Épreuve de mathématiques

Fonction dépendant d’un paramètre

Soit a un réel strictement positif fixé. On pose pour tout x ∈ R, f_a(x) = (a(1 + a²))/(1 + x²).

1. Déterminer les variations et limites de f et tracer sa courbe représentative.
2. Préciser les valeurs maximales et minimales pour f′ et indiquer l’allure de la courbe de f au voisinage des points correspondants à l’aide d’un développement limité à l’ordre 3.
3. Résoudre l’équation f_a(x) = a d’inconnue x.
4. Résoudre l’équation f_a(x) = x d’inconnue x.
5. Dans cette question uniquement, on s’intéresse au cas particulier a = 1. Montrer que les solutions de l’équation (f₁ ∘ f₁)(x) = x sont les racines du polynôme P₁(x) = x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − 4x² + 5x − 2.
   Montrer que 1 est racine de P₁ et préciser son ordre de multiplicité, puis déterminer toutes les autres racines réelles de P₁.
6. Plus généralement, montrer que les solutions de l’équation (f_a ∘ f_a)(x) = x sont les racines d’un polynôme P_a de degré 5 que l’on explicitera.
7. Montrer qu’il existe un polynôme Q_a tel que P_a(x) = (x − a) × Q_a(x).
8. On suppose maintenant que 0 < a < 1.
   Étudier les variations de Q_a sur ]a, +∞[ et en déduire qu’il admet une unique racine dans cet intervalle.

Taux de panne

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N telle que pour tout n ∈N^∗, P(X ≥ n) > 0. On appelle taux de panne associé à X la suite réelle (x_n) définie pour tout n ∈ N^∗ par x_n = P_X≥n(X = n).

1. Montrer que pour tout entier n non nul, x_n = P(X = n) / P(X ≥ n).
2. Si Y est une variable géométrique de paramètre p, calculer son taux de panne.
3. On considère une variable aléatoire Z satisfaisant pour tout entier naturel n non nul, P(Z = n) = 1 / n(n + 1).
   1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N^∗, 1 / n(n + 1) = a / n + b / n + 1.
   2. Vérifier qu'avec cette définition on trouve ∑_n=1^+∞ P(Z = n) = 1.
   3. La variable Z admet-elle une espérance ?
   4. Pour tout entier n ≥ 1, calculer la probabilité P(Z ≥ n) puis calculer le taux de panne associé à Z.
4. Soit X une variable aléatoire admettant un taux de panne noté (x_n).
   1. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, P(X ≥ n) = ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, P(X = n) = x_n ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   3. Déterminer les lois de variable aléatoire discrète à taux de panne constant.

Intégrale dépendant de ses bornes

On pose pour tout x ∈ R^+∗, f(x) = ∫_x^3x (e^−t)/(t) dt.

1. Justifier que la fonction f est bien définie et dérivable sur R^+∗ et préciser l’expression de sa dérivée.
2. En déduire les variations de la fonction f.
3. Soit x > 0. Déterminer le minimum et le maximum de la fonction t ↦ e^−t sur l’intervalle [x, 3x]. En déduire un encadrement de f(x).
4. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
5. Montrer de même que la fonction f est prolongeable par continuité en 0 et préciser sa valeur limite.
6. À l’aide d’un développement limité de f′(x) en 0, déterminer un développement limité de la fonction f à l’ordre 2 en 0.
7. Donner une équation de la tangente à la courbe de f en 0 ainsi que la position relative de la courbe par rapport à cette tangente, puis tracer cette tangente et la courbe en précisant les éventuelles asymptotes.

Matrices nilpotentes

Premiers exemples

Une matrice carrée (ou un endomorphisme) est dite nilpotente si l’une de ses puissances est la matrice nulle.

