Programme de colles de mathématiques

À partir de la semaine du 16 juin, tous les élèves doivent passer un oral selon le planning proposé. Si certains horaires sont incompatibles avec d'autres engagements, notamment des colles dans d'autres disciplines, veuillez me prévenir et si possible procéder à un échange entre élèves.

Dernière semaine de colles : semaine 28 du 16 au 20 juin 2014

Contenu du cours

• Rang (définition)
• Représentation matricielle : quelques exercices

Questions de cours

1. Dimension des sous-espaces stricts d'un espace vectoriel de dimension finie
2. Somme directe de sous-espaces supplémentaires de dimension finie
3. Existence des supplémentaires en dimension finie
4. Formule de Grassmann
5. Équivalence des définitions du rang

Exercices types

• Étude de la nature d'une famille de vecteurs
• Recherche d'équations cartésiennes décrivant l'espace engendré par une famille de vecteurs de R³ ou R⁴.
• Recherche d'une base d'un espace défini par une ou plusieurs équations, puis calcul de la dimension de l'espace associé
• Représentation d'un vecteur sur une base donnée
• Calcul des coefficients de la matrice représentative d'une application linéaire entre deux bases

Semaine 27 du 10 au 13 juin 2014

Contenu du cours

Dimension finie : jusqu'à la définition de rang exclue.

Questions de cours

1. Caractérisation des familles libres de deux vecteurs par la colinéarité
2. Caractérisation d'une base
3. Dimension des sous-espaces stricts d'un espace vectoriel de dimension finie
4. Somme directe de sous-espaces supplémentaires de dimension finie
5. Existence des supplémentaires en dimension finie

Exercices types

• Étude de la nature d'une famille de vecteurs
• Recherche d'équations cartésiennes décrivant l'espace engendré par une famille de vecteurs de R³ ou R⁴.
• Recherche d'une base d'un espace défini par une ou plusieurs équations, puis calcul de la dimension de l'espace associé
• Représentation d'un vecteur sur une base donnée

Semaine 26 du 2 au 6 juin 2014

Contenu du cours

Dimension finie : famille libre ou liée, génératrice, base, théorème de la base incomplète, théorème de la dimension

Questions de cours

1. Caractérisation des sous-espaces vectoriels supplémentaires par l'existence et l'unicité de la décomposition des vecteurs
2. Image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire
3. Caractérisation des applications linéaires injectives par le noyau
4. Caractérisation des familles libres de deux vecteurs par la colinéarité
5. Caractérisation d'une base

Exercices types

• Vérification de la structure de sous-espaces vectoriels sur des sous-ensembles d'espaces vectoriels
• Vérification de la linéarité d'applications entre espaces vectoriels
• Détermination du noyau et de l'image d'applications linéaires par des équations linéaires. Représentations paramétriques.
• Détermination de la nature d'une famille finie de vecteurs dans un espace de dimension finie (Rⁿ, espace de polynômes, espace de matrices) : vecteurs du plan ou de l'espace usuel, polynômes d'interpolation ou famille étagée, base de H dans M₂(C)…

Semaine 25 du 19 au 23 mai 2014

Contenu du cours

Espaces vectoriels : applications linéaires, noyau et image, somme de sous-espaces et somme directe

Questions de cours

1. Critère des sous-espaces vectoriels
2. Intersection de sous-espaces vectoriels
3. Caractérisation des sous-espaces vectoriels supplémentaires par l'existence et l'unicité de la décomposition des vecteurs
4. Image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire
5. Caractérisation des applications linéaires injectives par le noyau

Exercices types

• Vérification de la structure de sous-espaces vectoriels sur des sous-ensembles d'espaces vectoriels
• Vérification de la linéarité d'applications entre espaces vectoriels
• Détermination du noyau et de l'image d'applications linéaires par des équations linéaires. Représentations paramétriques.

