Exercices sur la comparaison asymptotique

Comparaison asymptotique
  1. Calcul
  2. Primitives
  3. Sommes de Riemann

Relation de prépondérance et calcul de limite

  1. Déterminer les limites aux bornes du domaine de chacune des fonctions x ↦ xx , x ↦ x exp(1/x), x ↦ ln(x) + 1/x.
  2. Établir les relations de prépondérance entre les fonctions x ↦ √x, x ↦ ln2(x), x ↦ x/ln(x) et x ↦ exp(√ln(x)) en +∞.
  3. On définit la fonction h par ∀u ∈ R−, h(u) = 0 et ∀u ∈ R∗+ h(u) = u ln(u). Montrer que la fonction u est continue sur R.
    Ecricome 2008 problème 2.1.2
  4. Soit λ ∈ R∗+Montrer que l'on peut prolonger la fonction x ↦ x + (1 − x) ln(1 − x) en 1. Le prolongement est-il dérivable en 1 ? Que dire de la demi-tangente à la représentation graphique de la fonction au point d'abscisse 1 ?
    Ecricome 2011 indice de concentration d'une variable exponentielle question 5

Équivalent

  1. Donner un équivalent simple de la fonction polynôme associée à X4 − 3X3 + 4X en 0, en 1, en 2 et en +∞.
  2. Montrer que pour toute suite convergente (un) de limite non nulle on a un+1 ∼n→+∞ un. Montrer que la suite (1 / 2n) converge. A-t-on 1 / 2n+1 ∼n→+∞ 1 / 2n ?
    Montrer que la suite (ln(n)) diverge mais satisfait ln(n+1) ∼n→+∞ ln(n).
  3. Donner un équivalent simple de la suite b définie pour tout n ∈ N∗ par bn = 1/n + 1 − ln(n + 1) + ln(n).
    Ecricome 2001 problème I question 5a
  4. En utilisant la formule de Stirling n! ∼n→+∞ (n/e)n √2πn , donner un équivalent de (n2n).
    ENS 2011 exercice II question 5
On pose pour tout p ∈ ]0 ; 1[, φ(p) = −p ln(p) + (p − 1) (p + ln(1 − p)).
  1. Calculer la dérivée et la dérivée seconde de φ.
  2. Étudier les variations de φ′ et calculer φ′(1/2)
  3. En déduire les variations de φ.
  4. Déterminer les limites de φ en 0 et en 1.
Ecricome 2008 problème 2.2.1
On veut résoudre l'inéquation xy ≥ yx dans (R∗+)2.
  1. Démontrer que pour tout (x, y) ∈ (R∗+)2 on a l'équivalence xy ≥ yx  ⇔  ln(x)/x ≥ ln(y)/y.
  2. Étudier les variations et les limites de la fonction f : t ↦ ln(t)/t sur R∗+. Tracer une représentation graphique de la courbe de f.
  3. Montrer que la restriction de la fonction f à l'intervalle ]1 ; e] induit une bijection entre son domaine et son image.
    On notera g la bijection réciproque, dont on précisera les variations.
  4. Montrer que pour tout x ≥ e, l'inéquation xy ≥ yx est vérifiée si et seulement si y ≥ x ou y ≤ g(f(x)).
    (On pourra distinguer les cas y ≤ e et y ≥ e.)
  5. Justifier que la fonction g est dérivable en e et calculer g′(e).
  6. Vérifier l'égalité f(2) = f(4) et en déduire la valeur de g(f(4)).
  7. En posant h = g ∘ f sur [e ; +∞[, calculer h′(e) et h′(4) puis en donner une valeur approchée sachant que ln(2) vaut environ 0,7 à 10−2 près.
  8. Représenter graphiquement la courbe de la fonction h, ses tangentes en e et en 4 ainsi que son éventuelle asymptote en +∞.