Analyse de fonction sur un segment

Continuité

Définition

Soit f une fonction réelle définie en un réel a.
On dit que f est continue en a si pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) il existe un intervalle ouvert I de a tel que pour tout x ∈ I ∩ D on a f(x) ∈ J.

Exemple

Les fonctions constantes, identité, inverse et racine carrée sont continues en chaque point de leur domaine de définition.

Soit f une fonction constante de valeur c définie sur un intervalle I. Soit a ∈ I. Pour tout intervalle ouvert J contenant f(a) = c, pour tout x ∈ I on a f(x) = c ∈ J.
Soit a ∈ R. Soit J un intervalle ouvert contenant id(a) = a. Pour tout x ∈ R on a l’équivalence id(x) ∈ J ⇔ x ∈ J.
Soit a ∈ R^∗+. Soit J un intervalle ouvert contenant 1/a. Il existe (b, c) ∈ J² tel que 0 < b < 1/a < c.
On a les équivalences pour tout x ∈ R : 1/x ∈ ]b, a[ ⇔ 1/b > x > 1/c.
Donc l'intervalle ]1/c ; 1/b[ est un intervalle ouvert contenant a qui convient. Le raisonnement est analogue sur R^∗−.
Soit a ∈ R^∗+. Soit J un intervalle ouvert contenant √a dans R⁺. On note J = ]b, c[. Pour tout x ∈ R⁺ on a les équivalences √x ∈ J ⇔ b < √x < c ⇔ b² < x < c².
De même, pour tout intervalle J ouvert et contenant 0, il existe (b, c) ∈ J² tel que b < 0 < c et on a les équivalences pour tout x ∈ R⁺, b < √x < c ⇔ x < c².

Propriété

Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle non dégénéré I. Si f et g sont toutes deux continues en un réel a ∈ I alors les fonctions f + g et f × g sont continues aussi en a.

Démonstration

Soit J un intervalle ouvert contenant f(a) + g(a). Il existe ε ∈ ]0 ; 1[ tel que ]f(a) + g(a) − ε, f(a) + g(a) + ε[ ⊂ J. Il existe aussi un intervalle ouvert I₀ contenant a tel que pour tout x ∈ I₀ ∩ I, on ait |f(x) − f(a)| < ε/2 et |g(x) − g(a)| < ε/2 donc |(f(x) + g(x)) − (f(a) + g(a))| < ε donc f(x) + g(x) ∈ J.
De même, il existe un intervalle ouvert I₁ contenant a tel que pour tout x ∈ I₁ ∩ I, on ait |f(x) − f(a)| < ε / 2/|g(a)| + 1, et un intervalle ouvert I₂ contenant a tel que pour tout x ∈ I₂ ∩ I, on ait |g(x) − g(a)| < ε / 2/|f(a)| + 1. Alors pour tout x ∈ I ∩ I₁ ∩ I₂ on trouve |f(x) × g(x) − f(a) × g(a)| ≤ |f(x)| × |g(x) − g(a)| + |f(x) − f(a)| × |g(a)| < ε.

Par récurrence, on obtient alors que toutes les fonctions puissances puis que toutes les fonctions polynômes sont continues sur R.

Propriété

Soit f une fonction réelle continue en un réel a. Soit g une fonction réelle continue en f(a). Alors la composée g ∘ f est continue en a.

Démonstration

Soit K un intervalle ouvert contenant g(f(a)). Il existe un intervalle ouvert J contenant f(a) tel que pour tout y ∈ V on a g(y) ∈ K. Il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x ∈ I on a f(x) ∈ J donc g(f(x)) ∈ K.

On en déduit notamment que l’inverse d’une fonction continue (et qui ne s’annule pas) est continue, puis que tout quotient de fonctions continues est continu sur son domaine de définition.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI): Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.

Démonstration

Supposons k < f(b). On peut poser par exemple A = {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ k} et c = sup A. On raisonne alors par l’absurde.

Si f(c) < k alors c < b et par continuité de f on a f(x) < k pour tout x sur un intervalle à droite de c, ce qui contredit le fait que c soit un majorant de l’ensemble A.
Si f(c) > k alors c > a et par continuité de f on a f(x) > k pour tout x sur un intervalle à gauche de c, donc il existerait d’autres majorants de A strictement inférieurs à c.

Théorème des bornes: Toute fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Démonstration

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b].

