Devoir surveillé n^o 1

L’oreille mordue

Une colonie de vampires a élu domicile dans un château des Carpates, et le compte Drakul souhaite estimer le nombre, noté n. Pour cela, une nuit de pleine lune, le comte en capture 10, leur mord les oreilles, puis les relâche. La nuit suivante, il en capture 10 au hasard et il compte ceux qui ont une morsure aux oreilles.

1. De combien de manières peut-il capturer 10 vampires chaque nuit ? On suppose ensuite que ces possibilités sont équiprobables.
2. Quelle est la probabilité p_n qu’il en ait capturé 3 avec une morsure (et donc 7 sans) la deuxième nuit ?
3. Montrer que pour tout n ≥ 17, on a p_n+1/p_n = (n − 9)²/((n − 16)(n + 1)).
4. En déduire les variations de la suite (p_n) puis la valeur de n qui maximise la probabilité p_n.

Entropie

On définit pour tout u ∈ R^+∗, h(u) = u ln(u) et pour tout u ∈ R⁻, h(u) = 0.

Étude de fonction

1. Montrer que la fonction h est continue sur R⁺.
2. Justifier que pour tout u > 0 on a h(u) ≥ u − 1 avec égalité si et seulement si u = 1.
3. Représenter la courbe de la fonction h ainsi que sa tangente au point d’abscisse 1.

Entropie d’une variable aléatoire à support fini

Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans X(Ω) = {x₁, … , x_n} avec pour tout i ∈ ⟦1, n⟧, p_i = P(X = x_i), alors l’entropie de X est définie par
H(X) = − ∑_i=1ⁿ h(p_i) = − ∑_i=1ⁿ p_i ln(p_i).

On remarquera que cette définition ne dépend que des probabilités et pas des valeurs de la variable aléatoire X.

On remarquera aussi que le mot « entropie » ne commence pas par la lettre « H », mais certains y voient la lettre grecque majuscule êta. Cela n’est pas tellement plus satisfaisant vu que le mot grec « Εντροπία » commence en fait par la lettre epsilon et non pas par êta.

1. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[, rappeler l’ensemble des valeurs X(Ω) et les probabilités associées, son espérance et sa variance, puis calculer son entropie.
2. Justifier que la fonction φ : t ↦ −t ln(t) + (t − 1) (t + ln(1 − t)) est deux fois dérivable sur ]0 ; 1[ et calculer sa dérivée et sa dérivée seconde. Préciser aussi φ′(1/2) et en déduire le tableau de variations de φ avec ses limites.
3. En déduire que l’entropie d’une variable de Bernoulli est supérieure à sa variance.
4. Si X suit la loi uniforme sur ⟦1, n⟧, calculer son entropie et comparer sa valeur avec celle de sa variance.
5. Montrer, en utilisant l’inégalité obtenue dans la première partie, que pour toute variable aléatoire discrète avec n valeurs, on trouve H(X) ≤ ln(n) avec une égalité stricte si X n’est pas uniforme.

Entropie d’une variable aléatoire à valeurs entières

Pour toute variable aléatoire discrète X à valeurs dans X(Ω) = N^∗, en notant pour tout k ≥ 1, p_k = P(X = k), on dit que X admet une entropie si la série de terme général h(p_k) converge, et dans ce cas son entropie est définie par H(X) = − ∑_k=1^+∞ h(p_k) = − ∑_k=1^+∞ p_k ln(p_k).

1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[. Rappeler l’expression des probabilités associées et la valeur de l’espérance E(X), puis montrer que X admet une entropie et calculer sa valeur.
   Préciser aussi les variations et limites de cette entropie lorsque p varie dans ]0, 1[.
2. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans N^∗, de même espérance que X.
   Pour tout k ∈ N^∗ on note q_k = P(Y = k).
   Montrer que la série (∑_kq_k ln(p_k)) converge avec H(X) = −∑_k=1^+∞ q_k ln(p_k).
3. En déduire H(Y) ≤ H(X), avec égalité si et seulement si Y suit la même loi que X.

On montre ainsi que parmi les variables aléatoires discrètes à valeurs entières, admettant une entropie et d’espérance fixée, la loi géométrique maximise l’entropie.

