Résultats préliminaires
- Image d'une base par une application linéaire
- Soit E un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base (e1, …, en). Soit φ une application linéaire de E vers un espace vectoriel F (de dimension finie ou non). On a les équivalences suivantes.
- L'application φ est injective si et seulement si la famille (φ(e1), …, φ(en)) est libre dans F.
- L'application φ est surjective si et seulement si la famille (φ(e1), …, φ(en)) est génératrice dans F.
- L'application φ est un isomorphisme si et seulement si la famille (φ(e1), …, φ(en)) est une base dans F.
On procède par double implication dans chacun des deux premiers cas. Le troisième cas combine les deux premiers.
- Supposons que l'application φ est injective. Soit (λ1, …, λn) ∈ Kn tel que
∑k=1n
λk.φ(ek) = 0.
Alors on trouve φ(∑k=1n
λk.ek) = 0
donc ∑k=1n
λk.ek = 0
donc pour tout k, λk = 0. Donc la famille (φ(e1), …, φ(en)) est libre.
Réciproquement, supposons que la famille (φ(e1), …, φ(en)) est libre. Soit x ∈ Ker(φ). Il existe (λ1, …, λn) ∈ Kn tel que
x
= ∑k=1n
λk.ek
donc 0 = φ(x)
= ∑k=1n
λk.φ(ek)
donc pour tout k, λk = 0 donc x = 0. Donc φ est injective.
- Supposons que l'application φ est surjective. Soit y ∈ F. Il existe x ∈ E tel que φ(x) = y et il existe (λ1, …, λn) ∈ Kn tel que
x
= ∑k=1n
λk.ek
donc y = φ(x)
= ∑k=1n
λk.φ(ek). Donc la famille (φ(e1), …, φ(en)) est génératrice.
Réciproquement, supposons que la famille (φ(e1), …, φ(en)) est génératrice.
Soit y ∈ F. Il existe (λ1, …, λn) ∈ Kn tel que
y = ∑k=1n
λk.φ(ek)
= φ(∑k=1n
λk.ek) ∈ Im(φ).
Donc φ est surjective.
Si E est un espace vectoriel de dimension finie, tout espace vectoriel F isomorphe à E est aussi de dimension finie avec dim F = dim E.
S'il existe un isomorphisme φ : E → F alors l'image d'une base de E est une base de F avec autant de termes.
Définitions
Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension de l'espace qu'elle engendre.
Le rang d'une application linéaire φ est la dimension de son image et on la note rg(φ).
Soit E un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base (e1, … , en). Soit φ une application linéaire de E vers un espace vectoriel F (de dimension finie ou non). Le rang de l'application φ est égal au rang de la famille (φ(e1), … , φ(en)).
- Théorème du rang
- Soit φ une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie n vers un espace vectoriel F. Alors l'image de φ est de dimension finie et on a
dim(E) = dim Ker(φ) + rg(φ).
On note
(e1, …, ep) une base de
Ker(φ), que l'on complète en une base
(e1, …, en) de
E.
Le sous-espace G = Vect(ep+1, …, en) est un supplémentaire de Ker(φ) dans E et on montre que l'application φ induit un isomorphisme entre G et Im(φ).
En effet, pour tout x ∈ G tel que φ(x) = 0, on a x ∈ G ∩ Ker(φ) = {0} donc la restriction de φ à G est injective.
Soit y ∈ Im(φ). Il existe x ∈ E tel que φ(x) = y et il existe (z, x′) ∈ Ker(φ) × G tel que x = z + x′ donc y = φ(x) = φ(z + x′) = φ(z) + φ(x′) = φ(x′) ∈ φ(G). Donc la restriction de φ à G est surjective sur Im(φ).
Finalement, on obtient que G est isomorphe à Im(φ) donc dim E = dim Ker(φ) + dim G = dim Ker(φ) + dim Im(φ)