Analyse spectrale

Définitions
Vecteur propre et valeur propre, spectre, espace propre
Polynôme annulateur
Résultats
Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes
Somme directe des espaces propres
Lien entre spectre et les racines d’un polynôme annulateur
Compétences
Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou d’un endomorphisme
Interpréter des sous-espaces vectoriels comme des espaces propres pour démontrer qu’ils sont en somme directe
Utiliser un polynôme annulateur pour calculer une matrice inverse

Dans tout ce chapitre on considère un corps K qui peut désigner le corps des réels ou celui des complexes (même si toute la théorie est valable pour d'autres corps commutatifs).

Vecteur propre et valeur propre

Pour une matrice

Soit nN et A𝓜n(K) une matrice carrée de taille n. Soit λK un scalaire et XKn \ {0} un vecteur colonne non nul. On dit que X est un vecteur propre pour la matrice A associé à la valeur propre λ si on a AX = λ.X.

Remarque
Un vecteur propre est toujours associé à une seule valeur propre pour la même matrice. En revanche, tout multiple d'un vecteur propre est aussi un vecteur propre associé à la même valeur propre, donc une valeur propre peut être associée à une infinité de vecteurs propres.
Propriété
Une matrice carrée A de taille n admet la valeur propre λ si et seulement si la matrice AλIn n'est pas inversible.
Propriété
Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 comme valeur propre.

Pour un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel sur K et φ ∈ L(E) un endomorphisme de E. Soit uE \ {0} un vecteur non nul et λK. On dit que u est un vecteur propre pour φ associé à la valeur propre λ si on a φ(u) = λ.u.

Propriété
Les vecteurs propres d'une matrice carrée A de taille n sont les vecteurs propres de l'endomorphisme XAX sur Kn, associés aux mêmes valeurs propres.
Réciproquement, si A est la matrice représentative d'un endomorphisme φ dans une base 𝓑, alors les vecteurs propres de A représentent les vecteurs propres de φ dans la base 𝓑 et sont associés respectivement aux mêmes valeurs propres.

Famille de vecteurs propres

Propriété
Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes pour une même matrice ou un même endomorphisme sont linéairement indépendants.
Démonstration
On raisonne par récurrence sur le nombre de vecteurs propres pour une matrice ou un endomorphisme A.

Un vecteur propre étant non nul, il constitue une famille libre.

Soit kN tel que la propriété soit vraie pour toute famille de k vecteurs propres.
Soit (u1, … , uk+1) une famille de vecteurs propres de A. On note (λ1, … , λk+1) la famille des valeurs propres associées, supposées deux à deux distinctes.
Soit (a1, … , ak+1) ∈ Kk+1 tel que i=1k+1 ai ui = 0. Alors on trouve 0 = A(i=1k+1 ai ui) = i=1k+1 ai A(ui) = i=1k+1 ai λiui donc par combinaison des deux sommes on trouve 0 = i=1k+1 ai λiuiλk+1 i=1k+1 ai ui = i=1k+1 ai (λiλk+1)ui = i=1k ai (λiλk+1)ui.
Or par hypothèse de récurrence, la famille (u1, … , uk) est libre donc pour tout ik on obtient ai (λiλk+1) = 0 avec λiλk+1 donc ai = 0.
Finalement, la première relation se réduit à ak+1uk+1 = 0 donc ak+1 = 0. La propriété est donc satisfaite au rang k+1.

Corolaire
Une matrice de taille n ou un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension n ne peut admettre que n valeurs propres distinctes au plus.

Spectre et espaces propres

Dans cette partie, on considère une matrice carrée ou un endomorphisme A.

Le spectre de A est l'ensemble de ses valeurs propres et il se note Sp(A).

Pour tout λ ∈ Sp(A), l'espace propre associé à la valeur propre λ pour A est le sous-espace vectoriel Eλ(A) = Ker(AλId).

Propriété
L'ensemble des vecteurs non nuls de Eλ(A) est l'ensemble des vecteurs propres de A associés à la valeur propre λ.
Propriété
Le spectre d’une matrice est égal à celui de sa transposée et les espaces propres associés à la même valeur propre ont même dimension.
Propriété
Les sous-espaces propres sont en somme directe, c'est-à-dire que tout vecteur engendré par les espaces propres n'admet qu'une seule décomposition sur ces sous-espaces :
si (λ1, … , λk) est une famille de valeurs propres deux à deux distinctes,
pour tout (x1, … , xk) ∈ Eλ1(A) × … × Eλk(A), pour tout (y1, … , yk) ∈ Eλ1(A) × … × Eλk(A),
si i=1k xi = i=1k yi alors pour tout i on a xi = yi.
Si certains vecteurs de la forme (xiyi) sont non nuls, la relation i=1k (xiyi) = 0 implique qu'ils forment une famille liée, ce qui contredit l'indépendance linéaire.
Propriété
Soit D une matrice diagonale et soit λ ∈ Sp(D). La dimension de l'espace propre Eλ(D) est le nombre de coefficients diagonaux de valeur λ.

Polynôme annulateur

Soit A une matrice carrée ou un endomorphisme. Soit PK[X] \ {0} un polynôme non nul, que l'on peut noter P = k=0d ak Xk. On dit que P est un polynôme annulateur pour A si on a k=0d ak Ak = 0.

Propriété
Toute valeur propre est racine des polynômes annulateurs.
Soit A une matrice carrée ou un endomorphisme et P = k=0d ak Xk un polynôme annulateur de A. Soit λ ∈ Sp(A). On note u un vecteur propre associé.

On trouve 0 = k=0d ak Ak(u) = k=0d ak λk u = P(λ).u
or u ≠ 0 donc P(λ) = 0.

En particulier, toute matrice carrée ou tout endomorphisme A admettant un polynôme annulateur avec un coefficient constant non nul est inversible et on peut expliciter cet inverse comme un polynôme en A.