Trigonométrie hyperbolique

On définit les fonctions sh : x ↦ (e^x − e^−x)/2 et ch : x ↦ (e^x + e^−x)/2 sur R.

1. Déterminer les variations et limites de la fonction sh, et justifier qu’elle admet une réciproque dont on déterminera une expression.
2. Déterminer un développement limité à l’ordre 3 en 0 de sh et de sa réciproque.
3. Montrer que pour tout x ∈ R on a 1 + sh²(x) = ch²(x).
4. À l’aide d’un changement de variable t = sh(x), justifier l’égalité ∫₀¹ √(1 + t² dt = ∫₀^1+√2 (e^x + e^−x)²/4 dx et calculer cette intégrale.

Endomorphisme nilpotent et noyaux emboités

Soit E un espace vectoriel et φ ∈ L(E) nilpotent, c’est-à-dire tel qu’il existe un entier p ≥ 2 pour lequel φ^p = 0 mais φ^p−1 ≠ 0.

1. Soit x ∈ E tel que φ^p−1(x) ≠ 0.
   Montrer que la famille (x, φ(x), φ²(x), … , φ^p−1(x)) est libre.
2. En déduire p ≤ n.
3. Montrer la suite d’inclusions {0} ⊂ Ker(φ) ⊂ Ker(φ²) ⊂ ⋯ ⊂ Ker(φ^p−1) ⊂ Ker(φ^p) = E.
4. Montrer que pour tout k ∈ ⟦1, p−1⟧, si Ker(φ^k−1) = Ker(φ^k) alors Ker(φ^k) = Ker(φ^k+1).
5. En déduire que la suite (0, dim(Ker(φ)), dim(Ker(φ²)), … , dim(Ker(φ^p−1)), dim(Ker(φ^p))) est strictement croissante.
6. On pose A = (:(0 ; 1 ; 1 ; 0 ; 0) (1 ; 0 ; 0 ; 0 ; −1) (0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; −1 ; 0 ; 0 ; 0) (0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0), représentant un endomorphisme ψ ∈ L(R⁵).
   1. Déterminer une base pour chacun des noyaux de A, A² et A³.
   2. L’endomorphisme ψ est-il nilpotent ?
   3. Montrer que Ker(ψ²) et Im(ψ²) sont supplémentaires dans R⁵.

Arc tangente

1. Redémontrer l’expression de la dérivée : arctan′(x) = 1/(1 + x²).
2. En déduire un développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction arctan.
3. Montrer que pour tout x ∈ R^+∗ on a arctan(x) + arctan(1/x) = π/2.
4. Déterminer la parité, les variations et les limites de la fonction f : x ↦ x arctan(x) ainsi que la position relative de sa courbe par rapport à ses éventuelles asymptotes.
5. Calculer ∫₀¹ f(x) dx.

Polynômes de Tchebychev

On rappelle la formule de De Moivre : pour tout n ∈ N, pour tout θ ∈ R, cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))ⁿ .

1. Démontrer que pour tout réel θ on a cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1.
2. En déduire un polynôme P₂ tel que pour tout réel θ on ait cos(2θ) = P₂(cos(θ)).
3. Démontrer plus généralement à l’aide de la formule du binôme de Newton que pour tout n ∈ N^∗ il existe un unique polynôme P_n tel que pour tout réel θ on ait cos(nθ) = P_n(cos(θ)).
4. Préciser les expressions de P₀, P₁ et P₃.
5. En utilisant l’exponentielle complexe, montrer que pour tout (a, b) ∈ R² on a cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos(a) cos(b).
6. En déduire la relation sur les polynômes pour tout n ∈ N^∗, pour tout x ∈ R, P_n+1(x) + P_n−1(x) = 2x P_n(x).
7. Montrer que pour tout entier naturel n, le polynôme P_n est de degré n et de coefficient dominant 2ⁿ⁻¹.
8. Soit n ∈ N^∗. Montrer que les racines de P_n sont exactement les réels de la forme r_k = cos((2k+1)π/2n) avec 0 ≤ k < n.
9. Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a |P_n(x)| ≤ 1 avec P(1) = 1.