On note A = {x ∈ [a, b] : f est bornée sur [a, x]}. Cet ensemble contient a donc il est non vide et il est majoré par b. On peut donc noter c = sup(A).

La fonction f étant continue en c, elle est bornée sur un intervalle ouvert contenant c. Or elle est bornée à gauche de cet intervalle donc elle est bornée sur [a, c].

Supposons c < b. Comme la fonction est bornée au voisinage de c, il existe d ∈ ]c, b[ tel que la fonction est bornée aussi sur [c, d]. Donc la fonction est bornée sur [a, d], ce qui est contradictoire avec la définition de c.

On obtient donc c = b donc la fonction est bornée sur [a, b].

On pose alors pour tout x ∈ [a, b], g(x) = sup({f(t), t ∈ [a, x]}) et pour tout x < a, g(x) = f(a). En particulier, on trouve g(b) = sup(f).

La fonction g est croissante et on pose s = inf({x ∈ [a, b] : g(x) = g(b)}.

Supposons f(s) < g(b). Il existe m ∈ ]f(s), g(b)[ et par continuité la fonction f est majorée par m sur un intervalle [s − ε, s + ε] et par g(s − ε) à gauche de cet intervalle, donc g(s + ε) < g(b), ce qui est contradictoire avec la définition de s.

Finalement, on trouve f(s) = sup(f) et on applique la propriété à −f pour démontrer que la borne intérieure est atteinte également.

Corolaire

L’image d’un segment réel par une fonction réelle continue est un segment.

Prolongement par continuité

Définition

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b et soit f une fonction réelle définie sur ]a, b[. On dit que f est définie au voisinage à droite de a et définie au voisinage à gauche de b.

Exemple

La fonction inverse est définie au voisinage à gauche et à droite en 0.

Définition

Un prolongement d’une fonction f définie sur un domaine D est une fonction f₁définie sur un domaine D₁ ⊃ D telle que pour tout x ∈ D, f₁(x) = f(x).

Autrement dit, la fonction f₁ est un prolongement de f si et seulement si f est une restriction de f₁.

Définition

Soit f une fonction réelle définie au voisinage (à gauche ou à droite) d’un réel a. On dit que f est prolongeable par continuité (à gauche ou à droite) en a si elle admet un prolongement défini et continu en a.

Exemple

La fonction x ↦ x² − 9/x − 3 est prolongeable par la valeur 6 en 3.

Propriété

Soit f₁ et f₂ deux prolongements par continuité d’une fonction f en un réel a. Alors f₁(a) = f₂(a).

Démonstration

Définition

Si f admet un prolongement par continuité f₁ en un réel a alors on dit que f admet une limite finie lorsque x tend vers a et on note lim_x→a f(x) = f₁(a).

Propriété

Si f et g sont toutes deux définies au voisinage à gauche (ou à droite) d’un réel a et toutes deux prolongeables par continuité en a, alors leur somme et leur produit aussi avec lim_x→a (f(x) + g(x)) = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x) et lim_x→a (f(x) × g(x)) = lim_x→a f(x) × lim_x→a g(x).

Nombre dérivé

Définitions

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I.

Le taux d’accroissement (ou taux de variation) de f entre deux réels a et b distincts dans I est le quotient (f(b) − f(a)) / (b − a), correspondant au coefficient directeur de la corde sur la courbe de f entre les points d’abscisse a et b.

Le nombre dérivé (resp. à gauche, resp. à droite) de f en a est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement (f(a+h) − f(a)) / h lorsque h tend vers 0 (resp. par valeurs inférieures, resp. par valeurs supérieures). On le note alors f′(a) ou Df(a) (resp. f′_g(a), resp. f′_d(a)) et on dit dans ce cas que la fonction f est dérivable (resp. à gauche, resp. à droite) en a.

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est alors la droite d’équation y = f′(a) × (x − a) + f(a).

Toute fonction constante sur un intervalle non dégénéré est dérivable en tout point de cet intervalle de nombre dérivé 0.
La fonction identité est dérivable en tout réel de nombre dérivé 1.
La fonction racine carrée est dérivable en tout réel strictement positif a de nombre dérivé 1 / 2√a.

Les taux d’accroissement d’une fonction constante sont nuls.
Les taux d’accroissement de la fonction identité sont tous égaux à 1.
Pour tout a ∈ R^∗+, pour tout h ∈ ]−a, a[ on calcule (√(a + h) − √a) / h = (√(a + h) − √a)(√a + h) + √a) / (h(√(a + h) + √a)) = 1 / (√(a + h) + √a) donc par continuité de la fonction racine carrée on obtient la limite voulue.

