Logique |
réciproque
et contraposée
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prédicat,
conjonction,
disjonction,
implication,
négation,
quantificateur universel ou existentiel,
condition nécessaire et condition suffisante
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lois de De Morgan, négation d’une implication |
tables de vérité, Modus ponens, induction, abduction |
exprimer une réciproque ou une contraposée,
nier un prédicat,
procéder par disjonction de cas, raisonner par l’absurde |
1 |
Entiers naturels |
commutativité, associativité, distributivité |
opérations, neutre, relation d’ordre, principe de récurrence, symbole somme, divisibilité, parité |
opérations sur les puissances, somme d’une constante, somme des puissances, nombres triangulaires |
division euclidienne, expression des nombres impairs, critères de divisibilité, nombre premier ou composé, caractérisation des nombres composés, théorème fondamental de l’arithmétique |
appliquer les opérations arithmétiques élémentaires sur les entiers dont la division euclidienne, décomposer en facteurs premiers, démontrer une propriété par récurrence |
1 |
Notion d’ensemble |
inclusion, réunion, intersection, complémentaire, ensembles disjoints |
appartenance, ensemble vide, ensembles de nombres, produit cartésien, partie, ensemble des parties |
propriétés des opérations ensemblistes |
partition, schémas d’axiomes de compréhension et de remplacement |
démontrer une inclusion ou une égalité d’ensembles, démontrer une propriété universelle ou existentielle |
1 |
Nombres réels |
intervalles, intervalles d’entier, partie majorée, minorée, bornée, maximum, minimum, borne supérieure ou inférieure, valeur absolue |
opposé, inverse, signe, droite réelle continuée, intervalle dégénéré, racine carrée |
identités remarquables, produit nul, règle des signes, propriété de la borne supérieure, factorisation et signe d’un trinôme du second degré, inégalité triangulaire |
structure de corps, inégalité de Bernoulli, axiome de fondation des entiers naturels, partie entière et partie fractionnaire |
appliquer les opérations arithmétiques sur les fractions dont la puissance et la réduction, comparer des fractions, réduire des radicaux d’entiers, développer et factoriser, résoudre des équations du premier et du second degré, des équations avec radicaux ou avec valeur absolue, représenter des intervalles sur un axe orienté,
exprimer des inégalités à l’aide d’intervalles et réciproquement
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2 |
Droites du plan en géométrie analytique et systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues |
équation cartésienne de droite, axes et bissectrices |
coordonnées, équation réduite, droite horizontale ou verticale, coefficient directeur, ordonnée à l’origine, position relative de deux droites, symétrie par rapport à un axe |
équation d’une droite passant par deux points,
critère de parallélisme |
système de deux équations linéaires à deux inconnues |
réduire une équation de droite,
tracer une droite à partir de son équation,
déterminer une équation de droite par lecture graphique
et par le calcul,
déterminer la position relative de deux droites
et les coordonnées de leur éventuel point d’intersection,
déterminer une représentation paramétrique de droite |
1 |
Fonctions réelles d’une variable réelle |
fonctions affines, linéaires, cube,
sens de variation, parité, majoration, minoration, bornes |
domaine de définition, courbe représentative, position relative de deux courbes de fonctions, point fixe, intervalle stable |
sens de variation des fonctions de référence |
composée de fonctions monotones,
caractérisation géométrique de la parité, caractérisation des fonctions bornées |
déterminer le domaine de définition, la position relative de deux courbes de fonction, le sens de variation par composition de fonctions de référence, représenter graphiquement les fonctions de référence |
1 |
Analyse de fonction sur un segment |
nombre dérivé, tangente à une courbe |
continuité en un point, application réciproque, racine n-ième, taux d’accroissement, dérivée à gauche ou à droite, développement limité à l’ordre 1, extremum global ou local |
théorème des valeurs intermédiaires et corolaires, théorème des bornes, continuité en un point de dérivabilité, dérivée des fonctions de référence, équation de la tangente, opérations sous la dérivation, condition d’existence pour un extremum local, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalités des accroissements finis |
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justifier la continuité et la dérivabilité, justifier l’existence et l’unicité d’une solution à une équation sur un intervalle, calculer la dérivée et en déduire les variations d’une fonction |
1 |
Suites réelles |
suite arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique, factorielle, suite majorée, minorée, bornée |
fonction de récurrence, symbole produit |
terme général d’une suite arithmétique ou géométrique |
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étudier les variations, la majoration et la minoration d’une suite, déterminer le terme général d’une suite arithmético-géométrique, déterminer une relation de récurrence pour une suite auxiliaire |
1 |
Vecteurs colonnes à composantes réelles et systèmes linéaires |
famille libre ou génératrice, base, sous-espace vectoriel,
espace vectoriel engendré,
système de Cramer, système homogène |
vecteur colonne, composante, addition de vecteurs et multiplication scalaire, combinaison linéaire et coefficients, coordonnées, base canonique, droite vectorielle, espace vectoriel engendré |
équation de produit nul, caractérisation des bases, classification des sous-espaces vectoriels de R2
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appliquer l’algorithme de Gauss,
calculer une combinaison linéaires de vecteurs,
déterminer si deux vecteurs sont colinéaires,
déterminer si un vecteur est engendré par une famille de vecteurs,
déterminer si une famille est libre et si elle est génératrice,
