Devoir non surveillé n^o 1

Polynôme de matrice et dimension de noyaux

1. Effectuer la division euclidienne de X + 1 par X − 2, puis de X² − X − 2 par X + 1.
2. Soit n ∈ N. Déterminer le reste R = aX + b de la division euclidienne de Xⁿ par X² − X − 2.
3. Soit t ∈ R^∗. On définit la matrice A = [[0 ;t ;t² ;]][1/t ;0 ;t ;]][1/t² ;1/t ;0 ;]]. Calculer A² − A − 2I₃.
   En déduire pour tout entier n ∈ N l'expression de Aⁿ sous la forme aA + b.
4. Déterminer F = Ker (A + I₃) et G = Ker (A − 2I₃) en précisant leur dimension.
5. Montrer que F et G sont en somme directe, c'est-à-dire que leur intersection F ∩ G est réduite à {0}.
6. Montrer que F et G sont supplémentaires dans R³, c'est-à-dire R³ = F ⊕ G.

Approximation de pi

On définit f(x) = 1/1 +x²) pour tout réel x. On prendra 8 cm par unité pour les représentations graphiques.

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant les valeurs de la fonction en −1, 0 et 1, ainsi que les limites à l'infini et les éventuelles asymptotes.
2. Déterminer le développement limité de f à l'ordre 2 en 0 et en 1.
   En déduire la position relative de la courbe de f et des tangentes aux points d'abscisse 0 et 1.
3. Montrer que la courbe de f admet un point d'inflexion d'abscisse positive, c'est-à-dire que la dérivée de f change de sens de variation en un réel α > 0 que l'on précisera.
4. Tracer la courbe représentative de la fonction f avec les tangentes calculées plus haut et le point d'inflexion.
5. Calculer l'aire 𝓐 du domaine du plan situé sous la courbe de f et au-dessus de l'axe des abscisses, entre l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1. Colorer ce domaine sur la figure.
6. Démontrer que pour tout x ∈ R on a 1 − x² ≤ 1/1 + x²) ≤ 1 − x² + x⁴.
7. En déduire un encadrement de 𝓐 puis de π.

Suite implicite

Pour tout réel x ∈ R on pose g(x) = x exp(x).

1. Pour tout entier n ∈ N, montrer que l'équation g(x) = n admet une unique solution réelle que l'on notera u_n.
2. Montrer que la suite (u_n) est strictement positive et qu'elle vérifie pour tout n ≥ 3, 1 ≤ u_n ≤ ln(n).
3. Montrer que pour tout entier n > 0 on a ln(u_n) + u_n = ln(n).
4. En déduire l'équivalent u_n ∼_n→+∞ ln(n).
5. Déterminer un équivalent simple de u_n − ln(n).