Propriété

Toute fonction dérivable en un point de son domaine de définition est continue en ce point.

Démonstration

Soit f une fonction dérivable en un point a de son domaine de définition. Alors on a lim_h→0 f(a+h) − f(a)/h = f′(a) et lim_h→0 h = 0 donc par produit on trouve lim_h→0 f(a+h) − f(a) = 0 donc lim_h→0 f(a+h) = f(a).

Donc la fonction f est bien continue en a.

Propriété

Soient u et v deux fonctions définies sur I et dérivables en un même réel a ∈ I.

Pour tout λ ∈ R, la fonction λu + v est dérivable en a et on a (λu + v)′(a) = λu′(a) + v′(a).

De même, la fonction u × v est dérivable en a et on a (u × v)′(a) = u′(a)v(a) + u(a)v′(a).

Si en outre on a v(a) ≠ 0 alors la fonction v ne s’annule pas au intervalle ouvert de a et la fonction 1/v est dérivable en a avec (1 / v)′(a) = −v′(a)/(v(a))².

Avec la même hypothèse, le quotient u/v est dérivable en a avec (u / v)′(a) = u′(a)v(a) − u(a)v′(a) / (v(a))².

Démonstration

On calcule successivement les taux d’accroissement avant de calculer leur limite.

Pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on a ((λu + v)(a+h) − (λu + v)(a)) / h = λ(u(a+h) − u(a)) / h + (v(a+h) − v(a)) / h.

Donc on trouve lim_h→0 ((λu + v)(a+h) − (λu + v)(a)) / h = λu′(a) + v′(a).

De même, pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on a ((u × v)(a+h) − (u × v)(a)) / h = ((u(a+h) − u(a)) × v(a+h) + u(a) × (v(a + h) − v(a))) / h = (u(a+h) − u(a))) / h × v(a+h) + u(a) × (v(a + h) − v(a)) / h.

Donc on trouve lim_h→0 ((u × v)(a+h) − (u × v)(a)) / h = u′(a) v(a) + u(a) v′(a) par continuité de u et de v en a.

Si on rajoute l’hypothèse v(a) ≠ 0, alors par continuité de v en a on trouve bien que la fonction v ne s’annule pas au intervalle ouvert de a et on calcule pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h soit dans ce intervalle ouvert, (1/v(a + h) − 1/v(a)) / h = (v(a) − v(a + h)) / (v(a) v(a + h) × 1 / h = −(v(a + h) − v(a)) / h × 1 / (v(a) v(a + h).

Donc on trouve lim_h→0 (1/v(a + h) − 1/v(a)) / h = −v′(a)/(v(a))².

Le calcul pour le quotient s’obtient en dérivant le produit u × 1 / v.

Propriété

Pour tout n ∈ N^∗, si f : x ↦ xⁿ alors pour tout x ∈ R, f′(x) = n xⁿ⁻¹.

Démonstration

On raisonne par récurrence.

Pour n = 1, la fonction f : x ↦ x vérifie bien pour tout x ∈ R, f′(x) = 1 = 1x⁰.

Soit n ∈ N^∗ tel que la formule soit vraie au rang n. Alors en posant u : x ↦ xⁿ et v : x ↦ x on trouve pour tout x ∈ R, (u × v)(x) = xⁿ⁺¹ et (u × v)′(x) = nxⁿ⁻¹ x + xⁿ × 1 = (n + 1)xⁿ.

Dérivée d’une composée: Soit u une fonction définie sur I à valeurs dans J et soit g une fonction réelle définie sur J telles que u soit dérivable en un réel a ∈ I et g soit dérivable en b = u(a) ∈ J.
Alors la fonction composée g ◦ u : x ↦ g(u(x)) est dérivable en a et on a (g ◦ u)′(a) = u′(a) × g′(u(a)).

Démonstration

On pose pour tout x ∈ J \ {b}, τ(x) = g(x) − g(b) / x − b et τ(b) = g′(b). Par définition, la fonction τ est continue en b et pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on a g(u(a + h)) − g(u(a)) / h = u(a + h) − u(a) / h × τ(u(a + h)).

Donc on trouve lim_h→0 (g(u(a + h)) − g(u(a))) / h = u′(a) × g′(u(a)).