Semaine 24 du 12 au 16 mai 2014

Contenu du cours

Espaces vectoriels : définition, sous-espaces, exemples et contre-exemples

Questions de cours

1. Non-commutativité du produit matriciel et existence de diviseurs de zéro
2. Unicité de l'inverse d'une matrice inversible
3. Décomposition des matrices carrées en une somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique
4. Critère des sous-espaces vectoriels
5. Intersection de sous-espaces vectoriels

Exercices types

• Opérations matricielles, calcul de l'inverse, application à la résolution de systèmes
• Vérification de la structure de sous-espaces vectoriels sur des sous-ensembles d'espaces vectoriels

Semaine 23 du 5 au 9 mai 2014

Contenu du cours

Matrices (sauf matrices élémentaires) : opérations, matrices triangulaires, diagonales, symétriques et antisymétriques, matrice inverse

Questions de cours

1. Integration du développement limité
2. Formule de Taylor-Young
3. Développement limité de l'exponentielle
4. Non-commutativité du produit matriciel et existence de diviseurs de zéro
5. Unicité de l'inverse d'une matrice inversible

Exercices types

• Limite de suite ou de fonction à l'aide de développement limité
• Opérations matricielles, calcul de l'inverse, application à la résolution de systèmes

Semaine 22 du 14 au 18 avril 2014

Contenu du cours

• Développement limité

Questions de cours

1. Inégalité triangulaire
2. Inégalités de la moyenne
3. Integration du développement limité
4. Formule de Taylor-Young
5. Développement limité de l'exponentielle

Exercices types

• Limite de suite ou de fonction à l'aide de développement limité
• Limite de suite à l'aide de somme de Riemann
• Calcul d'intégrale, recherche de primitive, calcul d'aire

Semaine 21 du 7 au 11 avril 2014

Contenu du cours

• Intégration sur un segment : sommes de Riemann
• Développement limité : formule de Taylor avec reste intégral, majoration du reste et formule de Taylor-Young.

Questions de cours

1. Majoration du reste intégral dans la formule de Taylor
2. Inégalité triangulaire
3. Inégalités de la moyenne
4. Changement de variable
5. Intégration par parties

Exercices types

• Limite de suite ou de fonction à l'aide de développement limité obtenu par formule de Taylor
• Limite de suite à l'aide de somme de Riemann
• Calcul d'intégrale, recherche de primitive, calcul d'aire

Semaine 20 du 31 mars au 4 avril 2014

Contenu du cours

Intégration sur un segment (propriétés et théorèmes sur les fonctions continues : les fonctions continues par morceaux n'ont pas encore été développées).

Questions de cours

1. Stricte positivité de l'intégrale d'une fonction continue positive non nulle
2. Changement de variable
3. Intégration par parties

Exercices types

• Calcul d'intégrale, recherche de primitive, calcul d'aire
• Résolution de systèmes

Semaine 19 du 24 au 28 mars 2014

Contenu du cours

Systèmes d'équations linéaires

Questions de cours

1. Nombre de paramètres libre dans un système sous forme échelonnée
2. Algorithme du pivot de Gauss
3. Système de Cramer et caractérisation par mise sous forme échelonnée

Exercices types

• Mise sous forme de système pour un problème d'intersection de droites dans le plan, pour de l'interpolation polynomiale ou pour la représentation d'une suite définie par récurrence linéaire à l'aide de solutions géométriques.
• Résolution de systèmes (pas nécessairement de Cramer)
• Détermination d'équivalents pour des suites, notamment définies de façon implicite

Semaine 18 du 17 au 21 mars 2014

Contenu du cours

Comparaison asymptotique : équivalents.

Questions de cours

1. Équivalent du logarithme en 1
2. Comparaison entre fonctions puissances en +∞ et en 0
3. Comparaison entre puissance et logarithme en +∞

Exercices types

• Calcul de limites avec comparaison de croissance et équivalents
• Détermination d'équivalents pour des suites, notamment définies de façon implicite

Semaine 17 du 17 au 21 février 2014

Contenu du cours

Polynômes et début de la comparaison asymptotique : relation de prépondérance.

