Devoir non surveillé 3

Intégrale généralisée

On définit pour tout x ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[, f(x) = (x − 1)/(ln(x)), ainsi que f(0) = 0 et f(1) = 1.

1. Montrer que la fonction f ainsi définie est continue sur R⁺ et dérivable sur R^+∗.
2. Dresser le tableau de variations de f avec ses limites éventuelles.
3. En déduire les variations de la fonction F : x ↦ ∫₀^x f(t) dt sur R⁺ avec ses limites.
4. Justifier que pour tout x ∈ ]0 ; 1[ on a F(x) = ∫₀^x (t)/(ln(t)) dt − ∫₀^x (1)/(ln(t)) dt = ∫_x^x2 (1)/(ln(t)) dt.
5. À l’aide d’un développement limité, montrer que la fonction t ↦ (1)/(ln(t)) − (1)/(t − 1) admet une limite finie en 1.
6. En déduire que les deux intégrales ∫_x^x2 (1)/(ln(t)) et ∫_x^x2 (1)/(t − 1) admettent une même limite L lorsque x tend vers 1, et calculer cette limite.
7. En déduire la valeur de l’intégrale ∫₀¹ (t − 1)/(ln(t)).
8. Représenter graphiquement la fonction F, en précisant une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse x = 1.
9. Justifier que l’égalité on a F(x) = ∫_x^x2 (1)/(ln(t)) dt est aussi valable pour tout x > 1.
10. Montrer que pour tout x > 1 on a ∫_x^x2/ln(x) (dt)/(ln(t)) ≤ (x²)/(ln²(x)).
11. Montrer de même que pour tout x > 1, on a (x²(1 − 1/ln(x)))/(2 ln(x)) ≤ ∫_x²/ln(x)^x2 (dt)/(ln(t)) ≤ (x²(1 − 1/ln(x)))/(2 ln(x) − ln(ln(x))).
12. En déduire lim_x→+∞ (ln(x))/(x²) F(x) = (1)/(2).