Programme de colles de mathématiques HK BL

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Semaine 26 du 26 au 29 mai 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

Développement limité : définition, unicité, intégration, formule de Taylor-Young, développements de référence, composée, méthode de calcul en dehors de 0 par changement de variable, utilisation pour obtenir des équivalents, limites et positions relatives par rapport à la tangente.

Questions de cours

Toutes les propriétés doivent être démontrées.

• Unicité du développement limité
• Développement limité de x ↦ 1/(1 − x) en 0
• Développement limité de la fonction exponentielle en 0
• Caractérisation des familles liées de deux vecteurs par la colinéarité
• Formule de Grassmann (démonstration dans le cas de l'intersection nulle)
• Dimension d'un sous-espace vectoriel
• Caractérisation des bases
• Caractérisation des familles liées de deux vecteurs par la colinéarité

Exercices types

Dimension d'un espace vectoriel défini par générateurs et relations (typiquement, ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et d'intégrale nulle sur [0 ; 1]).

Développement limité d'une fonction en 0 ou en un autre réel par changement de variable, utilisation pour calculer un équivalent ou une limite

Position relative entre courbe et tangente à l'aide du développement limité

Semaine 25 du 18 au 22 mai 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Dimension finie : théorèmes d'existence, calcul de la dimension

Questions de cours

Toutes les propriétés doivent être démontrées.

• Formule de Grassmann (démonstration dans le cas de l'intersection nulle)
• Dimension d'un sous-espace vectoriel
• Caractérisation des bases
• Caractérisation des familles liées de deux vecteurs par la colinéarité

Exercices types

• Nature d'une famille de vecteurs (libre ou génératrice). Décomposition d'un vecteur sur une base.
• Dimension d'un espace vectoriel défini par générateurs et relations (typiquement, ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et d'intégrale nulle sur [0 ; 1]).

Attention, certains horaires de colles ont changé. Les groupes du vendredi passent désormais le lundi.

Semaine 24 du 11 au 15 mai 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Dimension finie : famille libre et génératrice, caractérisation des bases par la décomposition des vecteurs

Questions de cours

Toutes les propriétés doivent être démontrées.

• Formule de Huygens
• Espérance de la loi uniforme
• Espérance de la loi binomiale
• Espérance et variance de la loi de Bernoulli
• Caractérisation des familles liées de deux vecteurs par la colinéarité

Exercices types

• Exercices de calcul d'espérance, optimisation en fonction d'un paramètre
• Nature d'une famille de vecteurs (libre ou génératrice). Décomposition d'un vecteur sur une base.

Semaine 23 du 20 au 24 avril 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Variables aléatoires réelles discrètes avec un nombre fini de valeurs : définition, calcul de l'espérance et de la variance, exemples (Bernoulli, binomiale, uniforme).

Questions de cours

Toutes les propriétés doivent être démontrées.

• Formule de Huygens
• Espérance de la loi uniforme
• Espérance de la loi binomiale
• Espérance et variance de la loi de Bernoulli
• Caractérisation de l'injectivité d'une application linéaire.
• Image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire

Exercices types

Exercices de calcul d'espérance, optimisation en fonction d'un paramètre

Semaine 22 du 13 au 17 avril 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Suite du cours sur les espaces vectoriels : image directe et image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire, caractérisation de l'injectivité par le noyau.

La notion d'espace vectoriel passant mal auprès des élèves, et du fait de la proximité du deuxième concours blanc, seules deux démonstrations sont rajoutées cette semaine. Elle ont été bien traitées en classe et signalées comme étant au programme de colle de cette semaine.

Questions de cours

Toutes les propriétés doivent être démontrées.

• Intersection de sous-espaces vectoriels
• Somme de sous-espaces vectoriels
• Caractérisation de l'injectivité d'une application linéaire.
• Image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire

Exercices types

• Structure de sous-espace vectoriel sur une partie d'un espace vectoriel de référence (exemple ou contre-exemple).
• Recherche du noyau d'une application linéaire, notamment dans le cas où elle est définie de Rⁿ dans R^p (avec n et p inférieurs ou égaux à 3) par résolution d'un système.
• Caractérisation de l'image d'une application linéaire dans un espace de vecteurs colonnes par des équations cartésiennes.

Semaine 21 du 30 mars au 2 avril 2015

Attention, en fin de semaine, les colles devront être reportées à partir du 13 avril en raison du deuxième concours blanc qui commence jeudi 2 après-midi.