Questions de cours

1. Comparaison entre fonctions puissances en +∞ et en 0
2. Comparaison entre puissance et logarithme en +∞
3. Formule de Taylor
4. Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé
5. Factorisation à l'aide d'une liste de racines

Exercices types

• Calcul de limites avec comparaison de croissance
• Détermination des coefficients d'un polynôme satisfaisant certaines relations (notamment par interpolation)
• Division euclidienne de polynômes, factorisation et décomposition

Semaine 16 du 10 au 14 février 2014

Contenu du cours

Polynômes

Questions de cours

1. Formule de Taylor
2. Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé
3. Factorisation à l'aide d'une liste de racines

Exercices types

• Résolutions d'équations et calculs dans C
• Détermination des coefficients d'un polynôme satisfaisant certaines relations (notamment par interpolation)
• Division euclidienne de polynômes, factorisation et décomposition

Semaine 15 du 3 au 7 février 2014

Contenu du cours

Nombres complexes (jusqu'à l'approche géométrique et les racines de l'unité)

Questions de cours

1. Différence des puissances
2. Solutions complexes d'une équation du second degré à coefficients réels
3. Racines de l'unité

Exercices types

• Résolutions d'équations et calculs dans C

Semaine 14 du 27 au 31 janvier 2014

Attention, les horaires de colles ont changé. Veuillez vous reporter au colloscope.

Contenu du cours

Nombres complexes (approche algébrique, conjugué et module, formulaire, équation du second degré à coefficients réels)

Questions de cours

1. Formule de l'inverse
2. Inégalité triangulaire du module
3. Formule du binôme de Newton

Exercices types

• Calcul de probabilités avec conditionnement et variables aléatoires (voir exercices)
• Calculs algébriques avec les nombres complexes (voir exercices)

Semaine 13 du 20 au 24 janvier 2014

Contenu du cours

Probabilités sur un ensemble fini (évènements, famille d'évènements, conditionnement et indépendance, variable aléatoire)

Questions de cours

1. Additivité de la probabilité
2. Formule de Bayes
3. Loi binomiale

Exercices types

• Dénombrement sur problèmes concrets (voir exercices)
• Calcul de probabilités avec conditionnement et variables aléatoires (voir exercices)

Semaine 12 du 13 au 17 janvier 2014

Contenu du cours

• Dénombrement
• Loi de probabilité sur un ensemble fini (sections loi de probabilité et évènements)

Questions de cours

1. Cardinal de la réunion de deux parties d'un ensemble fini
2. Cardinal de l'ensemble des combinaisons de p éléments parmi n
3. Relation du triangle de Pascal

Exercices types

• Manipulation de fonctions définies à l'aide des fonctions de référence
• Dénombrement sur problèmes concrets (voir exercices)
• Calcul de probabilités sur des problèmes élémentaires

Semaine 11 du 6 au 10 janvier 2014

Contenu du cours

Fonctions de référence : exponentielle, logarithme et trigonométriques

Questions de cours

1. Variations et limites de la racine carrée
2. Variations et limites de l'exponentielle
3. Variations et limites du logarithme

Exercices types

Manipulation de fonctions définies à l'aide des fonctions de référence.

Semaine 10 du 9 au 13 décembre 2013

Contenu du cours

• Fonction réciproque, calcul et dérivée
• Théorème de Rolle, théorème et inégalités des accroissements finis
• Fonctions usuelles : affines, puissances, inverse, racine carrée et exponentielle

Questions de cours

1. Dérivée de la composée de deux fonctions dérivables
2. Théorème des accroissements finis
3. Caractérisation de la fonction exponentielle

Exercices types

• Utilisation du théorème des accroissements finis (règle de L'Hospital, majoration ou minoration de fonctions).
• Détermination de fonctions réciproques (y compris avec détermination de l'image directe).
• Manipulation de fonctions et de suites définies à l'aide de la fonction exponentielle.

Semaine 9 du 2 au 6 décembre 2013

Contenu du cours

• Critère séquentiel de la limite
• Dérivabilité
• Opérations sous la dérivée

Questions de cours

1. Limite d'une composée à l'aide du critère séquentiel de la limite
2. Dérivée du produit
3. Dérivée de l'inverse

Exercices types

• Étude de fonction, prolongement par continuité et recherche d'asymptotes.
• Utilisation de la dérivée pour le calcul de limite de quotients vus comme des taux d'accroissement.

