Cahier de textes et programme de colle en mathématiques

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Chaque colle commence par une question de cours portant sur un résultat de cours avec sa démonstration (sauf précision contraire).

Du 9 au 12 mai 2017

Il n’y a pas de colle cette semaine sauf sur les créneaux du mardi, pour cause de jour férié et de voyage scolaire. Les élèves prévus dans le colloscope pour le mardi 16 mai (LAM VAP MKO EFA DMA SIT LOP LED SHA) sont priés de confirmer leur présence en remplacement le 9 mai.

Questions de cours: Additivité des fonctions négligeables; Équivalent de ln(1 + x) en 0; Formule de Taylor-Young; Développement limité de 1/(1 + x) en 0; Développement limité de ln(1 + x) en 0; Développement limité de exp(x) en 0
Programme de colle: Exercice de développement limitéet notamment utilisation pour les prolongements par continuité et la position relative de courbes et de la tangente au voisinage d’un point.; Détermination de l’indépendance linéaire d’une famille de vecteurs colonnes, expression d’un vecteur colonne comme combinaison linéaire de plusieurs autres.
Cours: Espaces vectoriels

Du 2 au 5 mai 2017

Les colles avec M. Caron sont déplacées au jeudi 4 à 12h et 13h, il prendra les élèves initialement prévus avec M. Demanze et M. Rollot (AJE IDA EGO EDE CLB EMA). Les élèves initialement prévus le lundi (ABR ELM EFE CFO FLK) passeront donc le vendredi à 12h et 13h. La place libre laissée par ELB pourra être reprise pour un rattrapage pour CLM ou MKH.

Questions de cours: Associativité du produit matriciel; Condition nécessaire pour l'inversibilité; Décomposition d'une matrice carrée en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique; Additivité des fonctions négligeables; Équivalent de ln(1 + x) en 0; Formule de Taylor-Young
Programme de colle: Exercice sur les matrices. Les notions de noyau et d'image n'ont pas encore été abordées, mais des équations matricielles peuvent être traitées pour des matrices de petites taille.; Exercice de développement limité. Le développement de la puissance d’exposant quelconque n’a pas encore été travaillé. Les autres développements de référence doivent être connus. L’utilisation pour la position relative de courbes et de la tangente au voisinage d’un point n’a pas non plus été abordée.
Cours: Utilisation du développement limité pour la position relative et calcul pour une fonction satisfaisant une équation différentielle comme tangente.; Vecteurs colonnes

Du 24 au 28 avril 2017

La colle avec M. Demanze étant déplacée exceptionnellement au lundi 24 à 15h, il prendra les élèves initialement prévus avec M. Boilley (MVA, MAP, LAW). Les élèves prévus sur le créneau de vendredi (ADA, FAD, MKH) pourront alors venir le lundi 24 à 17h avec M. Boilley. En cas de concurrence avec une autre colle, il est possible d'échanger avec les élèves prévus avec M. Rollot (CLN, LAM, MVE).

Questions de cours: Formule du changement de variable; Formule de Bayes; Formule des probabilités totales avec probabilité conditionnelle; Associativité du produit matriciel; Condition nécessaire pour l'inversibilité; Décomposition d'une matrice carrée en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique
Programme de colle: Exercice de probabilités sur un univers fini, y compris les probabilités conditionnelles. L’indépendance n’a pas été travaillée en classe.; Exercice sur les matrices. Les notions de noyau et d'image n'ont pas encore été abordées, mais des équations matricielles peuvent être traitées pour des matrices de petites taille.
Cours: Notations de Landau et développement limité
Soutien: Retour sur les limites

Du 27 mars au 1^er avril 2017

Du fait du 2^e concours blanc, il n’y a pas de colle jusqu’à la rentrée du 24 avril.

Cours: Matrices : transposée, matrices carrées et matrice inverse, matrices diagonales et triangulaires

Du 20 au 24 mars 2017

Questions de cours: Inégalités de la moyenne; Théorème fondamental de l’analyse; Intégration par parties; Formule du changement de variable; Formule de Bayes; Formule des probabilités totales avec probabilité conditionnelle
Programme de colle: Exercice d’intégration, y compris sommes de Riemann. Le changement de variables doit être guidé.; Exercice de probabilités sur un univers fini, y compris les probabilités conditionnelles. L’indépendance n’a pas été travaillée en classe.
Cours: Probabilités sur un ensemble fini : indépendance; Matrices : opérations usuelles
Soutien: Calculs élémentaires de probabilités, arbres et notations