Contenu du cours de la semaine précédente

• Suite du cours sur les espaces vectoriels : application linéaire, définition de l'image et du noyau.

La notion d'espace vectoriel passant mal auprès des élèves, et du fait de la proximité du deuxième concours blanc, seules deux démonstrations sont rajoutées cette semaine. Elle ont été bien traitées en classe et signalées comme étant au programme de colle de cette semaine.

Questions de cours

Toutes les propriétés doivent être démontrées.

• Intersection de sous-espaces vectoriels
• Somme de sous-espaces vectoriels
• Changement de variable
• Théorème fondamental de l'analyse
• Définition d'un sous-espace vectoriel et caractérisation

Exercices types

• Structure de sous-espace vectoriel sur une partie d'un espace vectoriel de référence (exemple ou contre-exemple).
• Recherche du noyau d'une application linéaire, notamment dans le cas où elle est définie de Rⁿ dans R^p (avec n et p inférieurs ou égaux à 3) par résolution d'un système.
• Calcul d'intégrales et recherche de primitives.
• Étude de fonction dont la variable définit les bornes d'une intégrale (intégrale de x à 2x…

Semaine 20 du 23 au 27 mars 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fin du cours sur l'intégration sur un segment : sommes de Riemann. Exercices.
• Début du cours sur les espaces vectoriels : définition, notion de sous-espace vectoriel.

Questions de cours

Toutes les propriétés doivent être démontrées.

• Inégalité triangulaire
• Inégalités de la moyenne
• Intégration par parties
• Changement de variable
• Théorème fondamental de l'analyse
• Définition d'un sous-espace vectoriel et caractérisation

Exercices types

• Structure de sous-espace vectoriel sur une partie d'un espace vectoriel de référence (exemple ou contre-exemple).
• Calcul d'intégrales et recherche de primitives. (Le changement de variable peut nécessiter un peu d'accompagnement.)
• Étude de fonction dont la variable définit les bornes d'une intégrale (intégrale de x à 2x…
• Résolution de système, mise sous forme triangulaire pour voir si un système est de Cramer.

Semaine 19 du 16 au 20 mars 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Début du cours sur l'intégration sur un segment : définition, premières propriétés, théorème fondamental de l'analyse, intégration par parties et changement de variable.

Questions de cours

• Inégalité triangulaire
• Inégalités de la moyenne
• Intégration par parties
• Nombre de variables libres pour l'ensemble des solutions d'un système échelonné (sans démonstration)
• Liens entre les solutions d'un système d'équations linéaires et celles du système homogène associé
• Structure de groupe sur l'ensemble des vecteurs colonnes

Exercices types

• Calcul d'intégrales et recherche de primitives. (Le changement de variable peut nécessiter un peu d'accompagnement.)
• Étude de fonction dont la variable définit les bornes d'une intégrale (intégrale de x à 2x…
• Résolution de système, mise sous forme triangulaire pour voir si un système est de Cramer.
• Recherche de combinaisons sur une famille de vecteurs colonnes pour obtenir le vecteur nul ou un vecteur donné. Détermination d'équations cartésiennes pour un espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. (Le vocabulaire des espaces vectoriels n'a pas encore été fixé).

Semaine 18 du 9 au 13 mars 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Cours sur les systèmes d'équations linéaires : méthode de résolution par le pivot de Gauss, système échelonné, système de Cramer. Le déterminant n'est pas au programme.
• Cours sur les vecteurs colonnes : opérations, combinaisons linéaires. Le vocabulaire des familles libres, liées ou génératrices n'a pas encore été vu mais les notions ont été approchées à travers des exercices.

Questions de cours

• Comparaison des fonctions puissances en 0 et à l'infini
• Comparaison des fonctions puissances et du logarithme en +∞
• Équivalent d'un polynôme en une racine
• Nombre de variables libres pour l'ensemble des solutions d'un système échelonné (sans démonstration)
• Liens entre les solutions d'un système d'équations linéaires et celles du système homogène associé
• Structure de groupe sur l'ensemble des vecteurs colonnes

Exercices types

• Résolution de système, mise sous forme triangulaire pour voir si un système est de Cramer.
• Recherche de combinaisons sur une famille de vecteurs colonnes pour obtenir le vecteur nul ou un vecteur donné. Détermination d'équations cartésiennes pour un espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. (Le vocabulaire des espaces vectoriels n'a pas encore été fixé).
• Étude de fonction ou de suite à l'aide de comparaison asymptotique

Attention, la relation de domination (grand O) est hors programme. La notion de développement limité n'a pas encore été abordée, même si plusieurs équivalents élémentaires ont été donnés.