Semaine 8 du 18 au 22 novembre 2013

Contenu du cours

• Droite réelle continuée
• Limite de fonction d'une variable réelle à valeurs réelles.
• Prolongement par continuité
• Asymptotes

Questions de cours

Reprise des questions de la semaine précédente.

1. Convergence du produit de deux suites convergentes et démonstration à l'aide du produit d'une suite convergeant vers 0 et d'une suite bornée.
2. Théorème d'encadrement et démonstration.
3. Propriété fondamentale des suites adjacentes et démonstration.

Exercices types

• Étude de fonction, prolongement par continuité et recherche d'asymptotes.
• Application à l'étude de suites récurrentes.

Semaine 7 du 12 au 15 novembre 2013

Contenu du cours

• Théorèmes de convergence.
• Opérations sur les limites.
• Suites adjacentes.

Questions de cours

1. Convergence du produit de deux suites convergentes et démonstration à l'aide du produit d'une suite convergeant vers 0 et d'une suite bornée.
2. Théorème d'encadrement et démonstration.
3. Propriété fondamentale des suites adjacentes et démonstration.

Exercices types

• Étude de suites et séries. Applications à la résolution d'équation ou à l'étude de la continuité de fonction.

Semaine 6 du 4 au 8 novembre 2013

Contenu du cours

• Critères de variations de suites numériques.
• Limite de suite. Unicité de la limite.
• Convergence des suites croissantes majorées ou décroissantes minorées. Limite infinie pour les suites croissantes non majorées.

Questions de cours

1. Démonstration du critère de variations des suites strictement positives par le quotient de termes successifs.
2. Démonstration du caractère borné des suites convergentes.
3. Démonstration de la limite infinie pour une suite croissante non majorée.

Exercices types

• Calcul des indicateurs statistiques pour des petites séries de valeurs.
• Calcul de la médiane et des quartiles pour des séries d'une variable continue.
• Étude de suites récurrentes (comme des suites arithmético-géométriques ou avec une fonction de récurrence harmonique) se ramenant par une transformation à une suite géométrique.
• Étude des variations et de la convergence d'une suite.

Semaine 5 du 14 au 18 octobre 2013

Contenu du cours

• Principaux indicateurs statistiques numériques : extrema, étendue, moyenne, médiane, quantiles, écart interquartile, variance, écart-type, calculés pour une variable discrète ou une variable continue.
• Taux d'évolution, coefficients multiplicateurs.
• Suites réelles, définition par récurrence, suites arithmétiques et géométriques, sens de variation.

Questions de cours

1. Équivalence des deux définitions de la variance pour une série statistique numérique.
2. Définition de la moyenne et de la médiane pour une série statistique numérique. Intérêts relatifs des deux notions.
3. Démonstration des formules directes pour une suite arithmétique ou géométrique définie par récurrence.

Exercices types

• Calcul des indicateurs statistiques pour des petites séries de valeurs.
• Calcul de la médiane et des quartiles pour des séries d'une variable continue.
• Analyse comparée de deux séries statistiques (tendance centrale, dispersion, asymétrie) ou calcul de taux d'évolution, notamment à partir de séries provenant des bases de l'INSEE, telle la population scolarisée à Douai en 2010 ou l'évolution de la dette.
• Calculs sur des suites arithmétiques ou géométriques.
• Étude de suites récurrentes (comme des suites arithmético-géométriques ou avec une fonction de récurrence harmonique) se ramenant par une transformation à une suite géométrique.

Semaine 4 du 7 au 11 octobre 2013

Contenu du cours

• Variations des fonctions de référence.
• Théorème des valeurs intermédiaires, image d'un intervalle par une fonction continue
• Théorème de la bijection, définition de la fonction racine carrée
• Existence et continuité de la fonction réciproque pour une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.

Questions de cours

1. Théorème des valeurs intermédiaires, démonstration à partir de l'annulation d'une fonction continue qui change de signe sur un intervalle.
2. Théorème des bornes. Exemples d'une fonction bornée qui n'atteint pas ses bornes (soit pas défaut de continuité, soit sur un domaine qui n'est pas un segment).
3. Variations de la fonction inverse et démonstration.

