Calcul de produit matriciel, résolution d'équation AX = B où X est une matrice colonne, démonstration de l'expression d'une puissance de matrice par récurrence, recherche des matrices qui commutent avec une autre, utilisation du binôme de Newton pour des matrices qui commutent
Calcul de l'inverse d'une matrice par résolution de système
Privilégier les matrices explicites de petite taille (2 ou 3) pour commencer. La diagonalisation n'est pas au programme d'hypokhâgne, mais on pourra faire calculer un produit de la forme P−1AP pour des matrices bien choisies.
Calcul de produit matriciel, résolution d'équation AX = B où X est une matrice colonne, démonstration de l'expression d'une puissance de matrice par récurrence, recherche des matrices qui commutent avec une autre
Privilégier les matrices explicites de petite taille (2 ou 3) pour commencer.
Semaine 22 du 25 au 29 avril 2016
Probabilités : loi de probabilité, relations avec la réunion, l'intersection et le complémentaire, probabilité conditionnelle et formule de Bayes, indépendance
Pas de nouveau cours en raison du concours blanc de la semaine avant les vacances. On pourra cependant redemander les expressions du cardinal pour les ensembles de référence (nombre de listes, de parties, de permutations, d'arrangements ou de combinaison) sans démonstration. L'expression des coefficients binomiaux avec la factorielle doit aussi être connue.
Expression d'équivalents simples pour des fonctions en 0 ou à l'infini
Les changements de variables doivent a priori être indiqués aux élèves. On pourra essayer de les laisser deviner dans les cas les plus simples.
Semaine 20 du 21 au 24 mars 2016
Notations de Landau pour la comparaison asymptotique : petit « o », équivalent, équivalents de référence, équivalent d'un polynôme en une racine ou à l'infini
Les changements de variables doivent a priori être indiqués aux élèves. On pourra essayer de les laisser deviner dans les cas les plus simples.
Semaine 18 du 7 au 11 mars 2016
Intégration sur un segment : linéarité, positivité, additivité, croissance, stricte positivité, inégalité triangulaire, inégalités de la moyenne, théorème fondamental de l'analyse, intégration par parties, changement de variable, sommes de Riemann
Résolution d'équations polynomiales avec solutions complexes
Factorisation d'un polynôme à l'aide d'une racine évidente ou indiquée par l'énoncé ou indiquée comme imaginaire pure.
Utilisation la division euclidienne pour calculer la valeur d'une fonction polynôme en un point d'annulation de sa dérivée.
Décomposer un polynôme à l'aide de factorisations simples (changement de variable, équations bicarrées, racines de l'unité)
Déterminer les coefficients d'une décomposition en fractions rationnelles à l'aide d'une mise au même dénominateur et la résolution d'un système.
Attention, l'expression « décomposition en éléments simples » n'est pas au programme. La forme attendue doit être donnée à l'élève, lequel doit juste transformer l'équation donnée en une égalité de polynômes, identifier les coefficients et résoudre le système.
Semaine 16 du 22 au 26 février 2016
Polynômes : polynôme dérivé, formule de Taylor, factorisation à l'aide d'une racine
Nombres complexes : approche algébrique, conjugué et module, équation du second degré, approche géométrique, exponentielle complexe
Questions de cours
Avant la question de cours, chaque étudiant doit représenter graphiquement une des fonctions suivantes au choix de l'examinateur, en précisant la dérivée et les limites et asymptotes éventuelles : identité, carré, cube, inverse, valeur absolue, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, tangente. Puis chaque étudiant doit énoncer et démontrer l'une des formules suivantes.
Étudier une fonction composée notamment à l'aide des fonctions trigonométriques, exponentielle ou logarithme
Résoudre une équation trigonométrique
Déterminer l'expression algébrique des racines carrées d'un nombre complexes
Utiliser les formules de De Moivre ou d'Euler pour démontrer des relations trigonométriques
La linéarisation des expressions trigonométriques n'a pas été vue explicitement mais un élève peut être guidé dans ce but.
Les racines de l'unité n'ont pas encore été vues.
Semaine 13 du 18 au 22 janvier 2016
Trigonométrie : cercle et fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques inverses n'ont pas encore été vues.
Questions de cours
Avant la question de cours, chaque étudiant doit représenter graphiquement une des fonctions suivantes au choix de l'examinateur, en précisant la dérivée et les limites et asymptotes éventuelles : identité, carré, cube, inverse, valeur absolue, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, tangente. Puis chaque étudiant doit énoncer et démontrer l'une des formules suivantes.
