note An l'évènement « on tire n boules blanches d'affilée depuis le début de l'expérience ». Calculer PAn(An+1) puis P(An) et P(X = n) pour tout nN Démontrer que limn→+∞ P(An) = 0 puis que X est une variable aléatoire réelle discrète.
Exercice
Reprendre l'exercice précédent en rajoutant une boule noire au lieu de rajouter une boule blanche.
Exercice : Urne de Polya
On considère une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire. On tire successivement et avec remise une boule de l’urne en rajoutant une boule de la même couleur. On note Bn le nombre de boules blanches dans l’urne avant le n-ième tirage. En particulier, on a B1 = 1.
  1. Déterminer la loi de B2 et de B3.
  2. Pour tout (n, k) ∈ N × N, exprimer la probabilité P(Bn+1 = k) en fonction de la loi de Bn.
  3. Déterminer la loi de probabilité de Bn pour tout nN.
Exercice
Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On considère une urne contenant n boules numérotées de 1 à n et on en extrait trois boules distinctes. On note X, Y et Z les numéros des trois boules dans l’ordre décroissant.
  1. Déterminer la loi de X et de Z à l’aide de leurs fonctions de répartition.
  2. Montrer que pour tout k ∈ ⟦3 ; n − 2⟧, P(X = k) + P(Y = k) + P(Z = k) = 3/n.
  3. Déterminer la loi de Y.
Exercice
On considère deux pièces, l’une équilibrée, l’autre biaisée avec une probabilité p ∈ ]0 ; 1[ d’obtenir « pile », sans qu’on puisse les distinguer visuellement. On lance alternativement les deux pièces jusqu’à ce que l’une ait donné « pile » et l’autre « face ». À partir de ce moment-là, on ne lance plus que celle qui a donné « pile ». Pour tout nN, on note An le fait d’obtenir le même côté au k-ième lancer de chaque pièce pour tout k ∈ ⟦1 ; n, puis d’obtenir « pile » et « face » au cours des deux lancers suivants. On note aussi X le nombre de « pile » obtenus au cours de ces 2n premiers lancers. Calculer l’espérance de X.
Exercice
On considère une suite (Xn)nN de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme dans ⟦1 ; 2⟧ et on pose pour tout nN, Sn = k=1n Xk.
  1. Pour tout nN, déterminer la loi de Sn, calculer son espérance et sa variance.
  2. On note N le plus petit entier tel que SN ≥ 4. Pour tout nN, déterminer la probabilité d’avoir N = n sachant SN = 4.

Problèmes

Problème
Soit aN et (X1, … , Xn) une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur ⟦1 ; a.
  1. Déterminer la loi de M = max(X1, … , Xn) et celle de L = min(X1, … , Xn).
    On pourra calculer pour tout k ∈ ⟦1 ; n, P(Mk) = P(X1k, X2k, … , Xnk).
  2. Calculer l’espérance et la variance de M et de L.
Problème
Soit kN. On lance k dés distincts mais tous équilibrés avec 6 faces numérotées de 1 à 6. On gagne la somme des valeurs obtenues si elles sont deux à deux distinctes et on ne gagne rien sinon.
  1. Calculer la probabilité de l’évènement A selon lequel toutes les valeurs obtenues sont deux à deux distinctes.
  2. Montrer que le résultat X d’un dé fixé est indépendant de A.
  3. En déduire que l’espérance du gain s’écrit E(Gk) = k P(A) E(X) et calculer cette espérance.
  4. Déterminer la valeur de k qui maximise l’espérance du gain.
    On pourra résoudre l’équation E(Gk+1) ≤ E(Gk).
Problème
Soit kN. On lance k dés distincts mais tous équilibrés avec 6 faces numérotées de 1 à 6. On gagne la somme des valeurs obtenues si aucune ne vaut 6 et on ne gagne rien sinon.
  1. Calculer la probabilité de l’évènement A selon lequel aucun dé ne donne la valeur 6.
  2. Montrer que le résultat X de chaque dé satisfait la relation pour tout i ∈ ⟦1 ; 5⟧, PA(X = i) = 1/5.
  3. En déduire que l’espérance du gain s’écrit E(Gk) = k i=15 P(A) i/5 et calculer cette espérance.
  4. Déterminer la valeur de k qui maximise l’espérance du gain.
    On pourra résoudre l’équation E(Gk+1) ≤ E(Gk).
Problème : Taux de panne
Ecricome 2012

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N telle que pour tout nN, P(Xn) > 0. On appelle taux de panne associé à X la suite réelle (xn) définie pour tout nN par xn = PXn(X = n).

