Représentation matricielle

Vecteurs

Définition

Soit E un espace vectoriel et (e₁, … , e_n) une base de E.

Pour tout vecteur x ∈ E, s'écrivant x = ∑_i=1ⁿ λ_i e_i, on dit que x est représenté par la matrice colonne [[λ₁][⋮][λ_n]] dans la base (e₁, … , e_n).

Exemple

Le nombre complexe e^iπ/3 est représenté par la colonne [[1/2][√(3)/2]] dans la base (1, i) de C.

Propriété

L’application de représentation dans la base ℬ définit un isomorphisme entre E et ℳ_n,1(R).

Démonstration

L’application de représentation est bijective par caractérisation des bases, et pour tout λ ∈ R, pour tout (x, y) ∈ E², en notant x = ∑_i=1ⁿ x_i·e_i et y = ∑_i=1ⁿ y_i·e_i, on trouve λ·x + y = ∑_i=1ⁿ (λx_i + y_i)·e_i, donc l’application de représentation est linéaire.

Définition

Si (x₁, … , x_p) est une famille de vecteurs de E, respectivement représentés par les matrices colonnes (X₁, … , X_p) la matrice représentative de cette famille est obtenue en accolant ces matrices colonnes dans l'ordre.

Exemple

Les quatre fonctions polynômes définies par f(x) = x² + 1, g(x) = 2x² − x + 3, h(x) = 9 et k(x) = 5x − 1 sont respectivement représentées par les vecteurs colonnes [[1][0][1]], [[3][−1][2]], [[9][0][0]] et [[−1][5][0]] dans la base canonique de R₂[x], donc la matrice représentative de la famille (f, g, h, k) est la matrice [[1 ;3 ;9 ;−1][0 ;−1 ;0 ;5][1 ;2 ;0 ;0]].

Propriété

Le rang d’une famille de vecteurs est égal au rang de la matrice représentative.

Démonstration

Soit (x₁, … , x_n) une famille de vecteurs représentée par une matrice (a_i,j) dans une base ℬ.

On a rg(x₁, … , x_n) = dim(Vect(x₁, … , x_n)) or l’application de représentation est un isomorphisme, donc la dimension de Vect(x₁, … , x_n est la même que celle de l’espace vectoriel engendré par les colonnes de coordonnées, qui est égale au rang de la matrice représentative.

Application linéaire

Définition

Soient ℬ = (e₁, … , e_m) une base de E et ℬ′ = (e′₁, … , e′_n) une base de F.
La matrice représentative d’une application linéaire φ ∈ L(E, F) entre les bases ℬ et ℬ′ est la matrice obtenue en juxtaposant les vecteurs colonnes représentant les vecteurs φ(e₁), … , φ(e_m) dans la base (e′₁, … , e′_n). Autrement dit, il s'agit de la matrice A = (a_{i, j}) ∈ ℳ_{n, m}(R), notée M_ℬ,ℬ′(φ), telle que pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧, φ(e_j) = ∑_i=1ⁿ a_{i, j}.e′_i.

La dérivation sur l’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3 est représentée par la matrice suivante entre les bases canoniques : [[0 ;1 ;0 ;0][0 ;0 ;2 ;0][0 ;0 ;0 ;3][0 ;0 ;0 ;0]].
Si A = [[1 ;2][3 ;4]], l’application linéaire P ↦ P(A) de R₂[x] vers ℳ₂(R) est représentée par la matrice suivante entre les bases canoniques : [[1 ;1 ;7][0 ;2 ;6][0 ;3 ;15][1 ;4 ;22]].

Propriété

Toute matrice représente son application linéaire associée entre les bases canoniques.

Démonstration

Les coefficients de la matrice s’obtiennent à partir de la matrice associée comme pour représenter cette application entre les bases canoniques.

Propriété

Le rang d’une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie est égal au rang de sa matrice représentative.

Démonstration

Le rang de l’application linéaire est égal à la dimension de l’image, qui est l’espace vectoriel engendré par les images des vecteurs de base, représentés par les vecteurs colonnes de la matrice.

Si l’application φ est un endomorphisme et si on utilise la même base ℬ au départ et à l’arrivée, on note M_ℬ(φ) la matrice représentative.

Exemple

Soit ℬ une base d’un espace vectoriel E. L’application identité sur E est représentée par la matrice identité M_ℬ(id_E) = I.

Opérations matricielles

Propriété

Si E et F deux espaces vectoriels munis des bases respectives ℬ = (e₁, … , e_m) et ℬ′ = (e′₁, … , e′_n), l'application R : φ ↦ M_ℬ,ℬ′(φ), qui à toute application linéaire associe sa matrice représentative, définit un isomorphisme entre L(E, F) et ℳ_n,m(R).

Démonstration

On montre d’abord que l’application R est linéaire, puis qu’elle est bijective.

Soit λ ∈ R et (φ, ψ) ∈ L(E, F)². Si M_ℬ,ℬ′(φ) = (a_i,j) et M_ℬ,ℬ′(ψ) = (b_i,j) alors pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧, (λ·φ + ψ)(e_j) = λ·(∑_i=1ⁿ a_i,j·e′_i) + ∑_i=1ⁿ b_i,j·e′_i = ∑_i=1ⁿ (λa_i,j + b_i,j)·e′_i, donc l’application Rest linéaire.

Pour tout (a_i,j) ∈ ℳ_m,n(R), il existe une unique application φ qui vérifie pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧, φ(e_j) = ∑_i=1ⁿ a_i,j·e′_i. Donc l’application R est bijective.

Propriété

Si x est un vecteur de E représenté par la matrice colonne X ∈ R^m dans la base ℬ et si φ est une application linéaire de E vers F représentée par la matrice A entre les bases ℬ et ℬ′, alors le vecteur φ(x) est représenté par la matrice colonne AX dans la base ℬ′.

