Les définitions et résultats répertoriés en tête de chaque chapitre sont susceptibles d’être demandés en interrogation de cours ou en colle. En question de cours en début de colle, sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.
Ces deux semaines portent sur tout le programme de probabilités des deux années.
La colle pourra commencer par une question de cours portant sur les formules et définitions essentielles, une loi de référence avec espérance et variance éventuelle.
Définitions essentielles
Indépendance de variables aléatoires, espérance, variance, probabilité conditionnelle, covariance, coefficient de corrélation linéaire
Lois de référence
Bernoulli, binomiale, uniforme discrète ou à densité, Poisson, géométrique, exponentielle, normale
Formules essentielles
Probabilités totales, probabilités composées, Bayes, Koenig-Huygens, théorème de transfert, inégalités de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev
Programme de colles
Étude d’une ou plusieurs variables aléatoires discrètes ou à densité sans produit de convolution
Ces deux semaines sont banalisées pour le deuxième concours blanc. Des colles facultatives seront possibles du mercredi 17 au vendredi 19 mars.
Ces deux semaines portent sur tout le programme d’algèbre des deux années.
La colle pourra commencer par une question de cours portant sur les formules et définitions essentielles.
Définitions essentielles
Conjugué et module, exponentielle complexe, racine et ordre de multiplicité, système de Cramer, colinéarité, famille libre ou génératrice, base, dimension, rang, projecteur, symétrie, valeur propre et vecteur propre, espace propre, inversibilité, diagonalisabilité
Formules essentielles
Formules d’Euler, caractérisation de l’ordre de multiplicité avec le polynôme dérivé, transposée du produit, théorème du rang, formule de Grassmann, famille de vecteurs propres, caractérisation de la diagonalisabilité avec les espaces propres
Programme de colles
Étude de matrices ou d’application linéaire sur des espaces vectoriels réels de dimension finie, valeurs propres, diagonalisabilité, produit scalaire
Ces deux semaines portent sur tout le programme d’analyse des deux années. Il n’y a pas de démonstration de cours, mais on peut faire commencer la colle par une question de cours portant sur les formules et définitions essentielles, l’une des fonctions de référence avec domaine, dérivée, limites, représentation graphique, ou encore un développement limité de référence, l’une des séries ou intégrales de référence, ou encore l’un des nombreux résultats d’analyse (critère de convergence de suite, fonction, série ou intégrale, théorème d’analyse globale).
Définitions essentielles
Dérivée, équation de la tangente, asymptotes, forme quadratique associée à une fonction de deux variables en un point critique
Terme général de suites arithmétiques ou géométriques, sommes de référence (géométrique et dérivées, exponentielle)
Critères de convergence et théorèmes de comparaison pour les suites, fonctions, séries ou intégrales, théorème d’analyse globale
Développement limités de référence : exponentielle, inverse, premiers termes pour le logarithme ou la puissance
Nature d’un point critique pour une fonction de deux variables
Programme de colles
Analyse de fonction d’une ou deux variables réelles avec éventuellement développement limité et détermination de l’intégrabilité voire calcul d’intégrale
Analyse de suite ou de série numérique sans utilisation d’équivalent
Cette semaine achève la progression dans le programme de mathématiques de khâgne. Les semaines suivantes porteront sur le programme des deux années de B/L, sur les trois grandes parties du programme : algèbre, analyse, probabilités.
Exercices sur les fonctions de deux variables : calcul des dérivées partielles, détermination des points critiques, calcul des dérivées secondes et du discriminant pour les points critiques isolés pour détermination de la nature des points critique. Les points critiques de déterminant nul peuvent être traités avec aide (notamment en cas d’accumulation le long de courbes).
Exercices sur le produit scalaire dans Rn : orthogonalité de vecteurs, normalisation (le procédé de Gram–Schmidt est hors programme), détermination de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel.
Exercices sur les familles de variables aléatoires (discrètes ou à densité) : loi du maximum, somme de variables discrètes ou d’une discrète avec une variable à densité indépendante (avec formule des probabilités totales), calcul de covariance et de coefficient de corrélation, avec éventuellement inégalités en probabilités. La loi conjointe pour des variables à densité est hors programme.
Exercices sur le produit scalaire dans Rn : orthogonalité de vecteurs, normalisation (le procédé de Gram–Schmidt est hors programme), détermination de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel. La projection orthogonale sur un sous-espace a été définie mais pas encore travaillée.
Exercices sur les familles de variables aléatoires (discrètes ou à densité) : loi du maximum, somme de variables discrètes ou d’une discrète avec une variable à densité indépendante (avec formule des probabilités totales), calcul de covariance et de coefficient de corrélation, avec éventuellement inégalités en probabilités. La loi conjointe pour des variables à densité est hors programme.
Exercices sur le produit scalaire dans Rn : orthogonalité de vecteurs, normalisation (le procédé de Gram–Schmidt est hors programme), détermination de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel. La projection orthogonale sur un sous-espace a été définie mais pas encore travaillée.
