Dans tout ce cours, les coefficients des matrices et les scalaires seront pris dans un corps K qui pourra être celui des réels ou des complexes.
L'ensemble des matrices diagonales de même taille n ∈ N∗ est stable par addition et par produit matriciel. Si A = Diag(λ1, … , λn) et B = Diag(μ1, … , μn) alors pour tout p ∈ N,
En particulier, toutes les matrices diagonales commutent.
Deux matrices A et B carrées de même taille sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P de même taille telles que A = P B P−1.
Si deux matrices sont semblables et que l'une est inversible alors l'autre aussi. Plus généralement, deux matrices semblables ont le même spectre et les espaces propres associés ont respectivement la même dimension.
Si A = P B P−1 alors pour tout k ∈ N on a Ak = P Bk P−1.
En revanche, la relation de similitude n'est pas compatible avec l'addition ni avec le produit matriciel.
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
En particulier, toute matrice diagonale est diagonalisable et toute matrice semblable à une matrice diagonalisable l'est aussi.
Une matrice est diagonalisable si et seulement si elle admet une base de vecteurs propres.
Supposons que la matrice A ∈ 𝓜n(K) est diagonalisable.
Alors il existe une matrice diagonale D
= Diag(λ1, … , λn)
et une matrice inversible P de même taille
telles que A = P D P−1.
La famille (Xj)
des vecteurs colonnes de P
est donc une base de Kn
et pour tout j ∈ [[1 ; n]],
on trouve
AXj
= PDP−1Xj
= PD ej
= P λjej
= λjXj
donc Xj est un vecteur propre.
Réciproquement, si (Xj)
est une base de Kn
constituée de vecteurs propres de A ∈ 𝓜n(K),
alors la matrice P représentative de la famille (Xj) est inversible
et pour tout j ∈ [[1 ; n]],
P−1AP ej
= P−1AXj
= P−1(λjXj)
= λjej.
Finalement, la matrice P−1AP est la matrice diagonale D = Diag(λ1, … , λn)
donc A = PDP−1.
Toute matrice carrée de taille n ∈ N∗ avec n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Pour tout j ∈ [[1 ; n]] on note Xj un vecteur propre de A associé à la valeur propre λj.
Comme les valeurs propres associées sont deux à deux distinctes, la famille (Xj) est libre or elle a autant de termes que la dimension de l'espace Kn des vecteurs colonnes donc la famille (Xj) est une base de Kn.
Une matrice carrée de taille n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est égale à n.
Un endomorphisme en dimension finie est dit diagonalisable s'il admet une matrice représentative diagonale.
Soit A une matrice représentative d'un endomorphisme u en dimension finie. L'endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si la matrice A est diagonalisable.
Si l'endomorphisme est diagonalisable dans une base 𝓑′, sa matrice représentative D dans cette base est diagonale et semblable à la matrice A donc A est diagonalisable.
Réciproquement, si A est diagonalisable, il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que A = PDP−1. En notant 𝓑′ l'image de la base 𝓑 par la matrice P, on trouve P = Mat𝓑′,𝓑 (id) donc D = P−1AP = Mat𝓑,𝓑′ (id) Mat𝓑(u) Mat𝓑′,𝓑 (id) = Mat𝓑′ (u) donc u est diagonalisable.
On retrouve donc les critères de la partie précédente.
Un endomorphisme sur un espace E de dimension finie est diagonalisable si et seulement s'il admet une base de vecteurs propres, c'est-à-dire si la somme de ses espaces propres est égale à E, ce qui est encore équivalent au fait que la somme des dimensions de ses espaces propres soit égale à dim E.