Démonstration

On note X = [[x₁][⋮][x_m]] et A = (a_i,j), d’où x = ∑_j=1^m x_j·e_j et φ(x) = ∑_j=1^m x_j·φ(e_j) = ∑_j=1^m ∑_i=1ⁿ x_ja_i,j·e′_i, représenté dans la base (e′_i) par le vecteur colonne de coordonnées (∑_j=1^m x_ja_i,j), c’est-à-dire AX.

Propriété

Soit φ une application linéaire de E vers F représentée par la matrice M entre les bases ℬ et ℬ′. Soit ψ une application linéaire de F vers G représentée par la matrice N entre les bases ℬ′ et ℬ″.
La composée ψ ∘ φ est représentée par le produit N × M entre les bases ℬ et ℬ″.

Démonstration

On note ℬ = (e₁, … , e_m), ℬ′ = (e′₁, … , e′_n) et ℬ″ = (e″₁, … , e″_p) puis M_ℬ,ℬ′(φ) = (a_i,j) et M_{ℬ′,ℬ″}(ψ) = (b_i,j).

Pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧, on trouve ψ(φ(e_j)) = ψ(∑_k=1ⁿ a_k,j·e′_k) = ∑_k=1ⁿ a_k,j∑_i=1^p b_i,k·e″_i donc M_ℬ,ℬ″(ψ ∘ φ) = (∑_k=1ⁿ a_k,jb_i,k), ce qui est la formule du produit matriciel.

Attention, le produit de deux matrices représentatives ne suit pas la relation de Chasles à laquelle on s'attendrait : M_{ℬ′,ℬ″}(ψ) × M_ℬ,ℬ′(φ) = M_ℬ,ℬ″(ψφ).

Propriété

Soient E et F deux espaces vectoriels munis de bases respectives ℬ et ℬ′. Soit φ ∈ L(E, F).
L’application φ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice représentative M_ℬ,ℬ′(φ) est inversible. Dans ce cas, on trouve M_ℬ′,ℬ(φ⁻¹) = M_ℬ,ℬ′(φ)⁻¹

Démonstration

On procède par double implication, sachant que les deux conditions ne peuvent survenir que si les espaces E et F sont de même dimension n.

Si la matrice est inversible alors son rang vaut n, donc l’application aussi et elle est surjective donc bijective.

Réciproquement, si l’application est un isomorphisme, alors le produit de la matrice représentative avec celle de l’inverse donne l’identité, ce qui assure à la fois l’inversibilité de la matrice représentative et la formule de l’inverse.

Changement de base

Définition

Soit E un espace vectoriel muni de deux bases ℬ et ℬ′. La matrice de changement de base ou matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′ est la matrice représentative de la base ℬ′ dans la base ℬ. Autrement dit, il s'agit de la matrice M_ℬ′,ℬ(Id_E), parfois notée P^ℬ′_ℬ.
La base ℬ est alors appelée ancienne base, et ℬ′ est la nouvelle base.

Cette matrice est facile à calculer lorsque l'on connait les coordonnées de la nouvelle base ℬ′ dans l'ancienne base ℬ.

Remarque

La matrice représentative de l’identité est la matrice identité si et seulement si les deux bases sont identiques.

Propriété

Toute matrice de passage P^ℬ′_ℬ est inversible d’inverse P^ℬ_ℬ′.

Démonstration

On reprend la propriété de la matrice représentative d’un isomorphisme.

Propriété

Soit E un espace vectoriel de dimension n ∈ N^∗ muni d’une base ℬ. Toute matrice inversible P ∈ 𝒢ℒ_n(R) est la matrice de passage entre la base ℬ et la base ℬ′ dont les vecteurs sont représentés par les colonnes de P dans la base ℬ.

Démonstration

On reprend la définition de la matrice représentative.

Propriété

Si un vecteur est représenté par X dans la base ℬ et par X′ dans la base ℬ′ alors on a X = P^ℬ′_ℬ X′.

Démonstration

On reprend la matrice représentative de l’image d’un vecteur par une application linéaire.

La matrice de passage permet donc de calculer les coordonnées dans l'ancienne base de vecteurs dont on connait les coordonnées dans la nouvelle base.

Propriété

Soit E un espace vectoriel muni d'une base ℬ. Soit φ ∈ L(E) un endomorphisme représenté par la matrice A dans la base ℬ. Soit ℬ′ une autre base de E.
On note P la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′. Alors la matrice représentative de φ dans la base ℬ′ s'écrit P⁻¹AP.

Démonstration

On reprend la matrice représentative de la composée d’applications linéaires.

Matrices semblables

Définition

Soient A et B deux matrices carrées de même taille n. On dit que A est semblable à B s’il existe une matrice inversible P ∈ 𝒢ℒ_n(R) telle que B = P⁻¹AP.

Propriété

La relation de similitude ainsi définie est une relation d’équivalence, c’est-à-dire que

toute matrice carrée est semblable à elle-même,
si A est semblable à B alors B est semblable à A,
si A est semblable à B et si B est semblable à C alors A est semblable à C.

Propriété

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.

Démonstration

Soient A et B deux matrices semblables dans ℳ_n(R). Il existe une matrice P inversible telle que B = P⁻¹AP. Les colonnes de P définissent une base ℬ′ de Rⁿ. L’application linéaire associée à A est représentée par la matrice B dans la base ℬ.
Réciproquement, deux matrices représentatives d’un même endomorphisme sont toujours semblables par propriété ci-dessus.

Propriété

Deux matrices semblables ont la même trace.

Démonstration

On utilise la formule de la trace du produit.

Propriété

Deux matrices semblables sont équivalentes. En particulier, elles ont le même rang.