Semaine 17 du 16 au 20 février 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Cours sur la comparaison asymptotique : relation de prépondérance, comparaison de croissance des fonctions puissances, logarithme et exponentiel, notion d'équivalent.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Comparaison des puissances en 0 et à l'infini
• Comparaison des puissances et du logarithme en +∞
• Équivalent d'un polynôme en une racine
• Factorisation à l'aide d'une liste de racines
• Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé
• Décomposition des polynômes complexes

Exercices types

• Exercices sur les polynômes.
• Étude de fonction ou de suite à l'aide de comparaison asymptotique

Attention, la relation de domination (grand O) est hors programme. La notion de développement limité n'a pas encore été abordée, même si plusieurs équivalents élémentaires ont été donnés.

Semaine 16 du 9 au 13 février 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fin du cours sur les polynômes : formule de Taylor, racine, racine multiple, théorème de d'Alembert-Gauss, décomposition.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Formules de Bayes
• Additivité de la probabilité
• Reste pour une division euclidienne par un polynôme de la forme X − λ
• Factorisation à l'aide d'une liste de racines
• Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé
• Décomposition des polynômes complexes

Exercices types

• Exercices de probabilités sur des ensembles finis (sans variables aléatoires).
• Exercices sur les polynômes.

Semaine 15 du 2 au 6 février 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Probabilités sur un ensemble fini : loi de probabilité, évènement, probabilité conditionnelle, indépendance. La notion de variable aléatoire n'a pas encore été abordée.
• Début du cours sur les polynômes : degré, coefficient dominant, opérations arithmétiques élémentaires, division euclidienne, polynôme dérivé.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Inverse d'un nombre complexe
• Formule de De Moivre
• Formules d'Euler
• Formules de Bayes
• Additivité de la probabilité
• Reste pour une division euclidienne par un polynôme de la forme X − λ

Exercices types

• Exercices de probabilités sur des ensembles finis (sans variables aléatoires).
• Exercices élémentaires sur les polynômes : calcul et division euclidienne, polynôme dérivé.
• Calcul avec des nombres complexes : résolution d'équation polynomiale à coefficients réels (se ramenant à des équations du second degré ou à un calcul de racine n-ième par changement de variable), utilisation des formules de De Moivre et d'Euler pour transformer des équations trigonométriques.

Semaine 14 du 26 au 30 janvier 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Nombres complexes, y compris le calcul algébrique de racines carrées dans C et le calcul de racines n-ièmes à l'aide de la forme exponentielle.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Cardinal de l'ensemble des permutations
• Nombre de combinaisons à l'aide de la formule du triangle de Pascal.
• Dérivée de la fonction Arctan
• Inverse d'un nombre complexe
• Formule de De Moivre
• Formules d'Euler

Exercices types

• Calcul avec des nombres complexes : résolution d'équation polynomiale à coefficients réels (se ramenant à des équations du second degré ou à un calcul de racine n-ième par changement de variable), utilisation des formules de De Moivre et d'Euler pour transformer des équations trigonométriques.
• Calcul de cardinaux d'ensembles finis (l'expression des probabilités n'a pas encore été explicitement donné).

Semaine 13 du 19 au 23 janvier 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Dénombrement : permutations, arrangements et combinaisons.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Règle de composition des puissances en base réelle quelconque : (b^x)^y = b^xy
• Comparaison entre la courbe de la fonction exponentielle et sa tangente à l'origine : e^x ≥ x + 1
• Lien entre le cardinal de la réunion et celui de l'intersection
• Cardinal de l'ensemble des permutations
• Nombre de combinaisons à l'aide de la formule du triangle de Pascal.
• Dérivée de la fonction Arctan

Exercices types

• Calcul de cardinaux d'ensembles finis (l'expression des probabilités n'a pas encore été explicitement donné).
• Étude de fonction à l'aide des fonctions de référence y compris trigonométriques et réciproques avec calcul de limites, détermination d'éventuelles asymptotes. L'analyse peut faire appel à des dérivées d'ordre supérieur.
• Démonstration d'inégalités par analyse de la différence.

