Pour démontrer qu'un ensemble E constitue un espace vectoriel sur un corps K, on peut vérifier qu'il est muni d'une addition qui en fait un groupe abélien et d'une multiplication scalaire qui satisfont les propriétés suivantes pour tout (λ, μ, u, v) ∈ K2 × E2.
En général, on montre plutôt que l'ensemble E peut se définir comme un sous-espace vectoriel de référence (ensemble des applications à valeurs dans un espace vectoriel, ensemble de suites à valeurs dans un espace vectoriel, ensemble de matrices, ensemble de polynômes).
Pour cela, il suffit de montrer que E est non vide et stable par addition et multiplication scalaire.
Le plus souvent, on montre que E est non vide en justifiant qu'il contient le vecteur nul.
Pour justifier la stabilité par addition et multiplication scalaire, on écrit « Soit (λ, u, v) ∈ K × E2 » puis on écrit ce que signifie que les vecteurs u et v appartiennent à E et on justifie alors que λ.u + v appartient également à E.
Parfois, on peut directement obtenir que E est un espace vectoriel en remarquant qu'il est le noyau ou l'image d'une application linéaire, ou qu'il se réalise comme l'intersection de plusieurs sous-espaces vectoriels.
Pour démontrer une somme de sous-espaces vectoriels de la forme F + G = E, on justifie d'abord que F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, ce qui démontre l'inclusion F + G ⊂ E, puis on démontre l'inclusion contraire, ce qui peut se faire en introduisant « Soit x ∈ E » et en construisant deux vecteurs y ∈ F et z ∈ G tels que x = y + z.
Si E est de dimension finie, il est parfois possible de s'appuyer sur la formule de Grassmann dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G) pour justifier dim(F + G) = dim(E) et en déduire l'égalité des espaces vectoriels par inclusion entre espaces de même dimension. On peut aussi exhiber une famille génératrice de F et une famille génératrice de G dont la concaténation donne une famille génératrice de E.
Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G sont en somme directe, il suffit de montrer que leur intersection est nulle. On écrit alors « Soit x ∈ F ∩ G », on traduit l'appartenance du vecteur x à F et à G et on en déduit x = 0.
Pour démontrer qu'une famille (F1, … , Fn) de sous-espaces vectoriels est en somme directe, on peut écrire « Soit (u1, … , un) ∈ F1 × … × Fn tel que ∑i=1n ui = 0 » et démontrer que toute la famille (u1, … , un) est nulle, ou procéder par récurrence en montrant pour tout k ∈ [[1 ; n − 1]], (⨁i=1k Fi) ∩ Fk+1 = 0, c'est-à-dire que chaque sous-espace est en somme directe avec la somme des précédents.
Pour montrer que les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires dans un espace vectoriel E, on montre à la fois la somme directe F ∩ G = {0} et le fait qu'ils engendrent l'espace total F + G = E.
En dimension finie, il suffit de ne démontrer que deux des trois propriétés suivantes pour obtenir la troisième.