Éléments de correction du devoir surveillé n^o 3

Étude de fonction

Voir cours sur la fonction tangente
On reprend la dérivée de la réciproque pour tout x ∈ R, Arctan′(x) = 1/tan′(Arctan(x)) = 1/1 + tan²(Arctan(x))) = 1/1 + x²).
On étudie successivement la différence f(x) = x − Arctan(x) puis g(x) = Arctan(x) − (x − x³/3). On factorise les dérivées de f et de g au même dénominateur pour montrer qu'elles sont positives donc que les différences sont croissantes sur R⁺ or elles s'annulent en 0 donc elles sont positives.
En prenant x = 1 on trouve directement la double inégalité demandée, qu'il suffit ensuite de multiplier par 4 pour trouver 8/3) ≤ π ≤ 4.
En prenant x = √3/3) on trouve 8√3/27) ≤ π/6) ≤ √3/3) donc 16√3/9) ≤ π ≤ 2√3.
Mais l'inégalité 2√3 ≤ 3,2 est fausse, donc l'encadrement ne permet pas de donner la conclusion attendue.

On trouve les solutions z₁ = −3 + 4i et z₂ = −3 − 4i par la méthode du discriminant.
On résout l'équation z² = −3 + 4i en notant z = a + ib et en résolvant le système {a² − b² = −3 ;2ab = 4 ;a² + b² = 5 ; et on trouve deux solutions 1 + 2i et −1 − 2i. On détermine ensuite de même les racines de −3 − 4i.
On en déduit P = (X − 1 − 2i)(X + 1 + 2i)(X − 1 + 2i)(X + 1 − 2i).
D'où P = ((X − 1)² + 4)((X + 1)² + 4) = (X² − 2X + 5)(X² + 2X + 5).
On trouve P′ = 4X³ + 12X = 4X(X² + 3) donc les racines de P′ sont 0, i√3 et −i√3.