Représentation matricielle

Vecteurs et matrices représentatives

Définition
Soit E un espace vectoriel muni d'une base (e1, … , en).

Pour tout vecteur xE, s'écrivant x = i=1n λi ei, on dit que x est représenté par  λ1λn dans la base (e1, … , en).

Si (x1, … , xp) est une famille de vecteurs de E, respectivement représentés par les vecteurs colonnes (X1, … , Xp) la matrice représentative de cette famille est obtenue en accolant ces vecteurs colonnes dans l'ordre.

Exemple
Les quatre polynômes A = X2 + 1, B = 2X2 − X + 3, C = 9 et D = 5X − 1 étant respectivement représentés par les vecteurs colonnes 1 0 1, 2 −1 3, 0 0 9 et 0 5 −1 dans la base (X2, X, 1) de R2[X], la matrice représentative de la famille (A, B, C, D) est la matrice 1200 0−105 139−1.
Propriété
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie muni d'une base (e1, …, en). L'application (λ1, … , λn) ↦ k=1n λk.ek constitue un isomorphisme entre Kn et E.
Propriété
Deux K-espaces vectoriels de même dimension finie sont toujours isomorphes.

Soient E et F deux espaces vectoriels munis des bases respectives = (e1, … , ep) et ℬ′ = (e′1, … , e′n).
La matrice représentative d'une application linéaire φ ∈ L(E, F) entre les bases et ℬ′ est la matrice obtenue en juxtaposant les vecteurs colonnes représentant les vecteurs (φ(e1), … , φ(ep)) dans la base (e′1, … , e′n). Autrement dit, il s'agit de la matrice A = (ai, j) ∈ ℳn, p(K), notée M,ℬ′(φ), telle que pour tout j ∈ [[1 ; p]], φ(ej) = i=1n ai, j.e′i.

Propriété
Si x est un vecteur de E représenté par le vecteur colonne XKn dans la base  et si φ est une application linéaire de E vers F représentée par la matrice A entre les bases  et ℬ′, alors le vecteur φ(x) est représenté par le vecteur colonne AX dans la base ℬ′.
Propriété
Soit φ une application linéaire de E vers F représentée par la matrice M entre les bases  et ℬ′. Soit ψ une application linéaire de F vers G représentée par la matrice N entre les bases ℬ′ et ℬ″.
La composée ψφ est représentée par le produit N × M entre les bases  et ℬ″.

Attention, le produit de deux matrices représentatives ne suit pas la relation de Chasles à laquelle on s'attendrait : Mℬ′,ℬ″(ψ) × M,ℬ′(φ) = M,ℬ″(ψφ).

Propriété
Si E et F deux espaces vectoriels munis des bases respectives = (e1, … , ep) et ℬ′ = (e′1, … , e′n), l'application φ ↦ M, ℬ′(φ), qui à toute application linéaire associe sa matrice représentative, définit un isomorphisme entre L(E, F) et n,p(K).

Changement de base

Soit E un espace vectoriel muni de deux bases et ℬ′. La matrice de changement de base ou matrice de passage de la base à la base ℬ′ est la matrice représentative de la base ℬ′ dans la base . Autrement dit, il s'agit de la matrice Mℬ′,(IdE), parfois notée Pℬ′.

Cette matrice est facile à calculer lorsque l'on connait les coordonnées de la nouvelle base ℬ′ dans l'ancienne base et permet de calculer les coordonnées dans l'ancienne base de vecteurs dont on connait les coordonnées dans la nouvelle base.

Propriété
Si un vecteur est représenté par X dans la base et par X′ dans la base ℬ′ alors on a X = Pℬ′ X′.
Propriété
Soit E un espace vectoriel muni d'une base . Soit φ ∈ L(E) un endomorphisme représenté par la matrice A dans la base . Soit  ℬ′ une autre base de E.
On note P la matrice de passage de la base  à la base ℬ′. Alors la matrice représentative de φ dans la base ℬ′ s'écrit P−1AP.

Les matrices représentatives d'un même endomorphisme dans différentes bases sont des matrices semblables.