Attention, les comparaisons de croissance n'ont pas encore été vues.

Semaine 12 du 12 au 16 janvier 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Dérivées d’ordre supérieur et classes de continuité.
• Manipulation des fonctions trigonométriques inverses.
• Début du cours sur le dénombrement : opérations ensemblistes, produit cartésien, ensemble d'applications et ensemble de parties

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Caractérisation de la fonction exponentielle
• Justification de la notation e^x par la formule exp(nx) = (exp(x))ⁿ pour tout n entier naturel.
• Limites de la fonction exponentielle
• Règle de composition des puissances en base réelle quelconque : (b^x)^y = b^x×y
• Comparaison entre la courbe de la fonction exponentielle et sa tangente à l'origine : e^x ≥ x + 1
• Lien entre le cardinal de la réunion et celui de l'intersection

Exercices types

• Étude de fonction à l'aide des fonctions de référence y compris trigonométriques et réciproques avec calcul de limites, détermination d'éventuelles asymptotes. L'analyse peut faire appel à des dérivées d'ordre supérieur.
• Démonstration d'inégalités par analyse de la différence.

Attention, les comparaisons de croissance n'ont pas encore été vues.

Semaine 11 du 5 au 9 janvier 2015

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fin du cours sur la dérivabilité avec le théorème de la limite de la dérivée. Les dérivées d'ordre supérieur n'ont pas été développées.
• Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes (y compris en base a) avec la racine n-ième.
• Révision des fonctions de référence

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Caractérisation de la fonction exponentielle
• Justification de la notation e^x par la formule exp(nx) = (exp(x))ⁿ pour tout n entier naturel.
• Limites de la fonction exponentielle
• Lien entre dérivabilité et continuité
• Théorème de Rolle
• Théorème des accroissements finis

Exercices types

• Étude de fonction à l'aide des fonctions de référence (sauf trigonométriques inverses) avec calcul de limites, détermination d'éventuelles asymptotes.

Attention, les comparaisons de croissance n'ont pas encore été vues.

Pas de colle les deux dernières semaines de décembre en hypokhâgne B/L pour cause de concours blanc puis de semaine culturelle. Les colles reprendront normalement la première semaine de janvier.

Semaine 10 du 1^er au 5 décembre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fin du cours sur la continuité pour les fonctions réelles d'une variable réelle : théorème des valeurs intermédiaires, extension à un intervalle ouvert, théorème de la bijection, réciproque, théorème des bornes.
• Début du cours sur la dérivabilité pour les fonctions réelles d'une variable réelle : définition et exemple en un point et sur un intervalle, formules de calcul, théorème de Rolle, accroissements finis avec inégalités.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Lien entre dérivabilité et continuité
• Théorème de Rolle
• Théorème des accroissements finis
• Localisation de la limite d'une suite définie par une fonction de récurrence continue sur un intervalle fermé stable
• Continuité de la fonction racine carrée
• Continuité de la fonction valeur absolue sur R

Exercices types

• Calcul des limites d'une fonction aux bornes de son domaine de définition et détermination des éventuelles asymptotes et branches paraboliques, dérivation et étude des variations, tracé de l'allure de la courbe.
• Détermination de la continuité d'une fonction définie par morceaux.
• Détermination de la limite d'une suite définie par une fonction de récurrence continue sur un intervalle stable.

Attention, les fonctions exponentielles, logarithmes et trigonométriques n'ont pas encore été revues en détail.

Semaine 9 du 24 au 28 novembre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fin du cours sur les limites de fonction : limite d'une fonction monotone, limite à gauche et à droite, asymptotes et branches paraboliques.
• Continuité pour les fonctions réelles d'une variable réelle : définition, exemples, stabilité (par addition, multiplication, passage à l'inverse, composition), continuité sur un intervalle, application aux suites définies par récurrence, prolongement par continuité.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Localisation de la limite d'une suite définie par une fonction de récurrence continue sur un intervalle fermé stable
• Continuité de la fonction racine carrée
• Continuité de la fonction valeur absolue sur R
• Limites à l'infini des fonctions puissances
• Théorème d'encadrement
• Convergence des suites adjacentes

Exercices types

• Calcul des limites d'une fonction aux bornes de son domaine de définition et détermination des éventuelles asymptotes et branches paraboliques, tracé de l'allure de la courbe.
• Détermination de la continuité d'une fonction définie par morceaux.
• Détermination de la limite d'une suite définie par une fonction de récurrence continue sur un intervalle stable.
• Résolution d'équation trigonométriques simples, utilisant éventuellement des changements de variables ou des équations du second degré.