Étudier une fonction composée notamment à l'aide des fonctions trigonométriques, exponentielle ou logarithme
Démontrer l'existence d'une solution à une équation grâce à l'analyse d'une fonction
Démontrer une inégalité à l'aide de l'étude de la différence
Semaine 12 du 11 au 15 janvier 2016
Exponentielle et logarithme : caractérisation de la fonction exponentielle ; signe, variations et propriétés algébriques des fonctions exponentielle et logarithme ; fonctions puissances d'exposant réel, théorèmes d'analyse réelle pour les fonctions continues voire dérivables (théorème des valeurs intermédiaires et extension à un intervalle quelconque, théorème de la bijection, théorème des bornes, théorème de Rolle, théorème et inégalités des accroissements finis, limite de la dérivée)
Questions de cours
Avant la question de cours, chaque étudiant doit représenter graphiquement une des fonctions suivantes au choix de l'examinateur, en précisant la dérivée et les limites et asymptotes éventuelles : identité, carré, cube, inverse, valeur absolue, racine carrée, exponentielle, logarithme. Puis chaque étudiant doit énoncer et démontrer l'une des formules suivantes.
Étudier une fonction composée notamment à l'aide des fonctions exponentielle ou logarithme
Démontrer l'existence d'une solution à une équation grâce à l'analyse d'une fonction
Démontrer une inégalité avec l'inégalité des accroissements finis
Semaine 11 du 4 au 8 janvier 2016
Analyse globale : théorèmes d'analyse réelle pour les fonctions continues voire dérivables (théorème des valeurs intermédiaires et extension à un intervalle quelconque, théorème de la bijection, théorème des bornes, théorème de Rolle, théorème et inégalités des accroissements finis, limite de la dérivée)
Calculer les limites éventuelles d'une fonction aux bornes de son domaine
Déterminer les éventuelles asymptotes à la courbe d'une fonction
Déterminer la valeur d'un paramètre pour obtenir la continuité, voire la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux
Étudier une fonction grâce à sa dérivée
Démontrer l'existence d'une solution à une équation grâce à l'analyse d'une fonction
Démontrer une inégalité avec l'inégalité des accroissements finis
Du 7 au 18 décembre 2015
Il n'y a pas de colle de mathématiques en hypokhâgne avant la première semaine de janvier du fait du premier concours blanc et de la semaine culturelle (voir le calendrier de décembre).
Semaine 10 du 30 novembre au 4 décembre 2015
Analyse locale : limite finie en un réel, continuité, dérivabilité et nombre dérivé, extremum local
Analyse asymptotique :
limite de fonction, théorèmes de calcul (comparaison et encadrement), asymptotes
Résolution de systèmes linéaires avec au maximum quatre inconnues sans paramètre ou avec un paramètre et deux inconnues.
Détermination du terme général d'une suite
Étude de suites (variations, majoration, minoration) définie par son terme général ou avec une relation de récurrence.
Déterminer une relation de récurrence sur une suite définie à partir d'une autre.
Semaine 7 du 9 au 13 novembre 2015
Systèmes d'équations linéaires : combinaison linéaire, équation linéaire, résolution avec l'algorithme du pivot de Gauss,
système homogène, système échelonné, système triangulaire, système de Cramer, condition pour qu'un système triangulaire soit de Cramer, représentation paramétrique de l'ensemble des solutions d'un système à l'aide de variables libres.
Suite réelles : suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques.
Étude de fonctions réelles faisant éventuellement intervenir les fonctions exponentielle et logarithme sans recours à l'analyse par dérivation. Recherche de points fixes, démonstration de la stabilité d'un intervalle.
Résolution de systèmes linéaires avec au maximum quatre inconnues sans paramètre ou avec un paramètre et deux inconnues.
Détermination du terme général d'une suite arithmético-géométrique
Calcul avec des suites arithmétiques ou géométriques.
Semaine 6 du 2 au 6 novembre 2015
Fonctions réelles d'une variable réelle : fonctions de référence, domaine, position relative des courbes, image, point fixe et intervalle stable, variations, parité, périodicité, bornes.
Étude de fonctions réelles faisant éventuellement intervenir les fonctions exponentielle et logarithme sans recours à l'analyse par dérivation. Recherche de points fixes, démonstration de la stabilité d'un intervalle.