Exercices sur les familles de variables aléatoires (discrètes ou à densité) : loi du maximum, somme de variables discrètes ou d’une discrète avec une variable à densité indépendante (avec formule des probabilités totales), calcul de covariance et de coefficient de corrélation. La loi conjointe pour des variables à densité est hors programme. Les inégalités en probabilité (Markov et Bienaymé-Tchebychev) n’ont pas encore été vues.
Exercices sur les familles de variables aléatoires (discrètes ou à densité) : loi du maximum, somme de variables discrètes ou d’une discrète avec une variable à densité indépendante (avec formule des probabilités totales), calcul de covariance et de coefficient de corrélation. La loi conjointe pour des variables à densité est hors programme. Les inégalités en probabilité (Markov et Bienaymé-Tchebychev) n’ont pas encore été vues.
Exercices sur la diagonalisation de matrice ou d’endomorphisme en dimension finie : le déterminant n’est au programme que pour les matrices de taille 2 et la diagonalisabilité des matrices symétriques n’est pas au programme.
Exercices sur les variables à densité pour l’instant sans parler de famille de variables aléatoires (donc pas de covariance ou de loi du maximum par exemple). Les inégalités en probabilité (Markov et Bienaymé-Tchebychev) n’ont pas encore été vues. Le théorème de transfert est cependant utilisable et on peut faire déterminer la loi d’une variable obtenue par transformation d’une autre grâce au calcul de la fonction de répartition.
Exercices sur la diagonalisation de matrice ou d’endomorphisme en dimension finie : le déterminant n’est au programme que pour les matrices de taille 2 et la diagonalisabilité des matrices symétriques n’est pas au programme.
Exercices sur l’analyse spectrale : recherche de valeurs propres voire de vecteurs propres pour une matrice ou un endomorphisme en dimension finie. La diagonalisation fera l’objet d’un chapitre ultérieur.
Exercices sur les variables à densité pour l’instant sans parler de famille de variables aléatoires (donc pas de covariance ou de loi du maximum par exemple). Les inégalités en probabilité (Markov et Bienaymé-Tchebychev) n’ont pas encore été vues. Le théorème de transfert est cependant utilisable et on peut faire déterminer la loi d’une variable obtenue par transformation d’une autre grâce au calcul de la fonction de répartition.
Questions de cours supplémentaires
Variance de la loi exponentielle, loi normale avec espérance et variance.
Exercices sur l’intégrale généralisée de fonctions positives (ou au moins de signe constant). Les équivalents sont officiellement hors programme, mais peuvent être utilisés par les étudiants qui le souhaitent. La convergence absolue n’est présentée que comme complément hors programme.
Exercices sur l’analyse spectrale : recherche de valeurs propres voire de vecteurs propres pour une matrice ou un endomorphisme en dimension finie. La diagonalisation fera l’objet d’un chapitre ultérieur.
Exercices sur l’intégrale généralisée de fonctions positives (ou au moins de signe constant). Les équivalents sont officiellement hors programme, mais peuvent être utilisés par les étudiants qui le souhaitent. La convergence absolue n’est présentée que comme complément hors programme.
Questions de cours supplémentaires
Relation de Chasles, théorème de comparaison, théorème de négligeabilité
Les deux semaines de cours de la rentrée de novembre sont banalisées pour l’organisation du 1er concours blanc de la classe. Le programme de colles reprendra son cours normal à partir du 16 novembre. Cependant, certains élèves souhaitent profiter d’une colle supplémentaire, d’où la mise en place de deux créneaux le 12 novembre, sur un programme personnalisé envoyé aux colleurs.
Exercices de développement limité
notamment pour déterminer une asymptote oblique, mais aussi une limite de suite ou de série, un prolongement par continuité… La notion d’équivalent est hors programme
Exercices de développement limité
notamment pour déterminer une asymptote oblique, mais aussi une limite de suite ou de série, un prolongement par continuité… La notion d’équivalent est hors programme
Étude de fonctions polynômes avec utilisation des racines évidentes ou racines multiples, détermination de polynômes satisfaisant une équation ou par interpolation de certaines valeurs, calcul des coefficients d’une décomposition en éléments simples (donnée par l’examinateur après une recherche de factorisation du dénominateur par l’élève par exemple).
Étude de fonctions polynômes avec utilisation des racines évidentes ou racines multiples (les racines complexes ne sont pas tout à fait au programme, mais on peut guider certains élèves plus à l’aise vers de tels problèmes), détermination de polynômes satisfaisant une équation ou par interpolation de certaines valeurs, calcul des coefficients d’une décomposition en éléments simples (donnée par l’examinateur après une recherche de factorisation du dénominateur par l’élève par exemple).
Questions de cours supplémentaires
Famille échelonnée en degré, polynômes multiples et diviseurs, racine et racine multiple, propagation d’une racine multiple au polynôme dérivé
Méthodes de calcul sur les fonctions polynômes, en particulier la division euclidienne et l’utilisation du degré pour limiter le nombre d’inconnues, et premier calcul de reste dans la division d’un polynôme générique