Analyse spectrale

Définitions
Vecteur propre et valeur propre, spectre, espace propre
Polynôme annulateur
Résultats
Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes
Somme directe des espaces propres
Lien entre spectre et les racines d’un polynôme annulateur
Compétences
Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou d’un endomorphisme
Interpréter des sous-espaces vectoriels comme des espaces propres pour démontrer qu’ils sont en somme directe
Utiliser un polynôme annulateur pour calculer une matrice inverse

Vecteur propre et valeur propre

Pour une matrice

Définition
Soit A ∈ ℳn(R) une matrice carrée et λR.

Un vecteur colonne X non nul est appelé vecteur propre pour la matrice A associé à la valeur propre λ si on a AX = λX.

L’ensemble des valeurs propres de A s’appelle le spectre de A et se note Sp(A).

Propriété
Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 comme valeur propre.
Démonstration
Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son noyau est nul, c’est-à-dire s’il n’existe aucun vecteur colonne X non nul tel que AX = 0, ce qui revient au fait que 0 n’est pas valeur propre.
Propriété
Soit λR. Une matrice carrée A de taille n admet la valeur propre λ si et seulement si la matrice AλIn n'est pas inversible.
Démonstration
Pour tout vecteur colonne X, on a les équivalences AX = λ·X ⇔ (Aλ·I)X = 0 XKer(A), donc λ est valeur propre si et seulement si le noyau de (Aλ·I) est non nul, c’est-à-dire si Aλ·I n’est pas inversible.

La forme de certaines matrices donne aussi certains résultats.

Propriété
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) sont les coefficients diagonaux de la matrice.
Démonstration
Soit T une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux s’écrivent a1, … , an.
Pour tout λR, la matrice Tλ·In est triangulaire et ses coefficients diagonaux s’écrivent a1λ, … , anλ, et la matrice Tλ·In n’est pas inversible si et seulement si l’un de ces coefficients est nul.
Propriété
Une matrice a les mêmes valeurs propres que sa transposée.
Démonstration
Soit A ∈ ℳn(R) et λR. On a les équivalences suivantes : λ ∈ Sp(A) ⇔ Aλ·In non inversible (Aλ·In)T non inversible ATλ·In non inversible λ ∈ Sp(AT) .
Propriété
Deux matrices semblables ont le même spectre.
Démonstration
Soient A et B deux matrices semblables. Soit λR. On a les équivalences suivantes : λ ∈ Sp(A) ⇔ Aλ·In non inversible P−1(Aλ·In)P non inversible P−1APλ·In non inversible λ ∈ Sp(B) .

Pour un endomorphisme

Définition
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie et φ ∈ L(E) un endomorphisme de E.

Soit uE \ {0} un vecteur non nul et λR.
On dit que u est un vecteur propre pour φ associé à la valeur propre λ si on a φ(u) = λ.u.

Le spectre de φ est l’ensemble de ses valeurs propres, noté Sp(φ).

Remarque
Un vecteur propre est toujours associé à une seule valeur propre pour un endomorphisme donné. En revanche, tout multiple d'un vecteur propre est aussi un vecteur propre associé à la même valeur propre, donc une valeur propre peut être associée à une infinité de vecteurs propres.
Propriété
Un endomorphisme est bijectif si et seulement s’il n’admet pas 0 comme valeur propre.
Démonstration
Un endomorphisme est bijectif si et seulement s’il est injectif, c’est-à-dire si son noyau est nul, autrement dit s’il n’a pas de vecteur propre associé à la valeur propre 0.
Propriété
Le spectre d’un endomorphisme φ est l’ensemble des réels λ tels que φλ·id n’est pas bijectif.
Démonstration
Pour tout λR, pour tout vecteur u, on a l’équivalence φ(u) = λ·u ⇔ (φλ·id)(u) = 0 donc λ est une valeur propre de φ si et seulement si 0 est une valeur propre de (φλ·id).
Propriété
Tout endomorphisme bijectif a les mêmes vecteurs propres que l’endomorphisme réciproque avec les valeurs propres inverses.
Démonstration
Soit φ ∈ L(E) bijectif. Pour tout uE ∖ {0} et λR on a l’équivalence φ(u) = λ·u(1)/(λ)·u = φ−1(u).

Famille de vecteurs propres

Propriété
Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes pour une même matrice ou un même endomorphisme sont linéairement indépendants.
Démonstration
On raisonne par récurrence sur le nombre de vecteurs propres pour une matrice ou un endomorphisme A.