Applications : étude de l'injectivité, de l'image et expression de la réciproque pour une fonction numérique obtenue comme composée de fonctions de référence.
Géométrie analytique : tracé de droite à partir d'une équation cartésienne, lecture de coordonnées de point d'intersection, calcul des coordonnées par la résolution d'un système linéaire
Dans le cas d'un variable quantitative continue, les quantiles peuvent être calculés après représentation de la courbe polygonale des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées voire estimation par lecture graphique (souvent peu efficace au tableau). La variance d'une variable quantitative continue a été présentée mais n'est pas exigible.
Semaine 5 du 12 au 16 octobre 2015
Géométrie analytique : coordonnées, équation de droite, représentation graphique, détermination des coordonnées d'un point d'intersection par lecture graphique et par résolution d'un système.
Statistique descriptive : effectifs et fréquence, mode, médiane et quantiles, moyenne, variance et écart-type.
Détermination du domaine de validité pour des expression menant à des résolutions d'inéquations, faisant éventuellement intervenir les fonctions exponentielle et logarithme sans recours à l'analyse par dérivation.
Applications : étude de l'injectivité, de l'image et expression de la réciproque pour une fonction numérique obtenue comme composée de fonctions de référence.
Géométrie analytique : tracé de droite à partir d'une équation cartésienne, lecture de coordonnées de point d'intersection, calcul des coordonnées par la résolution d'un système linéaire
Dans le cas d'un variable quantitative continue, les quantiles peuvent être calculés après représentation de la courbe polygonale des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées voire estimation par lecture graphique (souvent peu efficace au tableau). La variance d'une variable quantitative continue a été présentée mais n'est pas exigible.
Semaine 4 du 5 au 9 octobre 2015
Nombres réels : complétude, caractère archimédien de R, racine carrée, trinôme du second degré, partie entière, approximation
Démonstration de relations avec les coefficients binomiaux, comme la relation du triangle de Pascal à l'aide de la formule avec les factorielle ou la formule de Vandermonde.
Calcul de coefficients binomiaux en valeur exacte ou en valeur approchée.
Détermination du domaine de validité pour des expression menant à des résolutions d'inéquations, faisant éventuellement intervenir les fonctions exponentielle et logarithme.
Étude de l'injectivité, de l'image et expression de la réciproque pour une fonction numérique praticable comme le sinus hyperbolique, la tangente hyperbolique, la fonction logit, une fonction de la forme x ↦ 2x − √(x2 + 1)…
Les fonctions exponentielle et logarithme ont été utilisées en exercice mais n'ont pas encore fait l'objet d'un rappel extensif.
Semaine 3 du 28 septembre au 2 octobre 2015
Nombres réels : inégalité de Bernoulli, formule de Bernoulli, factorielle et coefficients binomiaux
Résolution d'équations ou d'inéquations simples faisant intervenir des valeurs absolues.
Démonstration de formules ou d'inégalités par récurrence en utilisant les symboles somme et produit.
Démonstration de relations avec les coefficients binomiaux, comme la relation du triangle de Pascal à l'aide de la formule avec les factorielle ou la formule de Vandermonde.
Calcul de coefficients binomiaux en valeur exacte ou en valeur approchée.
Résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des formules avec radicaux.
On prêtera attention au fait que toute variable soit systématiquement introduite par un quantificateur.
Exercices types
Résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des fractions rationnelles à l'aide de factorisations simples. Les formules de résolution des équations du second degré sont censées être connues des élèves.
Résolution d'équations ou d'inéquations simples faisant intervenir des valeurs absolues.
Démonstration de formules algébriques diverses (cfexemples sur Wikipedia), éventuellement en utilisant les symboles somme et produit.
Résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des formules avec radicaux.
Identités remarquables et démonstration d'au moins l'une d'entre elles (au choix de l'examinateur)
Règle des signes et démonstration que tout carré d'un réel est positif
On prêtera attention au fait que toute variable soit systématiquement introduite par un quantificateur.
Exercices types
Résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des fractions rationnelles à l'aide de factorisations simples. Les formules de résolution des équations du second degré sont censées être connues des élèves.
Démonstration de formules algébriques diverses (cfexemples sur Wikipedia) sans utilisation du symbole somme.
Pour les élèves les plus à l'aise, résolution d'équations ou d'inéquations portant sur des formules avec radicaux.