Les exercices peuvent porter sur tout le programme des deux années
Semaines 17 et 18 du 7 au 18 mars 2016
Questions de cours
Dénombrement :
formule du cardinal de l'union et des cardinaux d'ensembles usuels, formule du triangle de Pascal et expression des coefficients binomiaux avec la factorielle
Probabilités :
définition d'une loi de probabilité, d'un système complet d'évènements, de la probabilité conditionnelle, de l'indépendance de deux évènements ;
probabilité d'un évènement en cas d'équiprobabilité sur un univers fini, formule des probabilités totales, formule de Bayes
Variables aléatoires réelles discrètes et à densité : fonction de répartition, lois de référence, formules de l'espérance et de la variance, formule de Koenig, théroème de transfert, indépendance de deux variables aléatoires
Les élèves sont en concours blanc jusqu'au mardi 8 mars. Les colles reprendront donc la semaine prochaine, avec un rattrapage des colles du lundi.
Semaines 15 et 16 du 1er au 26 février 2016
Questions de cours
Espaces vectoriels :
définitions de sous-espaces en somme directe ou supplémentaires, d'une application linéaire,
d'un endomorphisme, isomorphisme, automorphisme ou d'une forme linéaire, du noyau ;
caractérisation de l'injectivité par le noyau
Dimension finie :
définition d'une famille libre, génératrice, d'une base, de la dimension ;
caractérisation des bases, théorème de la base incomplète, formule de Grassmann
Matrices : définition du produit matriciel, de l'inversibilité
Représentation matricielle :
définition de la matrice représentative d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire
Rang :
caractérisation des applications linéaires injectives, surjectives ou bijectives, théorème du rang
Exercices types
Tout problème d'algèbre linéaire élémentaire sur des espaces de dimension finie.
Semaine 14 du 25 au 29 janvier 2016
Le programme est le même que la semaine précédente. La question de cours pourra porter en outre sur les fonctions de référence : domaine, parité, périodicité, dérivée, allure de courbe, limites.
Désormais, la question de cours n'est plus une démonstration, mais l'énoncé d'un résultat ou d'une définition au choix du colleur parmi les suivants.
Intégration sur un segment :
positivité, additivité, linéarité et croissance de l'intégrale, inégalité triangulaire, valeur moyenne et inégalités de la moyenne, théorème fondamental de l'analyse, intégration par parties, primitives usuelles
Intégrale généralisée :
integrabilité des fonctions puissance, théorème de comparaison, théorème de négligeabilité, intégrale de Gauss, critère des équivalents
Exercices types
Recherche des points critiques d'une fonction de deux ou trois variables et détermination de la valeur en ces points, puis détermination de la nature du point critique (maximum ou minimum local ou global).
Attention, l'utilisation de la hessienne n'est pas au programme. Mais on peut faire calculer les dérivées partielles secondes puis demander les valeurs propres de la matrice composée de leurs valeurs en un point critique. Seule l'interprétation de cette matrice n'est pas déductible directement à partir du cours.
Problème d'analyse avec intégrale (éventuellement généralisée) ou développement limité
Semaine 12 du 11 au 15 janvier 2016
Fonctions de plusieurs variables : topologie, limite et continuité, dérivées partielles, point critique, condition nécessaire pour un extremum local, dérivées partielles secondes, théorème de Schwarz
Recherche des points critiques d'une fonction de deux ou trois variables et détermination de la valeur en ces points, puis détermination de la nature du point critique (maximum ou minimum local ou global).
Attention, l'utilisation de la hessienne n'est pas au programme. Mais on peut faire calculer les dérivées partielles secondes puis demander les valeurs propres de la matrice composée de leurs valeurs en un point critique. Seule l'interprétation de cette matrice n'est pas déductible directement à partir du cours.
Calcul de l'espérance d'une variable aléatoire et correction en vue d'obtenir un estimateur sans biais (typiquement, maximum ou minimum d'un échantillon pour estimer le paramètre de la loi).
Calcul de l'espérance d'une variable aléatoire et correction en vue d'obtenir un estimateur sans biais (typiquement, maximum ou minimum d'un échantillon pour estimer le paramètre de la loi).
Détermination d'un intervalle de fluctuation pour une loi explicite ou pour une somme de variables indépendantes et identiquement distribuées
Comparaison d'une fréquence observée avec un intervalle de fluctuation pour détecter un écart anormale par rapport à une proportion attendue.
Tout problème de variable aléatoire discrète ou à densité
Recherche des valeurs propres et espaces propres d'une matrice ou d'un endomorphisme en dimension finie.
Diagonalisabilité d'une matrice et diagonalisation le cas échéant.
Description de la loi conjointe de deux variables aléatoires (typiquement, la somme, la différence, le maximum ou le minimum de deux variables aléatoires discrètes indépendantes)
à l'aide d'un tableau de valeurs voire à l'aide d'une expression générale.
Calcul de la covariance, de la corrélation à partir de la loi conjointe de deux variables aléatoires
Tout problème de matrices et polynômes
Semaine 7 du 23 au 27 novembre 2015
Covariance de variables aléatoires discrètes, corrélation, somme de variables aléatoires indépendantes, loi conjointe, loi conditionnelle
La covariance de variables aléatoires à densité n'est officiellement pas au programme.
Description de la loi conjointe de deux variables aléatoires (typiquement, la somme, la différence, le maximum ou le minimum de deux variables aléatoires discrètes indépendantes)
à l'aide d'un tableau de valeurs voire à l'aide d'une expression générale.
Calcul de la covariance, de la corrélation à partir de la loi conjointe de deux variables aléatoires
Détermination d'une loi de probabilité pour une variable obtenue en fonction d'une autre variable à densité (comme le logarithme d'une variable exponentielle)
Tout problème d'analyse de suite (étude des variations, limite, équivalent, convergence de la série associée)
Semaine 6 du 2 au 6 novembre 2015
Variable aléatoire réelle à densité : fonction de répartition, lois de référence, espérance, théorème de transfert, moments et variance, formule de König-Huygens, indépendance
Seront aussi considérés comme relevant du cours les théorèmes des valeurs intermédiaires, théorème et inégalité des accroissements finis, les dérivées et primitives usuelles, l'équation d'une tangente, les développements limités usuels, l'intégration par parties et le changement de variables pour le calcul d'une intégrale, le critère de Riemann pour l'intégrabilité des fonctions puissance.
Exercices types
Vérification qu'une fonction définit une fonction de densité et calcul de probabilités à l'aide d'une telle fonction
Détermination d'une loi de probabilité pour une variable obtenue en fonction d'une autre variable à densité (comme le logarithme d'une variable exponentielle)
Tout problème d'analyse de fonction (étude des variations, développement limité, intégrabilité et intégrale)
Semaine 5 du 12 au 16 octobre 2015
Intégrale généralisée : intégrales de Riemann, propriétés, critères de convergence, convergence absolue, cas de la fonction sinus cardinal.
Recherche des valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice ou d'un endomorphisme
Détermination de la convergence ou convergence absolue d'une intégrale voire calcul si possible
Vérification qu'une fonction définit une fonction de densité et calcul de probabilités à l'aide d'une telle fonction (les lois de référence n'ont pas encore été présentées)
Semaine 4 du 5 au 9 octobre 2015
Analyse spectrale : spectre d'un endomorphisme, indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, majoration du nombre de valeurs propres, somme directe des espaces propres
Intégrale généralisée : définition sur un intervalle semi-ouvert, relation de Chasles, notion d'integrabilité d'une fonction continue en une borne de son domaine.