Comparaison asymptotique

Prépondérance

Soit a ∈ R, soit f et g deux fonctions définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a, ou que g est prépondérante par rapport à f, s'il existe une fonction ε définie au voisinage de a avec f = ε × g et lim_x→a ε(x) = 0. On note alors f(x) = o_x→a(g(x)) ou f = o_a (g).

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit négligeable par rapport à g au voisinage de a peut se réécrire lim_x→a f(x)/g(x) = 0.

Le signe égal de ces dernières formules ne représente pas une égalité. En particulier, on a x = o_x→+∞(x²) et x + 1 = o_x→+∞(x²) et pourtant pour tout x ∈ R, x ≠ x + 1.

Pour tout (p, q) ∈ R² tel que p < q on a x^p = o_x→+∞(x^q) et x^q = o_x→0(x^p).
Pour tout p ∈ R^+∗ on a ln(x) = o_x→+∞ (x^p) et ln(x) = o_x→0 (1/x^p).
Pour tout p ∈ R⁺ on a x^p = o_x→+∞(e^x).
Soit P un polynôme réel et a ∈ R une racine double de P. Alors on a P(x) = o_x→a(x −a).

Par définition, pour tout x ∈ R^+∗ on a x^p/x^q = exp((p − q) ln(x)) avec lim_x→+∞ ln(x) = +∞ et p − q < 0 donc lim_x→+∞ (p − q) ln(x) = −∞ or on a lim_X→−∞ exp(X) = 0 donc on trouve la limite de la composée lim_x→+∞ exp((p − q) ln(x)) = 0.
De même, on trouve lim_x→0 (q − p) ln(x) = −∞ donc lim_x→0 exp((q − p) ln(x)) = 0.
On a pour tout X ∈ [1 ; +∞[, 0 ≤ ln(X) < X donc 0 ≤ ln(X)/X² < 1/X donc par théorème d'encadrement, on trouve lim_X→+∞ ln(X)/X² = 0. Or en posant le changement de variable X = x^p/2 avec p > 0, on a lim_x→+∞ x^p/2 = +∞ donc lim_x→+∞ ln(x^p/2)/x^p = 0 c'est-à-dire lim_x→+∞ p/2 ln(x)/x^p = 0.
De même, avec le changement de variable t = 1/x on trouve lim_{x→0, x>0} 1/x = +∞ or lim_t→+∞ ln(t)/t^p = 0 donc lim_x→0 −ln(x) x^p = 0.
Pour tout x ∈ R on a x^p/e^x = exp(p ln(x) − x) avec p ln(x) − x = −x(1 − p ln(x)/x), or lim_x→+∞ ln(x)/x = 0 et lim_x→+∞ −x = −∞ donc lim_x→+∞ p ln(x) − x = −∞ donc lim_x→+∞ x^p/e^x = 0.
Si a est une racine double de P alors P(a) = P′(a) = 0 donc la formule de Taylor appliquée à P de degré n permet d'écrire P = (X − a)² ∑_k=2ⁿ P^(k)(a)/k! (X − a)^k−2 donc pour tout x ≠ a on a P(x)/(x − a) = (x − a) ∑_k=2ⁿ P^(k)(a)/k! (x − a)^k−2 avec lim_x→a ∑_k=2ⁿ P^(k)(a)/k! (x − a)^k−2 = P⁽²⁾(a)/2 donc lim_x→a P(x)/(x − a) = 0.

Additivité: Si f₁(x) = o_x→a(g(x)) et f₂(x) = o_x→a(g(x)) alors f₁(x) + f₂(x) = o_x→a(g(x)).
Transitivité: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et g(x) = o_x→a(h(x)) alors f(x) = o_x→a(h(x)).
Multiplication par une fonction bornée: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et si u est une fonction bornée au voisinage de a alors u(x) × f(x) = o_x→a(g(x)).
Multiplication par une fonction quelconque: Si f(x) = o_x→a(g(x)) et si u est définie au voisinage de a alors u(x) × f(x) = o_x→a(u(x) × g(x)).

Le produit de deux fonctions négligeables par rapport à une troisième n'est pas forcément négligeable : on a x = o_x→+∞(x³) et x² = o_x→+∞(x³) mais x³ ≠ o_x→+∞(x³).

Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R. On a l'équivalence f(x) = o_x→a(1) ⇔ lim_x→a f(x) = 0.

Équivalent

Soit a ∈ R, soit f et g deux fonctions définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est équivalente à g au voisinage de a si on a g(x) − f(x) = o_x→a(g(x)).
Dans ce cas, on note f(x) ∼_x→a g(x) ou f ∼_a g.

ln(1 + x) ∼_x→0 x
sin(x) ∼_x→0 x
Si P est un polynôme et λ une racine de P d'ordre de multiplicité d alors P(x) ∼_x→λ P^(d)(λ)/d! (x − λ)^d

On montre que pour tout x ∈ R^+∗, on a 0 ≤ x − ln(1 + x) ≤ x²/2.
On montre que pour tout x ∈ R, on a 0 ≤ x − sin(x) ≤ x³/6.
On applique la formule de Taylor.

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit équivalente à g au voisinage de a peut se réécrire lim_x→a f(x)/g(x) = 1.

Réflexivité: pour toute fonction f définie au voisinage de a, f(x) ∼_x→a f(x).
Symétrie: pour toutes fonctions f et g définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a, f(x) ∼_x→a g(x) ⇔ g(x) ∼_x→a f(x).
Transitivité: Pour toutes fonctions f, g et h définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a, si f(x) ∼_x→a g(x) et g(x) ∼_x→a h(x) alors f(x) ∼_x→a h(x).

Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de a ∈ R et soit L ∈ R*. On a l'équivalence f(x) ∼_x→a L ⇔ lim_x→a f(x) = L.

Soit f et g deux fonctions définies simultanément au voisinage de a ∈ R telles que f(x) ∼_x→a g(x).

Pour toute fonction u définie au voisinage de a, on a u(x)f(x) ∼_x→a u(x) g(x)
Pour tout n ∈ N, on a fⁿ(x) ∼_x→a gⁿ(x)
Si f et g ne s'annulent pas au voisinage de a, on a 1/f(x) ∼_x→a 1/g(x)
Si u est une fonction définie au voisinage de λ ∈ R avec lim_x→λ u(x) = a alors f(u(x)) ∼_x→λ g(u(x)).

Une équivalence est préservée par composition à droite (en remplaçant la variable) mais pas en composant à gauche en général. Par exemple, on a x + 1 ∼_x→+∞ x et pourtant les expressions e^x et e^x+1 ne sont pas équivalentes lorsque x tend vers +∞.
Les équivalences ne sont pas préservées par les additions. Par exemple, x² − x ∼_x→+∞ x² + x et pourtant les expressions x² − x − x² et x² + x − x² ne sont pas équivalentes lorsque x tend vers +∞.