DS3 HKBL

Fonction dépendant d’un paramètre

Soit a un réel strictement positif fixé. On pose pour tout x ∈ R, f_a(x) = a(1 + a²)/1 + x²).

Déterminer les variations et limites de f₁ et tracer sa courbe représentative.
Résoudre l’équation f_a(x) = a d’inconnue x.
Montrer que l’équation f_a(x) = x d’inconnue x peut s’écrire sous forme polynomiale avec une racine évidente. En déduire une factorisation de ce polynôme et déterminer alors toutes les solutions de l’équation.
Dans cette question uniquement, on s’intéresse au cas particulier a = 1. Montrer que les solutions de l’équation (f₁ ∘ f₁)(x) = x sont les racines du polynôme P₁ = X⁵ − 2X⁴ + 2X³ − 4X² + 5X − 2.
Montrer que 1 est racine de P₁ et préciser son ordre de multiplicité, puis déterminer toutes les autres racines réelles de P₁.
Plus généralement, montrer que les solutions de l’équation (f_a ∘ f_a)(x) = x sont les racines d’un polynôme P_a de degré 5 que l’on explicitera.
Montrer qu’il existe un polynôme Q_a tel que P_a = (X − a) × Q_a.
On suppose maintenant que 0 < a < 1.
Étudier les variations de Q_a sur ]a, +∞[ et en déduire qu’il admet une unique racine dans cet intervalle.

Dénombrement

Hector a un doute sur les chiffres de la comptabilité d’une entreprise qu’il doit analyser. Sur les 20 montants relevés à la suite sur une même page, il n’y a jamais trois nombres de suite qui ont la même parité. Il en fait part à son amie Ada, mathématicienne. Celle-ci lui explique qu’une telle disposition peut se représenter avec une barrette de 20 cases en ligne remplie avec uniquement des petits carrés 1 × 1 et des rectangles 2 × 1, comme dans l’exemple ci-dessous.

Sur les 20 cases, combien peut-on mettre de rectangles 2 × 1 au minimum ? au maximum ?
Si on place k tels rectangles, combien reste-t-il de petits carrés à placer ?
Justifier qu’il y a autant de placement des k rectangles que de suites strictement croissantes de k nombres dans ⟦1, 20 − k⟧.
En déduire que le nombre de dispositions présentées par Ada s’écrit ∑_k=0¹⁰ (k parmi 20 − k).
Calculer ce nombre en détaillant les calculs mais en veillant à n’écrire aucun nombre de plus de 5 chiffres.
Étant donné une disposition de carrés et rectangles, de combien de manières peut-on écrire sur chaque pièce « pair » ou « impair » de façon à ce que deux pièces consécutives n’aient pas la même parité ?
De combien de manières peut-on écrire « pair » ou « impair » sur chacune des 20 cases sans cette contrainte du changement de parité ?
Conclure sur les doutes d’Hector.

Analyse

On considère la fonction f définie pour tout x ∈ ]1/2, +∞[ par f(x) = x² + 1/2x − 1).

Étude de fonction

Déterminer les variations de f sur son domaine de définition.
Déterminer ses éventuels points fixes.
Calculer ses limites en 1/2 et en +∞.
Justifier que la courbe représentative de f admet des asymptotes en 1/2 et en +∞.
Montrer que l’intervalle [1 ; 2] est stable par f.

Suite récurrente

On définit une suite (u_n) par u₀ = 2 et pour tout n ≥ 0, u_n+1 = f(u_n).

Calculer u₀ et u₁.
Montrer que pour tout n ∈ N, on a 1 ≤ u_n+1 ≤ u_n ≤ 2.
En déduire que la suite (u_n) converge et préciser sa limite (notée φ).
Justifier l’inégalité φ > 3/2.
En déduire que pour tout n ∈ N on a 2u_n − 1 ≥ 2.
Montrer que pour tout n ∈ N on a u_n+1 − φ = (u_n − φ)²/2u_n − 1).
Montrer enfin que pour tout n ∈ N on a 0 ≤ u_n − φ ≤ 1/2^{2ⁿ⁺¹−1}).