calculer les coordonnées d’un vecteur dans une base,
déterminer si un ensemble de vecteurs constitue un sous-espace vectoriel,
décrire un sous-espace vectoriel à l’aide d’équations ou comme un sous-espace engendré |
1 |
Limite de suite |
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fonction de récurrence, convergence |
caractère borné d’une suite convergente, passage à la limite des inégalités, unicité de la limite, théorème de comparaison, théorème d’encadrement, limite d’une suite géométrique, comparaison de croissance, limite d’une suite monotone |
limite d’une suite définie par récurrence |
étudier la convergence d’une suite définie par son terme général ou par récurrence |
1 |
Limite de fonction |
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voisinage, limite, prolongement par continuité, asymptote |
théorème de comparaison, théorème d’encadrement, limites d’une fonction monotone |
extension du théorème des valeurs intermédiaires,
théorème de la limite de la dérivée, asymptote |
déterminer l’existence d’une limite, calculer la limite |
1 |
Régression linéaire |
moyenne arithmétique |
variable explicative, erreur |
coefficient de régression par la méthode des moindres carrés |
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calculer un coefficient de régression |
1 |
Exponentielle et logarithme |
fonctions puissances, exponentielles et logarithmes généralisés |
exponentiation |
caractérisation de la fonction exponentielle, propriétés algébriques et limites, dérivée du logarithme, expression de la racine n-ième, comparaison de croissance |
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tracer l’allure des courbes, calculer des limites, dériver une expression, exprimer une puissance avec l’exponentielle, |
Trigonométrie |
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quadrants, cercle trigonométrique, angle polaire, fonctions trigonométriques et réciproques, sens direct, angle |
formules trigonométriques, parité, valeurs remarquables, dérivées et limites |
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tracer l’allure des courbes de fonctions trigonométriques, |
Nombres complexes |
conjugué et module, racine de l’unité |
parties réelle et imaginaire |
règles de calcul, formule de l’inverse, inégalité triangulaire, formules d’Euler et de De Moivre, somme et produit des racines de l’unité |
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calculer le module, le conjugué, l’inverse, résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans C, calculer la racine carrée sous forme algébrique, déterminer l’argument, linéariser un polynôme trigonométrique, exprimer les racines d’ordre supérieur en notation exponentielle |
Dénombrement |
ensemble fini, permutation, arrangement, combinaison, coefficients binomiaux |
cardinal, singleton, paire |
cardinal d’une réunion, cardinal du complémentaire, cardinal du produit cartésien, cardinal des ensembles de réféfence, relation du triangle de Pascal, expression des coefficients binomiaux avec la factorielle, binôme de Newton |
principe des tiroirs de Dirichlet, formule du crible de Poincaré, lemme du berger, différence des puissances |
justifier qu'un ensemble est fini ou non, identifier le type des éléments d'un ensemble (liste, partie, application, bijection, arrangement, combinaison), calculer le cardinal d'un ensemble fini, calculer un coefficient binomial |
1 |
Matrices |
produit matriciel, transposée, trace, matrice inversible, déterminant d’une matrice carrée de taille 2 |
matrice ligne, colonne, élémentaire, identité, carrée, triangulaire, diagonale, scalaire |
transposée du produit, trace du produit, caractérisation de l’inversibilité, unicité de l’inverse, inverse du produit,
inversibilité des matrices carrées de taille 2 |
structure vectorielle |
calculer l’inverse d’une matrice, résoudre un système à l’aide de la matrice inverse |
Probabilités |
évènements incompatibles, système complet d’évènements, probabilité conditionnelle, évènements indépendants |
univers, évènement, évènement contraire, |
axiomes de la probabilité, formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes |
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Dimension et rang |
dimension d’un sous-espace vectoriel, rang d’une matrice |
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théorème de la base incomplète, existence d’une base,
taille des familles libres et génératrices,
théorème de la dimension, dimension d’un sous-espace |
formule de Grassmann |
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Intégration sur un segment |
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linéarité, relation de Chasles, monotonie, inégalité de la moyenne, théorème fondamental de l’analyse, primitive de fonctions usuelles, intégration par parties, changement de variable |
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calculer une intégrale, déterminer une primitive à l’aide d’une intégrale |
Variables aléatoires à support fini |
fonction de répartition, quantile, variable de Bernoulli, loi de Bernoulli, loi uniforme |
variable aléatoire, loi, indicatrice d’un évènement |
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Applications linéaires |
noyau, rang, matrices équivalentes, isomorphisme |
représentation matricielle |
caractérisation de l’injectivité, caractérisation du rang par une matrice équivalente, théorème du rang, caractérisation d’un isomorphisme, dimension de sous-espaces isomorphes |
réciproque d’un isomorphisme |
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Séries |
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paradoxe de Zénon |
série géométrique, série de Riemann, sommation d’inégalités, série exponentielle |
série téléscopique |
déterminer la convergence d’une série, calculer une série à l’aide de séries de référence |
Variables aléatoires discrètes |
loi géométrique, loi binomiale, loi de Poisson, espérance, moment d’ordre k, variance, écart type |
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somme de variables de Bernoulli, somme de variables binomiales, espérance et variance de lois de référence, formule de Koenig-Huygens, caractère quadratique de la variance,
