Comparaison asymptotique

Prépondérance

Menu

Soit aR, soit f et g deux fonctions définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est négligeable par rapport à g au voisinage de a, ou que g est prépondérante par rapport à f, s'il existe une fonction ε définie au voisinage de a avec f = ε × g et limxa ε(x) = 0. On note alors f(x) = oxa(g(x)) ou f = oa (g).

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit négligeable par rapport à g au voisinage de a peut se réécrire limxa f(x)/g(x) = 0.

Le signe égal de ces dernières formules ne représente pas une égalité. En particulier, on a x = ox→+∞(x2) et x + 1 = ox→+∞(x2) et pourtant pour tout xR, xx + 1.

Additivité
Si f1(x) = oxa(g(x)) et f2(x) = oxa(g(x)) alors f1(x) + f2(x) = oxa(g(x)).
Transitivité
Si f(x) = oxa(g(x)) et g(x) = oxa(h(x)) alors f(x) = oxa(h(x)).
Multiplication par une fonction bornée
Si f(x) = oxa(g(x)) et si u est une fonction bornée au voisinage de a alors u(x) × f(x) = oxa(g(x)).
Multiplication par une fonction quelconque
Si f(x) = oxa(g(x)) et si u est définie au voisinage de a alors u(x) × f(x) = oxa(u(x) × g(x)).

Le produit de deux fonctions négligeables par rapport à une troisième n'est pas forcément négligeable : on a x = ox→+∞(x3) et x2 = ox→+∞(x3) mais x3ox→+∞(x3).

Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de aR. On a l'équivalence f(x) = oxa(1) ⇔ limxa f(x) = 0.

Équivalent

Menu

Soit aR, soit f et g deux fonctions définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a. On dit que f est équivalente à g au voisinage de a si on a g(x) − f(x) = oxa(g(x)).
Dans ce cas, on note f(x) xa g(x) ou f a g.

Si la fonction g ne s'annule pas au voisinage de a, le fait que f soit équivalente à g au voisinage de a peut se réécrire limxa f(x)/g(x) = 1.

Réflexivité
pour toute fonction f définie au voisinage de a, f(x) xa f(x).
Symétrie
pour toutes fonctions f et g définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a, f(x) xa g(x) ⇔ g(x) xa f(x).
Transitivité
Pour toutes fonctions f, g et h définies sur un même voisinage à gauche ou à droite de a, si f(x) xa g(x) et g(x) xa h(x) alors f(x) xa h(x).

Soit f une fonction définie au voisinage à gauche ou à droite de aR et soit LR*. On a l'équivalence f(x) xa Llimxa f(x) = L.

Soit f et g deux fonctions définies simultanément au voisinage de aR telles que f(x) xa g(x).