  1. Montrer que pour tout entier n non nul, xn = P(X = n) / P(Xn).
  2. Si Y est une variable géométrique de paramètre p, calculer son taux de panne.
  3. On considère une variable aléatoire Z satisfaisant pour tout entier naturel n non nul, P(Z = n) = 1 / n(n + 1).
    1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout nN, 1 / n(n + 1) = a / n + b / n + 1.
    2. Vérifier qu'avec cette définition on trouve n=1+∞ P(Z = n) = 1.
    3. La variable Z admet-elle une espérance ?
    4. Pour tout entier n ≥ 1, calculer la probabilité P(Zn) puis calculer le taux de panne associé à Z.
  4. Soit X une variable aléatoire admettant un taux de panne noté (xn).
    1. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, P(Xn) = k=1n−1 (1 − xk).
    2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, P(X = n) = xk k=1n−1 (1 − xk).
    3. Déterminer les lois de variable aléatoire discrète à taux de panne constant.
Problème
Une grille de Loto est remplie en choisissant 5 numéros distincts parmi 49 et un numéro « chance » parmi 10.
  1. Calculer le nombre de manières de remplir la grille et en déduire une valeur approchée de la probabilité de trouver tous les bons numéros (y compris le numéro chance).
  2. Pour tout entier k entre 2 et 5, calculer le nombres de grilles obtenant k bons numéros (sans tenir compte du numéro chance) et en déduire des valeurs approchées des probabilités associées.
  3. La répartition des gains est donnée par le tableau suivant (voir le règlement du jeu page 17).
    Numéros trouvés Part des gains
    5 + chance 19,53 %
    5 sans chance 5,06 %
    4 10,89 %
    3 4,72 %
    2 33,72 %

    Sur les cinq millions d'euros répartis en moyenne (représentant 53 % des mises), calculer le gain moyen sur chaque tranche ainsi que le nombre de gagnants qui se partagent ce gain moyen.

Problème
ENS 2014 exercice 2 partie 1
Soit p ∈ [0 ; 1] et X1, …, Xn des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi ℬ(p).
  1. Donner la loi de Sn = i=1n Xi. Donner son espérance et sa variance.
  2. On note Xn = Sn/n. Montrer l'inégalité Var(Xn) ≤ 1/4n.
  3. Soit f une fonction de [0 ; 1] dans R. On pose pour tout tR, Qn(t) = k=0n (kn) f(k/n)tk (1 − t)nk. Montrer les égalités E(f(Xn) = Qn(p) et Qn(p) − f(p) = k=0n (f(k/n)f(p)) (kn) tk (1 − t)nk.
Problème : Variables aléatoires avec une loi conditionnelle
HEC 2012 exercice 3

Soit (Xn)nN une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, P), indépendantes et suivant toutes la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p.

Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N, indépendante des variables aléatoires Xn.

Pour tout ω ∈ Ω, on pose Y(ω) = i=1N(ω) Xi et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P).

Pour tout nN, on pose Sn = i=1n Xi.

On pourra utiliser sans justification la formule suivante : pour tout (r, s) N2 avec rs, on a j=rs (rj) = (r+1s+1).

  1. Montrer que la loi de S2 est donnée par S2(Ω) = N ∖ {0 ; 1} et pour tout k ≥ 2, P(S2 = k) = (k − 1) p2 qk−2.
  2. Déterminer pour tout entier n ≥ 2, la loi de X1 conditionnellement à l’évènement {S2 = n}.
    1. Déterminer Sn(Ω).
    2. En utilisant la formule de l’énoncé et à l’aide d’une relation de récurrence sur n, montrer que pour tout kSn(Ω), P(Sn = k) = (n−1k−1).
    1. En utilisant le fait que Sn−1 est une variable aléatoire, établir l’égalité k=n+∞ (n−2k−2) qkn = 1/pn−1.
    2. Vérifier que pour tout entier n ≥ 2 et pour tout entier kn, on a n − 1/k − 1 (n−1k−1) = (n−2k−2) .
    3. Soit Rn la variable aléatoire définie par Rn = n − 1/Sn − 1. Montrer que l’espérance de Rn est égale à p.
    1. Déterminer Y(Ω).
    2. Pour tout couple (k, n) ∈ (N)2, montrer que P({Y = k} ∩ {N = n}) = P(Sn = k) × P(N = n).
    3. Pour tout couple (k, n) ∈ (N)2 tel que k < n, donner la valeur de P({Y = k} ∩ {N = n}).
    4. Déduire des questions précédentes que pour tout kN, P(Y = k) = n=1k P(Sn = k) × P(N = n).
  3. On suppose dans cette question que N suit la loi géométrique de paramètre p. Montrer que Y suit la loi géométrique de paramètre p2.
  4. On suppose réciproquement que Y suit la loi géométrique de paramètre p2.
    1. Montrer que P(N = 1) = p.
    2. Montrer également que P(N = 2) = pq.
    3. À l’aide d’une démonstration par récurrence, montrer que N suit la loi géométrique de paramètre p.

Annales

Ecricome 2006 problème 2
Nombre de lancers à pile ou face avant la première apparition de deux piles consécutifs
Ecricome 2008 (page 306)
Entropie des variables aléatoires discrètes
Ecricome 2012
Taux de panne
Ecricome 1999 second problème parties I et II
Ecricome 2007 problème 2
Fonction génératrice des lois binomiale et uniforme discrète, puis étude d'une population de bactéries.
Ecricome 2011 problème 2
Indice de concentration d'une variable discrète
ENS 2010 exercice III
Proportion de fraudeurs au fisc
ENS 2011 exercice II
Temps moyen de retour à l'équilibre dans un jeu de pile ou face.
ENS 2015 exercice 3
Convergence en loi d'une somme de variables uniformes
Ecricome 2011 problème 2
Indice de concentration d'une variable exponentielle
ENS 2016 exercice 1 deuxième et quatrième partie
ENS 2017 exercice
Distribution de balles dans des urnes de façon équiprobable et indépendante
ENS 2017 problème A
Série associée à une variable aléatoire discrète
ENS 2008 exercice II
Matrice à coefficients aléatoires indépendants suivant une loi de Bernoulli