Méthodes de calcul avec les matrices

Opérations

Pour additionner deux matrices, elles doivent avoir la même taille (même nombre de lignes, même nombre de colonnes). Si leurs coefficients sont donnés par des formules (a_i,j)_{1≤i≤n;1≤j≤p} et (b_i,j)_{1≤i≤n;1≤j≤p}, la somme des deux matrices a des coefficients décrits par la formule (a_i,j + b_i,j)_{1≤i≤n;1≤j≤p}. Si les matrices sont données sous forme de tableaux, il suffit de remplir un tableau de même taille dont chaque coefficient est la somme des coefficients correspondants sur les deux matrices à additionner.

La soustraction se fait de manière analogue.

Pour calculer le produit de deux matrices, on vérifie d'abord que le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Si leurs coefficients sont donnés par des formules (a_i,j)_{1≤i≤n;1≤j≤p} et (b_i,j)_{1≤i≤p;1≤j≤q}, le produit a des coefficients décrits par la formule (∑_k=1^p a_i,k b_k,j)_{1≤i≤n;1≤j≤q}. Si les matrices sont données sous forme de tableaux, on pose la multiplication en écrivant la deuxième en haut à droite de la première, puis pour chaque ligne de la première et pour chaque colonne de la deuxième, on calcule le produit scalaire de la ligne et de la colonne que l'on reporte à l'intersection des droites de la ligne et de la colonne.

Inversibilité

Soit A une matrice carrée. Pour déterminer l'inversibilité de A, on utilise l'un des critères équivalents ci-dessous.

• L'équation AX = 0, dont l'inconnue est une matrice colonne X, n'admet que le vecteur nul comme solution.
• Il existe une matrice carrée B telle que le produit AB soit inversible.
• Il existe une matrice carrée B telle que le produit BA soit inversible.
• La transposée ^tA est inversible.
• La matrice A décrit les coefficients d'un système de Cramer.
• La matrice A représente un isomorphisme.
• La matrice A n'admet pas 0 comme valeur propre.
• La matrice A admet un polynôme annulateur avec un coefficient constant non nul.

(Toute matrice inversible admet aussi des polynômes annulateurs avec un coefficient constant nul.)

Dans le cas où la matrice A est triangulaire (supérieure ou inférieure), elle est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls.

Pour tout (a, b, c, d) ∈ K⁴, la matrice [[a, b] [c, d]] est inversible si et seulement si ad − bc ≠ 0.

Inverse

Pour calculer l'inverse d'une matrice carrée A de taille n donnée sous forme de tableau, on peut résoudre l'équation AX = Y, où X est un vecteur colonne avec n composantes inconnues et Y est un vecteur colonne dont les composantes sont des variables servant de paramètres. Il suffit alors de traduire l'équation sous forme de système et de résoudre ce dernier.

On peut aussi appliquer l'algorithme de Gauss-Jordan : on écrit côte à côte la matrice A à inverser et la matrice identité, puis on effectue des opérations élémentaires sur les lignes des deux matrices simultanément, pour aboutir à la matrice identité à la place de la matrice A. À la fin, la deuxième matrice est la matrice inverse de A.

Si A = BC où B et C sont deux matrices inversibles alors avec A⁻¹ = C⁻¹B⁻¹.

Si une matrice représente un isomorphisme u, alors son inverse est la matrice représentative de u⁻¹.

Si une matrice carrée A admet un polynôme annulateur P = ∑_k=0^d a_k X^k avec un terme constant a₀ non nul, alors on peut écrire A × ∑_k=1^d a_k A^k−1 = −a₀ I donc la matrice A admet pour inverse la matrice −1/a₀ ∑_k=1^d a_k A^k−1.

Si une matrice est diagonale avec des coefficients diagonaux (λ₁, … , λ_n) tous non nuls, l'inverse est une matrice diagonale avec pour coefficients diagonaux (1/λ₁, … , 1/λ_n).

Pour tout (a, b, c, d) ∈ K⁴ tel que ad − bc ≠ 0, l'inverse de la matrice [[a, b] [c, d]] est la matrice 1/(ad − bc) [[d, −b] [−c, a]].

Rang

Le rang d'une matrice avec n lignes et p colonnes est la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses colonnes, qui correspond aussi au rang de l'application linéaire X ↦ AX de K^p dans Kⁿ.

D'après le théorème du rang, c'est aussi la différence entre son nombre de colonnes et la dimension de son noyau : pour tout A ∈ 𝓜_n,p(K), rg(A) = p − dim(Ker(A)).

En particulier, pour une matrice carrée inversible, le rang est égal à la taille de la matrice.

En pratique, quand une matrice est donnée sous forme de tableau, on peut l'échelonner par des opérations sur des lignes ou sur des colonnes puis compter le nombre de lignes non nulles, qui correspond alors au rang de la matrice.

Une procédure un peu plus laborieuse mais qui se prête bien à la récurrence consiste à déterminer une base de vecteurs colonnes. On sélectionne la première colonne non nulle puis pour chacune des colonnes suivantes, on sélectionne cette colonne si elle est linéairement indépendante des colonnes précédemment sélectionnées. Le nombre de colonnes finalement sélectionnées est égal au rang de la matrice.