1. On pose A = (: (0 ; 2 ; 4) ; (0 ; 0 ; 3) ; (0 ; 0 ; 0)), B = (: (0 ; 5 ; 6) ; (0 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0)) et C = (: (0 ; 2 ; 4) ; (0 ; 0 ; 3) ; (0 ; 0 ; 1)).
   Montrer que les matrices A et B sont nilpotentes mais que C ne l’est pas.
2. En notant (e₁, e₂, e₃) la base canonique de R³, montrer que les familles (6e₁, 4e₁ + 3e₂, e₃) et (5e₁, e₂, −6e₂ + 5e₃) sont aussi des bases de R³.
3. En utilisant les matrices de passage de la base canonique vers ces bases, montrer que les matrices A et B sont respectivement semblables à
   A′ = (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) ; (0 ; 0 ; 0)) et B′ = (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0)).
4. Les matrices A et B sont-elles semblables ?

Noyaux emboités

Soit u un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension finie n.

1. Montrer les inclusions suivantes : Ker(u) ⊂ Ker(u²) et Im(u²) ⊂ Im(u).
2. On souhaite caractériser les endomorphismes dont le noyau et l’image sont supplémentaires.
   1. Montrer que si E = Im(u) ⊕ Ker(u) alors Im(u) = Im(u²).
   2. Réciproquement, montrer que l’égalité Im(u) = Im(u²) implique E = Im(u) + Ker(u), puis que cette somme est en fait directe.
   3. Donner un exemple d’espace vectoriel E et d’endomorphisme u ∈ L(E) tels que Ker(u) et Im(u) ne soient pas en somme directe.
3. Montrer que pour tout k ∈ N^∗, on a Ker(u^k) ⊂ Ker(u^k+1) et Im(u^k+1) ⊂ Im(u^k).
4. En déduire qu’il existe un entier p tel que pour tout k ≥ p, Ker(u^k) = Ker(u^p) et Im(u^k) = Im(u^p).
5. Déterminer ces deux espaces lorsque l’endomorphisme u est inversible.
6. Montrer que dans ce cas, E = Ker(u^p) ⊕ Im(u^p).
7. Montrer que pour tout k ≥ 1, si Ker(u^k) = Ker(u^k+1) alors Ker(u^k+1) = Ker(u^k+2).

Ordre de nilpotence

Supposons que u ∈ L(E) est un endomorphisme nilpotent. On appelle ordre de nilpotence de u le plus petit entier p tel que u^p = 0.

1. Montrer que toutes les inclusions suivantes sont strictes :
   {0} ⊂ Ker(u) ⊂ Ker(u²) ⊂ ⋯ ⊂ Ker(u^p) = E.
2. Montrer les inégalités p ≤ n + 1 − d ≤ n où d = dim(Ker(u)).
3. Montrer qu’en outre on a p ≥ n/d. On pourra pour cela démontrer d’abord que pour tout entier k, on a dim(Im(u^k)) = dim(Im(u^k+1)) + dim(Im(u^k) ∩ Ker(u)).
4. Conclure que n = p si et seulement s’il existe k ∈ ⟦1, n − 1⟧ tel que dim(Ker(u^k)) = k, et que dans ce cas l’égalité est vraie pour tout k ∈ ⟦1, n − 1⟧.

Représentations matricielles

Dans cette partie, on considère encore un endomorphisme nilpotent u non nul, d’ordre de nilpotence p sur E de dimension n.

1. Justifier p ≥ 2.
2. Dans le cas n = 2, montrer qu’il existe x ∈ E tel que u(x) ≠ 0 et que la famille (u(x), x) est une base de E. Représenter u dans cette base.
3. Dans le cas p = n = 3, justifier qu’il existe x ∈ E tel que u²(x) ≠ 0 puis proposer une base dans laquelle u est représentée par la matrice (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) ; (0 ; 0 ; 0)).
4. Lorsque n = 3 et p = 2, montrer que dim(Ker(u)) = 2 puis en déduire que u admet pour représantation matricielle (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0)).
5. Dans le cas n = 4, expliciter les différentes valeurs possibles pour p et d = dim(Ker(u)).

Intégrale généralisée

Déterminer les variations et limites de la fonction g : x ↦ 1/(e^x + e^−x) définie sur R, puis justifier qu’elle est intégrable et calculer son intégrale à l’aide du changement de variable u = e^x.