Semaine 8 du 17 au 21 novembre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fin du cours sur les limites de suites : suites adjacentes.
• Limite de fonction : droite réelle continuée, voisinage, définition de la limite, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison et d'encadrement.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Limites à l'infini des fonctions puissances
• Théorème d'encadrement
• Convergence des suites adjacentes
• Toute suite convergente est bornée
• Limite du produit de deux suites convergentes
• Limite d'une suite croissante non majorée

Exercices types

• Résolution d'équation trigonométriques simples, utilisant éventuellement des changements de variables ou des équations du second degré.
• Étude de variations de suites définies par terme général ou par une récurrence simple.
• Calcul de limite de suite ou de fonctions à l'aide des résultats du cours.

Semaine 7 du 10 au 14 novembre 2014

Attention, les colles du mardi sont déplacées.

Contenu du cours de la semaine précédente

• Trigonométrie : définition des sinus et cosinus, relation sin² + cos² = 1, valeurs remarquables.
• Limite d’une suite réelle : définition de la convergence et des limites infinies, comparaison de limites, unicité de la limite, opérations sur les limites, théorème de la limite pour les suites monotones, théorèmes de comparaison et d'encadrement, limite d'une suite géométrique.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Toute suite convergente est bornée
• Limite du produit de deux suites convergentes
• Limite d'une suite croissante non majorée
• Caractérisation des fonctions bornées par la majoration de la valeur absolue
• Équation de droite à partir des coordonnées de deux points d'abscisses différentes
• Terme général d'une suite arithmétique ou géométrique

Exercices types

• Résolution d'équation trigonométriques simples, utilisant éventuellement des changements de variables ou des équations du second degré.
• Étude de variations de suites définies par terme général ou par une récurrence simple.
• Calcul de limite à l'aide des outils vus en cours (ce qui exclut pour l'instant les suites adjacentes et la composée avec des fonctions continues).
• Détermination d'une relation de récurrence pour une suite définie à partir d'une autre, notamment pour étudier une suite arithmético-géométrique ou définie par une fonction de récurrence homographique.

Semaine 6 du 3 au 7 novembre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fonctions réelles d'une variable réelle : parité et périodicité
• Géométrie analytique : équation de droite
• Suites réelles : exemples, variations, majoration et minoration

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Variations de la composée de fonctions monotones
• Variations de la fonction carré
• Stabilité de l'injectivité par la composition
• Caractérisation des fonctions bornées par la majoration de la valeur absolue
• Équation de droite à partir des coordonnées de deux points d'abscisses différentes
• Terme général d'une suite arithmétique ou géométrique

Exercices types

• Étude de variations de suites définies par terme général ou par une récurrence simple.
• Détermination d'une relation de récurrence pour une suite définie à partir d'une autre, notamment pour étudier une suite arithmético-géométrique ou définie par une fonction de récurrence homographique.
• Résolution de système de deux équations linéaires à deux inconnues, éventuellement avec un paramètre littéral, interprétation géométrique comme intersection de droites.
• Étude des variations de fonctions composées de fonctions de référence.

Semaine 5 du 13 au 17 octobre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

• Fonctions réelles d'une variable réelle : vocabulaire, variations
• Résolution de système de deux équations linéaires à deux inconnues, avec éventuellement un paramètre littéral.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Inégalité de Bernoulli
• Différence de puissances (formule de Bernoulli)
• Formule de Koenig
• Variations de la composée de fonctions monotones
• Variations de la fonction carré
• Stabilité de l'injectivité par la composition

Exercices types

• Résolution de système de deux équations linéaires à deux inconnues, éventuellement avec un paramètre littéral.
• Étude des variations de fonctions composées de fonctions de référence.
• Calcul d'effectifs et fréquence, moyenne et médiane sur des séries numériques discrètes
• Construction d'histogramme
• Calculs avec les taux d'évolution

Semaine 4 du 6 au 10 octobre 2014

Attention, les colles du lundi 6 octobre ne pourront être assurées ce jour-là du fait de la sortie des élèves au Conseil des prudhommes. Elles seront rattrapées dans la semaine ou la semaine suivante.