Du 13 au 17 mars 2017

Questions de cours: Caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine; Propagation des racines au polynôme dérivé; Décomposition des polynômes réels; Inégalités de la moyenne; Théorème fondamental de l’analyse; Intégration par parties
Programme de colle: Exercice d’intégration. Le changement de variables doit être guidé. Les sommes de Riemann n’ont pas encore été traitées.; Exercice sur les polynômes, y compris résolution d’équation portant sur des polynômes, utilisation des relations entre coefficients et racine
Cours: Intégration de fonction sur un segment : somme de Riemann; Probabilités sur un ensemble fini
Soutien: Calculs élémentaires de probabilités, arbres et notations

Du 6 au 10 mars 2017

Questions de cours: Formule de Taylor pour les polynômes; Reste de la division euclidienne d'un polynôme par X − λ; Factorisation d'un polynôme à l'aide d'une liste de racines; Caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine; Propagation des racines au polynôme dérivé; Décomposition des polynômes réels
Programme de colle: Exercice sur les polynômes, y compris résolution d’équation portant sur des polynômes, utilisation des relations entre coefficients et racine
Cours: Intégration de fonction sur un segment
Soutien: Dérivation et calcul de primitive
Devoir surveillé: DS4

Du 27 février au 3 mars 2017

Questions de cours: Cardinal d’une réunion finie d’ensembles finis disjoints; Équivalence entre injection et surjection entre ensembles finis de même cardinal; Cardinal de l’ensemble des parties; Formule de Taylor pour les polynômes; Reste de la division euclidienne d'un polynôme par X − λ; Factorisation d'un polynôme à l'aide d'une liste de racines
Programme de colle: Exercice de dénombrement par calcul du nombre de possibilités des choix successifs, y compris avec arrangements et combinaisons.; Exercice sur les polynômes sauf utilisation des racines multiples et du théorème de d'Alembert-Gauss.
Cours: Polynômes : ordre de multplicité d'une racine et décomposition
Devoir: DNS2

Du 6 au 10 février 2017

Questions de cours: Toute suite convergente est bornée; Théorème d’encadrement; Limite d’une suite de puissances; Cardinal d’une réunion finie d’ensembles finis disjoints; Équivalence entre injection et surjection entre ensembles finis de même cardinal; Cardinal de l’ensemble des parties
Programme de colle: Étude d’une suite définie par son terme général ou une relation de récurrence simple, en particulier pour une suite arithmético-géométrique, ou avec une suite annexe. Calcul de limite y compris suites adjacentes.; Exercice de dénombrement par calcul du nombre de possibilités des choix successifs.
Cours: Dénombrement; Intégration

Du 30 janvier au 3 février 2017

Questions de cours: Terme général d’une suite arithmétique; Terme général d’une suite géométrique; Limite de la suite inverse; Toute suite convergente est bornée; Théorème d’encadrement; Limite d’une suite de puissances
Programme de colle: Étude d’une suite définie par son terme général ou une relation de récurrence simple, en particulier pour une suite arithmético-géométrique, ou avec une suite annexe. Calcul de limite (sauf avec suites adjacentes).
Cours: Suites adjacentes; Dénombrement
Soutien: Injection, surjection, bijection.

Du 23 au 27 janvier 2017

Questions de cours: Formules d’Euler; Somme des racines de l’unité (réviser la formule de Bernoulli pour cela); Produit des racines de l’unité; Terme général d’une suite arithmétique; Terme général d’une suite géométrique; Limite de la suite inverse
Programme de colle: Exercices sur les nombres complexes, y compris calcul de racine carrée sous forme algébrique ou de racine n-ième d’un nombre complexe sous forme exponentielle; Étude d’une suite définie par son terme général ou une relation de récurrence simple, en particulier pour une suite arithmético-géométrique. La notion de limite d’une suite n’est pas encore maitrisée.
Cours: Limite d’une suite réelle
Soutien: Notion de limite de suite pour une suite récurrente simple.

Du 16 au 20 janvier 2017

Au début de la colle, chaque élève devra tracer l’allure de la courbe représentative d’une des fonctions de référence, parmi les fonctions puissances (pour un exposant explicite), exponentielle ou logarithme (pour une base explicite), sinus, cosinus, tangente ou leur réciproque partielle.

Questions de cours: Dérivée de la fonction tangente; Comparaison de croissance pour lim_x→+∞x/exp(x)); Comparaison de croissance pour lim_x→+∞ln(x)/x); Formules d’Euler; Somme des racines de l’unité (réviser la formule de Bernoulli pour cela); Produit des racines de l’unité
Programme de colle: Étude de fonction avec les fonctions trigonométriques et réciproques; Exercices sur les nombres complexes, sauf calcul de racine carrée ou de racine n-ième d’un nombre complexe
Cours: Nombres complexes : fonction exponentielle complexe, racine d’un nombre complexe; Suites
Soutien: Nombres complexes.