Exercices types

• Variations de fonctions par dérivation de fonctions de référence (polynômes, inverse, racine carrée) ou par composition.
• Détermination du nombre de zéros, du maximum et du minimum d'une fonction continue sur un segment. Tracé de l'allure de la courbe représentative.
• Résolution d'inéquations.

Semaine 3 du 30 septembre au 4 octobre 2013

Contenu du cours

• Notion de variable et de quantificateur, démonstration d'une propriété universelle ou existentielle.
• Préservation de la continuité de fonctions en un point de leur domaine de définition par somme, opposé et produit.
• Continuité de la fonction identité, du carré et des fonctions puissances par récurrence, de la valeur absolue.
• Annulation d'une fonction continue sur un intervalle dont les valeurs aux bornes sont non nulles et de signes contraires.

Toute la notion de continuité est basée ici sur celle d'intervalle. Les élèves issus de séries ES et L ne connaissent pas la notion de limite de fonction.

Questions de cours

1. Démonstration de la continuité des fonctions identité et puissances.
2. Définition du caractère borné d'une fonction et démonstration du fait qu'une fonction continue en un point est bornée sur un intervalle ouvert contenant ce point.
3. Définition de la continuité et démonstration de la continuité de la fonction inverse en tout réel a non nul.

Exercices types

• Discussion de la continuité de fonctions, notamment obtenues par recollement.
• Démonstration de l'existence de solutions à des équations par exhibition d'une fonction continue changeant de signe (comme par exemple : toute fonction continue de [a ; b] dans [a ; b] admet au moins un point fixe).
• Résolution d'inéquations avec des valeurs absolues.

Semaine 2 du 23 au 27 septembre 2013

Contenu du cours

• Corollaires de la propriété de la borne supérieure dans R : borne inférieure pour les parties non vides minorées, caractère archimédien de l'ensemble des réels, densité de l'ensemble des rationnels.
• Notion d'intervalles, opérations ensemblistes sur les intervalles, traduction par des inégalités.
• Tableaux de signe, résolution d'inéquations avec fractions et radicaux, applications à l'étude du domaine de fonctions, élimination des valeurs absolues dans une expression en fonction de la variable.
• Rappel du vocabulaire élémentaire des fonctions, sens de variation, continuité en un point.

Questions de cours

1. Propriété de la borne supérieure, démonstration de l'existence d'une borne inférieure pour les parties non vides minorées.
2. Définition du caractère archimédien de R et démonstration à l'aide de la propriété de la borne supérieure.
3. Continuité d'une fonction en un point, démonstration du fait que la fonction partie entière n'est pas continue en 1.

Exercices types

• Résolution d'inéquations avec tableaux de signe.
• Élimination de valeur absolue dans une expression.
• Résolution d'équations du second degré avec éventuellement changement de variables.
• Tri de valeurs numériques avec fractions et radicaux.

Semaine 1 du 16 au 20 septembre 2013

Contenu du cours

• Ensembles de nombres N, Z, Q, R.
• Notion de commutativité, associativité, distributivité, neutre et opposé. Définition de groupe, groupe abélien, corps.
• Compatibilité des opérations avec la relation d'ordre, règle des signes, positivité des carrés.
• Manipulation des fractions et résolution des équations du premier degré.
• Définition de la valeur absolue, positivité, inégalité triangulaire.
• Propriété de la borne supérieure dans R.
• Révision des équations du second degré, formules de dérivation des fonctions usuelles (affines, carré et puissances, inverse, racine carrée) et des opérations (somme, produit, quotient, inverse, racine carrée).

Questions de cours

1. Définition d'un groupe et démonstration que l'ensemble des entiers pairs forme un groupe.
2. Expression de la règle des signes et démonstration de la positivité des carrés dans R.
3. Définition de la valeur absolue et démonstration de sa positivité.

Exercices types

• Résolution d'équations du premier et du second degré dans R, avec restriction préalable du domaine d'étude si l'équation fait intervenir des barres de fraction. Généralisation avec remplacement d'une valeur numérique par un paramètre.
• Tri de valeurs numériques avec fractions et radicaux.
• Démonstration de formules classiques avec valeurs absolues.