Un vecteur propre étant non nul, il constitue une famille libre.

Soit kN tel que la propriété soit vraie pour toute famille de k vecteurs propres.
Soit (u1, … , uk+1) une famille de vecteurs propres de A. On note (λ1, … , λk+1) la famille des valeurs propres associées, supposées deux à deux distinctes.
Soit (a1, … , ak+1) ∈ Rk+1 tel que i=1k+1 ai ui = 0. Alors on trouve 0 = A(i=1k+1 ai ui) = i=1k+1 ai A(ui) = i=1k+1 ai λiui donc par combinaison des deux sommes on trouve 0 = i=1k+1 ai λiuiλk+1 i=1k+1 ai ui = i=1k+1 ai (λiλk+1)ui = i=1k ai (λiλk+1)ui.
Or par hypothèse de récurrence, la famille (u1, … , uk) est libre donc pour tout ik on obtient ai (λiλk+1) = 0 avec λiλk+1 donc ai = 0.
Finalement, la première relation se réduit à ak+1uk+1 = 0 donc ak+1 = 0. La propriété est donc satisfaite au rang k+1.

Corolaire
Une matrice de taille n ou un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension n ne peut admettre que n valeurs propres distinctes au plus.

Espaces propres

Dans cette partie, on considère une matrice carrée ou un endomorphisme A.

Définition
Pour tout λ ∈ Sp(A), l'espace propre associé à la valeur propre λ pour A est le sous-espace vectoriel Eλ(A) = Ker(AλId).
Propriété
L'ensemble des vecteurs non nuls de Eλ(A) est l'ensemble des vecteurs propres de A associés à la valeur propre λ.
Propriété
Les espaces propres d’une matrice et de sa transposée associés à la même valeur propre ont la même dimension.
Démonstration
Soit A ∈ ℳn(R) et λ ∈ Sp(A). On a les égalités dim(Eλ(A)) = dim(Ker(Aλ·In)) = n − rg(Aλ·In) = n − rg((Aλ·In)T) = n − rg(ATλ·In) = dim(Ker(ATλ·In)) = dim(Eλ(AT)).
Propriété
Les sous-espaces propres sont en somme directe.
Démonstration
Soient λ1, … , λk des valeurs propres de A, on note E1, … , Ek les sous-espaces propres associés.
Soit (x1, … , xk) ∈ E1 × ⋯ × Ek et (y1, … , yk) ∈ E1 × ⋯ × Ek tels que i=1k xi = i=1k yi.
On trouve alors i=1k (xiyi) = 0 avec pour tout i ∈ ⟦1 ; n, xiyiEi.
Si certains vecteurs de la forme (xiyi) sont non nuls, la relation i=1k (xiyi) = 0 implique qu'ils forment une famille liée, ce qui contredit l'indépendance linéaire.
Propriété
Les espaces propres associés à la même valeur propre pour deux matrices semblables ont la même dimension.
Démonstration
Soient A et B deux matrices semblables. Soit λ ∈ Sp(A).

On a les égalités dim(Eλ(A)) = dim(Ker(Aλ·In)) = n − rg(Aλ·In) = n − rg(P−1(Aλ·In)P) = n − rg(P−1APλ·In) = dim(Ker(Bλ·In)) = dim(Eλ(B)).

Propriété
Soit D une matrice diagonale et soit λ ∈ Sp(D). La dimension de l'espace propre Eλ(D) est le nombre de coefficients diagonaux de valeur λ.

Polynôme annulateur

Soit A une matrice carrée ou un endomorphisme. Soit P : xk=0d akxk un polynôme non nul.
On dit que P est un polynôme annulateur pour A si on a k=0d ak Ak = 0.

Propriété
Toute valeur propre est racine des polynômes annulateurs.
Démonstration
Soit A une matrice carrée ou un endomorphisme et P : xk=0d akxk un polynôme annulateur de A. Soit λ ∈ Sp(A). On note u un vecteur propre associé.

On trouve 0 = k=0d ak Ak(u) = k=0d ak λk u = P(λ).u or u ≠ 0 donc P(λ) = 0.

En particulier, toute matrice carrée ou tout endomorphisme A admettant un polynôme annulateur avec un coefficient constant non nul est inversible et on peut expliciter cet inverse comme un polynôme en A.

Propriété
Les seules valeurs propres possibles d’une projection sont les réels 0 et 1.
Les seules valeurs propres possibles d’une symétrie sont les réels −1 et 1.