Contenu du cours de la semaine précédente

Statistique descriptive : variable statistique (nominale, ordinale, quantitative discrète ou continue), effectifs, fréquences, mode, quantiles, indicateurs numériques (moyenne, variance, écart type), représentation graphique (diagramme circulaire, diagramme en bâtons, diagramme en boite, histogramme). Taux d'évolution.

La formule de la variance dans le cas d'une variable quantitative continue a été présentée aux élèves mais n'est pas exigible.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Formule du binôme de Newton
• Expression des coefficients binomiaux avec les factorielles à partir de la relation de récurrence
• Inégalité de Bernoulli
• Différence de puissances (formule de Bernoulli)
• Formule de Koenig

Exercices types

• Calcul avec la factorielle et les coefficients binomiaux
• Calcul d'effectifs et fréquence, moyenne et médiane sur des séries numériques discrètes
• Construction d'histogramme
• Calculs avec les taux d'évolution
• Résolution d'équations ou d'inéquations.
• Démonstration de formules algébrique ou de sommes

Semaine 3 du 29 septembre au 3 octobre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

Nombres réels : inégalité de Bernoulli, approximation (sans les règles de calcul sur les erreurs relatives), factorielle et coefficients binomiaux, racine carrée et équations du second degré, partie entière, division euclidienne.

Questions de cours

Toutes les questions suivantes doivent être démontrées.

• Inégalité triangulaire
• Formules de la somme des puissances et des nombres triangulaires
• Formule du binôme de Newton
• Expression des coefficients binomiaux avec les factorielles à partir de la relation de récurrence
• Inégalité de Bernoulli

Exercices types

• Calcul avec la factorielle et les coefficients binomiaux
• Résolution d'équations ou d'inéquations.
• Démonstration de formules algébrique ou de sommes (impairs, carrés, cubes, puissances d'exposant impair…)

Semaine 2 du 22 au 26 septembre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

• Nombres réels : majoration, minoration et extremum, structure des ensembles de nombres, puissances (sauf inégalité de Bernoulli). L'arithmétique limitée aux définitions de diviseurs, multiples, nombres premiers et division euclidienne. Les nombres premiers ne sont pas un objet d'étude en soi pour la classe.
• Récurrence simple, grands opérateurs, calcul de sommes, réindexation de somme. La notion de suite (connue des élèves depuis la classe de 1^re) n'a pas été retravaillée en tant que telle en hypokhâgne.

Questions de cours

• Identités remarquables et démonstration d'au moins l'une d'entre elles (au choix de l'examinateur)
• Règle des signes et démonstration que tout carré d'un réel est positif
• Inégalité triangulaire
• Formule de la somme pour une progression arithmétique ou géométrique

On prêtera attention au fait que toute variable soit systématiquement introduite par un quantificateur.

Exercices types

• Résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des fractions rationnelles à l'aide de factorisations simples, usage des identités remarquables voire équations du second degré.
• Résolution d'équations ou d'inéquations simples faisant intervenir des valeurs absolues.
• Démonstration de formules algébriques diverses (cf exemples sur Wikipedia) utilisant éventuellement les symboles somme ou produit, comme la somme des premiers carrés ou le produit ∏_k=2ⁿ(1 − 1/k).
• Démonstration par récurrence de formules sur les puissances.
• Résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des formules avec radicaux.

Semaine 1 du 15 au 19 septembre 2014

Contenu du cours de la semaine précédente

• Ensembles : construction et parties
• Nombres réels : structure algébrique, relation d'ordre, valeur absolue, intervalles

Questions de cours

• Définition de la structure de corps
• Identités remarquables et démonstration d'au moins l'une d'entre elles (au choix de l'examinateur)
• Règle des signes et démonstration que tout carré d'un réel est positif

On prêtera attention au fait que toute variable soit systématiquement introduite par un quantificateur.

Exercices types

• Résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des fractions rationnelles à l'aide de factorisations simples. Les formules de résolution des équations du second degré sont censées être connues des élèves.
• Résolution d'équations ou d'inéquations simples faisant intervenir des valeurs absolues.
• Démonstration de formules algébriques diverses (cf exemples sur Wikipedia) sans utilisation du symbole somme.
• Pour les élèves les plus à l'aise, résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des formules avec radicaux.

Archives

Le programme de l'année scolaire 2013-2014 est encore disponible.