Du 9 au 13 janvier 2017

Questions de cours: Caractérisation de la fonction exponentielle; Limites de la fonction exponentielle; Justification de la notation exponentielle (pour tout (x, n) ∈ R × N, exp(nx) = (exp(x))ⁿ); Dérivée de la fonction tangente; Comparaison de croissance pour lim_x→+∞x/exp(x)); Comparaison de croissance pour lim_x→+∞ln(x)/x)
Programme de colle: Étude de fonction avec les fonctions exponentielles, logarithme et les fonctions trigonométriques (pas les réciproques)
Cours: Trigonométrie : fonctions trigonométriques réciproques, résolution d’équations trigonométriques simples; Nombres complexes : approche algébrique, approche géométrique, équation du second degré à coefficients réels, racines de l’unité
Soutien: Trigonométrie.

Du 3 au 6 janvier 2017

Questions de cours: Somme des fréquences; Formule de Koenig-Huygens; Effet d’une transformation affine sur la moyenne et la variance; Caractérisation de la fonction exponentielle; Limites de la fonction exponentielle; Justification de la notation exponentielle (pour tout (x, n) ∈ R × N, exp(nx) = (exp(x))ⁿ)
Programme de colle: Exercices de calcul en statistique descriptive (sans calculatrice).; Étude de fonction avec les fonctions exponentielles et logarithme
Cours: Exponentielle et logarithme : fonctions puissances d’exposant réel; Trigonométrie

Du 28 novembre au 2 décembre 2016

Questions de cours: Inégalité des accroissements finis; Équation d’une droite passant par deux points d’abscisses différentes; Somme des fréquences; Formule de Koenig-Huygens; Effet d’une transformation affine sur la moyenne et la variance
Programme de colle: Exercices de calcul d’équation de droite ou d’intersection.; Exercices de résolution de système d’équations linéaires, éventuellement avec paramètre (systèmes triangulaires et pivot de Gauss ont été traités en classe).; Exercices de calcul en statistique descriptive (sans calculatrice).
Cours: Exponentielle et logarithme
Soutien: Calcul avec exponentielle et logarithme.

Du 21 au 25 novembre 2016

Questions de cours: Limites d’une fonction monotone; Théorème de Rolle; Théorème des accroissements finis; Inégalité des accroissements finis; Équation d’une droite passant par deux points d’abscisses différentes
Programme de colle: Exercices de calcul d’équation de droite ou d’intersection.; Exercices de résolution de système de deux équations linéaires à deux inconnues, éventuellement avec paramètre.
Cours: Systèmes d’équations linéaires : méthode du pivot de Gauss; Approximation décimale et Statistique descriptive
Soutien: Calcul avec les décimaux.

Du 14 au 18 novembre 2016

Questions de cours: Dérivée du produit de deux fonctions; Condition nécessaire pour un extremum local; Théorème de comparaison et théorème d’encadrement (les deux sans démonstration); Limites d’une fonction monotone; Théorème de Rolle; Théorème des accroissements finis
Programme de colle: Étude de fonction avec une expression ne faisant intervenir que les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée, utilisation des théorèmes d’analyse globale et notamment le théorème des valeurs intermédiaires ainsi que ses différentes extensions.
Cours: Droites du plan; Systèmes de deux équations à deux inconnues
Soutien: Résolution de système d’équations.

Du 7 au 10 novembre 2016

Questions de cours: Somme et produit de fonctions bornées; Continuité d’une fonction dérivable; Dérivation de la fonction racine carrée; Dérivée du produit de deux fonctions; Condition nécessaire pour un extremum local; Théorème de comparaison et théorème d’encadrement (les deux sans démonstration)
Programme de colle: Étude de fonction avec une expression ne faisant intervenir que les opérations arithmétiques élémentaires et la racine carrée : domaine, continuité, dérivabilité, variations à l’aide du signe de la dérivée, limites par factorisation et utilisation éventuelle de l’expression conjuguée, voire asymptotes, expression de l’image et de la réciproque éventuelle.; Étude de la continuité d’une fonction définie par morceaux par le calcul de limites finies en un réel à droite et à gauche.
Cours: Analyse asymptotique : branches paraboliques; Analyse globale
Soutien: Calcul de limite.
Devoir: Devoir surveillé n^o 2 le jeudi 10 novembre

