Méthodes de factorisation

Principes généraux

Si un facteur commun est identifié dans tous les termes d’une somme algébrique, on peut factoriser par distributivité de la multiplication sur l’addition : ab + ac = a(b + c).

Si un terme est élevé à des puissances diverses comme facteur des termes d’une somme algébrique, on peut factoriser par la puissance d’exposant le plus bas : si n > p alors axn + bxp = (axnp + b ) xp.

Une différence de carrés se factorise grâce à l’identité remarquable a2b2 = (ab) (a + b).

Plus généralement, une différence de puissance peut se factoriser sous la forme anbn = (ab) × (k=0n−1 an−1−kbk).

Polynôme

Pour un polynôme de degré 2, on utilise la décomposition à l’aide des racines.

Dans le cas où toutes les puissances de X sont d’exposant pair, on peut écrire le polynôme sous la forme Q(X2)Q est un polynôme de degré deux fois plus petit, en général plus facile à factoriser. Cette méthode se généralise si tous les exposants sont multiples d’un même entier k.

Si un polynôme a une racine λ, on peut le factoriser par X − λ à l’aide d’une division euclidienne. Si la racine a pour ordre de multiplicité d, on peut directement le factoriser par (X − λ)d.

Pour un polynôme de la forme Xna, on peut décomposer le polynôme sous la forme k=0n−1(X − re2ikπ/n)r est une racine n-ième de a. Si a est réel positif, les facteurs du produit peuvent se regrouper deux par deux pour obtenir une décomposition avec des facteurs réels.