formule de transfert, variable de variance nulle, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, convergence de lois binomiales vers une loi de Poisson |
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Espaces vectoriels |
espace vectoriel de dimension finie, application linéaire, endomorphisme, isomorphisme, sous-espace vectoriel, application linéaire, base, dimension |
espace des applications linéaires, des fonctions polynômes, des fonctions de classe C^k |
composée d’applications linéaires, réc |
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montrer qu’un ensemble constitue un espace vectoriel, montrer qu’une application est linéaire ou définit un endomorphisme ou un isomorphisme |
Covariance |
indépendance, covariance, coefficient de corrélation linéaire |
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bilinéarité de la covariance, invariance d’échelle,
covariance de variables indépendantes,
espérance du produit et variance de la somme de variables indépendantes de second moment fini |
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Applications entre ensembles |
restriction, injectivité, surjectivité, bijectivité, application réciproque, identité, image directe et image réciproque, composée |
ensemble source, but, graphe, image et antécédent, diagramme sagittal |
images directe et réciproque de la réunion ou de l’intersection, composée de fonctions injectives, surjectives ou bijectives |
projection |
déterminer l’injectivité ou la surjectivité, déterminer une image directe ou réciproque, exprimer la réciproque, exprimer une composée |
2 |
Analyse locale |
limite finie (à gauche ou à droite) en un réel, continuité en un point, prolongement par continuité, taux d’accroissement, nombre dérivé, tangente à une courbe, extremum global ou local |
voisinage |
continuité en un point de dérivabilité, dérivée des fonctions de référence, équation de la tangente, opérations sous la dérivation, condition d’existence pour un extremum local |
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étudier la continuité ou de la dérivabilité d’une fonction éventuellement définie par morceaux, calculer la dérivée |
Analyse asymptotique |
limite |
asymptote verticale, horizontale, oblique, branche parabolique |
théorème de comparaison, théorème d’encadrement, théorème des limites d’une fonction monotone |
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Analyse globale |
racine n-ième |
théorème des valeurs intermédiaires et extensions, théorème des bornes, théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalités des accroissements finis, théorème de la limite de la dérivée |
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justifier l’existence et l’unicité d’une solution à une équation sur un intervalle |
Statistique descriptive |
effectif total, fréquence, mode, fréquences et effectifs cumulés croissants, médiane et autres quantiles, moyenne, variance, écart interquartile |
variable quantitative ou qualitative, discrète ou continue, |
formule de Koenig, effet d’une transformation affine sur la moyenne et la variance |
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calcul des indicateurs statistiques pour une variable numérique discrète, représentation à l’aide d’un diagramme en bâtons, tracé de la courbe polygonale des fréquences ou effectifs cumulés croissants pour une variable continue, lecture graphique des quantiles et calcul, représentation d’un histogramme, interprétation des indicateurs |
Vecteurs du plan euclidien |
vecteur nul, addition et multiplication scalaire, colinéarité, repère, translation |
vecteur |
structure de l’ensemble des vecteurs, critère de colinéarité, caractérisation de l’alignement, décomposition d’un vecteur |
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calcul des coordonnées, image par une translation, décomposition d’un vecteur sur deux vecteurs non colinéaires |
Limite de suite |
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Dénombrement |
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Espaces vectoriels |
espace vectoriel, sous-espace vectoriel, somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires |
représentation paramétrique |
caractérisation des sous-espaces vectoriels, stabilité par intersection, caractérisation des sous-espaces supplémentaires |
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justifier une structure de (sous) espace vectoriel, donner une représentation paramétrique, calculer une intersection, démontrer une somme directe |
Polynômes |
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Applications linéaires |
noyau, isomorphisme, endomorphisme |
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inverse d’un isomorphisme, image directe et réciproque d’un sous-espace vectoriel, caractérisation d’une application linéaire injective, surjective ou bijective |
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calculer le noyau et l’image |
Fonction négligeable et équivalents |
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Développement limité |
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Dimension finie |
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Géométrie analytique dans le plan |
droite horizontale ou verticale, axes et bissectrices, position relative de deux droites, symétrie par rapport à un axe, distance entre deux points, milieu d’un segment |
coordonnées, équation cartésienne de droite, équation réduite, coefficient directeur, ordonnée à l’origine, système de deux équations linéaires à deux inconnues, segment |
critère de parallélisme, inégalité triangulaire, coordonnées du milieu |
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détermination d’une équation de droite passant par deux points distincts, résolution d’un système de deux équations à deux inconnues (avec ou sans paramètre littéral),
calcul des coordonnées de l’intersection de deux droites, calcul des coordonnées du milieu d’un segment |