Du 17 octobre au 4 novembre 2016

Questions de cours: Somme et produit de fonctions bornées; Continuité d’une fonction dérivable; Dérivation de la fonction racine carrée; Composition d’applications injectives; Composition d’applications surjectives; Composition de fonctions monotones
Programme de colle: Étude du domaine et de l’image de fonctions définies par une expression, expression de la réciproque, variations pour des composées de fonctions usuelles, majoration et minoration. Attention, la formule de dérivation d’une composée n’a pas encore été abordée.; Étude de la continuité d’une fonction définie par morceaux par le calcul de limites finies en un réel à droite et à gauche.; Équations et inéquations avec des valeurs absolues
Cours: Analyse locale : formules de dérivation, extremum local; Analyse asymptotique : théorèmes de calcul, asymptotes
Soutien: Étude de fonction et calcul de dérivée.
Devoir: Exercices 4 et 5 de la fiche d’exercices sur les fonctions pour le 7 novembre

Du 10 au 14 octobre 2016

Questions de cours: Composition d’applications injectives; Composition d’applications surjectives; Composition de fonctions monotones; Inégalité de Bernoulli; Expression des coefficients binomiaux avec la factorielle; Inégalité triangulaire
Programme de colle: Étude du domaine et de l’image de fonctions définies par une expression, expression de la réciproque, variations pour des composées de fonctions usuelles; Équations et inéquations avec des valeurs absolues
Cours: Fonctions réelles d’une variable réelle; Analyse locale : limite finie en un réel à droite et à gauche, continuité, définition de la dérivée
Soutien: Étude de fonction.

Du 3 au 7 octobre 2016

Questions de cours: Inégalité de Bernoulli; Expression des coefficients binomiaux avec la factorielle; Inégalité triangulaire; Nombres triangulaires; Somme des puissances; Comparaison des inverses
Programme de colle: Résolution d’équations et d’inéquations avec des fractions rationnelles à l’aide de factorisations simples, de trinômes du second degré et de tableau de signe; Résolution d’équations simples avec des radicaux d’expressions du premier ou du second degré, nécessitant une étude préalable du signe du radicande et du second membre.; Manipulation des symboles somme et produit; Démonstration de formule par récurrence avec éventuellement des factorielles et coefficients binomiaux; Calcul avec la valeur absolue
Cours: Applications entre ensembles; Valeur absolue
Soutien: Étude de fonction.

Du 26 au 30 septembre 2016

Questions de cours: Nombres triangulaires; Somme des puissances; Comparaison des inverses; Identités remarquables; Règle des signes; Factorisation des trinômes du second degré
Programme de colle: Résolution d’équations et d’inéquations avec des fractions rationnelles à l’aide de factorisations simples, de trinômes du second degré et de tableau de signe; Résolution d’équations simples avec des radicaux d’expressions du premier ou du second degré, nécessitant une étude préalable du signe du radicande et du second membre.; Manipulation du symbole somme; Démonstration de formule par récurrence (attention, les coefficients binomiaux sont abordés seulement lundi 26 au matin)
Cours: Factorielle et coefficients binomiaux
Soutien: Exercices sur les coefficients binomiaux.

Du 19 au 23 septembre 2016

Questions de cours: Énoncé et démonstration des identités remarquables, de la règle des signes, de la factorisation des trinômes du second degré. Toutes les variables doivent être correctement introduites.
Exercices types en colle: Factorisation d’entiers avec de petits diviseurs pour simplification de fractions et de radicaux d’entiers; Résolution d’équations et d’inéquations avec des fractions rationnelles à l’aide de factorisations simples, de trinômes du second degré et de tableau de signe; Résolution d’équations simples avec des radicaux d’expressions du premier ou du second degré, nécessitant une étude préalable du signe du radicande et du second membre.
Cours: Principe de récurrence; Sommes et produits (symboles associés, sommes de référence
Soutien: Exercices de manipulation du symbole somme et récurrence.

Du 12 au 15 septembre 2016

Questions de cours: Contraposée et négation d’une implication, division euclidienne, écriture des nombres impairs, définition d’un corps, identités remarquables
Cours: Corps des réels (relations d’ordre, racine carrée, ensembles de nombres et puissances); Notions ensemblistes (parties)
Soutien: Exercices d’algèbre et analyse algébrique.

Du 5 au 9 septembre 2016

Cours: Éléments de logique mathématique, arithmétique des entiers, corps des réels (structure algébrique), notions ensemblistes (construction).
Soutien: Exercices de calcul, développement et factorisation.