Dérivée de la réciproque: Soit f une fonction bijective de I vers J et dérivable en un point a ∈ I avec f′(a) ≠ 0, telle que sa réciproque f⁻¹ soit continue en f(a). Alors la réciproque est dérivable en b = f(a) et on a (f⁻¹)′(b) = 1/f′(a)

Pour tout h ∈ R^∗ tel que a + h ∈ I, on pose k = f⁻¹(b + h) − f⁻¹(b).

On en déduit f(a + k) = f(a) + h puis (f⁻¹(b + h) − f⁻¹(b)) / h = k / (f(a + k) − f(a)).

Donc on trouve lim_h→0 (f⁻¹(b + h) − f⁻¹(b)) / h = 1 / f′(a).

Variations

Définition

Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ⊂ R. Soit a ∈ D. On dit que f admet un maximum local (resp. minimum local) en a s'il existe un intervalle ouvert V de a tel que pour tout x ∈ V on ait f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).
On dit que f admet un extremum local en a si elle y admet un maximum local ou un minimum local.

Remarque

Tout maximum global est un maximum local et tout minimum global est un minimum local.

Condition nécessaire pour un extremum local: Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Si f admet un extremum local en un point a à l’intérieur de I (c’est-à-dire en dehors des bornes) et si f est dérivable en a alors on a f′(a) = 0.

Démonstration

Si f admet un minimum local en a, alors la fonction h ↦ f(a + h) − f(a) est positive au intervalle ouvert de 0 donc le taux d’accroissement f(a+h) − f(a) / h est négatif au intervalle ouvert à gauche de 0 et positif au intervalle ouvert à droite de 0 donc la limite commune à droite et à gauche est nulle. De même, si f admet un maximum local en f, le taux d’accroissement est positif à gauche en 0 et négatif à droite en 0 donc sa limite en 0 est nulle.

La fonction identité sur l’intervalle [1; 2] est dérivable sur [1; 2] avec un minimum en 1 et un maximum en 2 mais sa dérivée ne s’annule ni en 1 ni en 2.
La fonction cube est dérivable de nombre dérivé nul en 0 et pourtant elle n’admet pas d’extremum local en 0.

Théorème de Rolle: Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b).
Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = 0.

Démonstration

Il existe (c, c′) ∈ [a, b]² tel que f(c) = min_{[a, b]} f et f(c′) = max_{[a, b]} f.

En particulier, on a f(c) ≤ f(a) ≤ f(c′). On distingue alors trois cas.

Si f(c) < f(a) alors c ∈ ]a, b[ et d’après l’annulation de la dérivée en un extremum local, on trouve f′(c) = 0.
De même, si f(c′) > f(a) alors c′ ∈ ]a, b[ donc f′(c′) = 0.
Enfin, si f(c) = f(a) = f(c′) alors la fonction f est constante donc de dérivée nulle sur l’intervalle ]a, b[.

Théorème des accroissements finis: Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).

Démonstration

On applique le théorème de Rolle à une fonction associée à f par transformation affine.

On pose pour tout x ∈ [a, b], g(x) = f(x) − (f(b) − f(a)) / (b − a) x.

La fonction g est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[
avec g(a) = b − a) × f(a) − (f(b) − f(a)) × a/b − a) = b f(a) − a f(b)/b − a)
et g(b) = ((b − a) × f(b) − (f(b) − f(a)) × b) / (b − a) = (b f(a) − a f(b)) / (b − a).

Par conséquent, d’après le théorème de Rolle il existe c ∈ ]a, b[ tel que g′(c) = 0.

Or g′(c) = f′(c) − (f(b) − f(a)) / (b − a) donc on trouve f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).

Inégalité des accroissements finis: Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

S’il existe (m, M) ∈ R² tel que pour tout x ∈ ]a, b[ on a m ≤ f′(x) ≤ M alors on obtient m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a).

Démonstration

D’après l’égalité des accroissements finis, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = f(b) − f(a) / b − a or par hypothèse on a m ≤ f′(c) ≤ M donc on obtient les inégalités souhaitée en multipliant par (b − a).

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle et dérivable à l’intérieur de celui-ci.

Si la dérivée est (strictement) positive alors la fonction est (strictement) croissante.

Si la dérivée est (strictement) négative alors la fonction est (strictement) décroissante.

Si la dérivée est nulle alors la fonction est constante.