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Il n'y a pas de colles pendant la semaine du 16 au 20 février pour cause de concours blanc.
Semaine 18 du 16 au 20 mars 2015
Aux listes de connaissances des semaines précédentes s'ajoutent les suivantes sur les matrices et la diagonalisabilité.
- Matrice inversible, inverse, transposée. Produit matriciel, trace. Matrices semblables, matrices équivalentes. Matrice de passage.
- Valeur propre, vecteur propre, espace propre. Matrice diagonalisable.
Semaine 17 du 9 au 13 mars 2015
Aux listes de connaissances des semaines précédentes s'ajoutent les suivantes sur les fonctions de plusieurs variables.
- Définition de la distance, d'une boule et d'un ouvert dans Rn, de la différentielle d'une fonction en un point, d'un extremum local ou global.
- Théorème d'Euler, théorème de Schwarz, théorème des extrema liés.
Exercices types
Exercices d'étude de fonction ou de suite, exercices sur les polynômes et nombres complexes.
Semaine 16 du 9 au 13 février 2015
Aux listes de connaissances des deux semaines précédentes s'ajoutent les suivantes.
- Définition de la relation de prépondérance et de l'équivalent.
- Développements limités usuels, formule de Taylor-Young.
Exercices types
Exercices d'étude de fonction ou de suite, exercices sur les polynômes et nombres complexes.
Semaine 15 du 2 au 6 février 2015
Aux listes de connaissances des semaines précédentes s'ajoutent les suivantes.
- Définition du conjugué, du module et de l'argument d'un nombre complexe. Formules de De Moivre et d'Euler, valeurs remarquables de fonctions trigonométriques.
- Division euclidienne des polynômes, définition du polynôme dérivé, formule de Taylor pour les polynômes, définition d'une racine et de l'ordre de multiplicité, factorisation, décomposition d'un polynôme réel ou complexe, relation entre coefficients et racines, théorème de d'Alembert-Gauss.
Exercices types
Tout exercice d'algèbre en dimension finie ou d'analyse de fonction peut être demandé.
Semaine 14 du 26 au 30 janvier 2015
Aux listes de connaissances des deux semaines précédentes s'ajoutent les suivantes.
- Définition du conjugué, du module et de l'argument d'un nombre complexe. Formules de De Moivre et d'Euler, valeurs remarquables de fonctions trigonométriques.
- Théorème de Rolle, théorème et inégalités des accroissements finis
- Primitives usuelles, théorème fondamental de l'analyse, intégration par parties, et changement de variables dans une intégrale.
Exercices types
Tout exercice d'algèbre en dimension finie ou d'analyse de fonction peut être demandé.
Semaine 14 du 26 au 30 janvier 2015
Aux listes de connaissances des deux semaines précédentes s'ajoutent les suivantes. La déclaration des variables utiles et la précision des hypothèses est absolument nécessaire.
- Domaine, dérivée, variations et limites des fonctions de référence et comparaison de croissance.
- Théorème de Rolle, théorème et inégalités des accroissements finis
- Primitives usuelles, théorème fondamental de l'analyse, intégration par parties, et changement de variables dans une intégrale.
Exercices types
Exercice d'algèbre en dimension finie, polynômes et nombres complexes.
Semaine 13 du 19 au 23 janvier 2015
Les connaissances suivantes peuvent être demandées spontanément aux élèves, ainsi que celles de la semaine précédente.
- Définition de sous-espaces supplémentaires, du noyau d'une application linéaire, d'un endomorphisme, un isomorphisme, d'un automorphisme, d'une forme linéaire, d'un projecteur, d'une projection.
- Définition d'une famille libre, liée ou génératrice, d'une base, de la dimension.
- Théorème de la base incomplète, théorème de la dimension, formule de Grassmann, théorème du rang.
Exercices types
Tout exercice de probabilités ou d'algèbre en dimension finie peut être demandé aux élèves.
Semaine 12 du 12 au 16 janvier 2015
La partie démonstration de cours va maintenant se réduire mais chaque semaine les élèves se concentreront sur quelques chapitres cohérents.
Questions de cours
- Estimateur de l'espérance avec démonstration
- Estimateur de la variance dans le cas d'une espérance connue avec démonstration
- Estimateur de la variance dans le cas d'une espérance inconnue avec démonstration
Les connaissances suivantes peuvent être demandées spontanément aux élèves.
- Définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète ou à densité, définition de la fonction de répartition d'une variable à densité, définition de la covariance et des moments
- Formule des probabilités totales, formule de Bayes, formule de Huygens
- Loi de probabilité, espérance et variance d'une loi de probabilité au programme (Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, uniforme, exponentielle, normale)
Exercices types
Tout exercice de probabilités peut être demandé aux élèves.
Semaine 11 du 5 au 9 janvier 2015
Contenu du cours
Estimateurs
Questions de cours
- Estimateur de l'espérance
- Estimateur de la variance dans le cas d'une espérance connue
- Estimateur de la variance dans le cas d'une espérance inconnue
- Inégalité de Markov
- Loi faible des grands nombres
- Théorème central limite (sans démonstration).
Exercices types
- Calcul d'espérance de variable aléatoire construite à partir d'un échantillon pour déterminer un estimateur.
- Démonstration de la convergence d'une suite de variables aléatoires, notamment lorsqu'elles sont obtenues comme sommes partielles ou produits partiels d'une suite de variables iid.
Semaine 10 du 15 au 19 décembre 2014
Contenu du cours
Suite de variables aléatoires : convergence presque sûre, convergence en probabilité, convergence en loi avec exemples et contre-exemples.
Questions de cours
- Inégalité de Markov
- Loi faible des grands nombres
- Théorème central limite (sans démonstration).
- Covariance de deux variables aléatoires indépendantes.
- Inégalité de Cauchy-Schwarz pour des vecteurs colonnes.
- Relation entre les moments d'une variable aléatoire.
Exercices types
- Démonstration de la convergence d'une suite de variables aléatoires, notamment lorsqu'elles sont obtenues comme sommes partielles ou produits partiels d'une suite de variables iid.
- Calcul de moments pour une variable aléatoire réelle (positive ou non, discrète ou à densité). Distinction de lois de probabilités grâce à leurs moments (cas d'une loi sur un ensemble fini de réels).
Semaine 9 du 8 au 12 décembre 2014
Contenu du cours
Couple de variables aléatoires discrètes : loi marginale, loi conditionnelle, indépendance, covariance, coefficient de corrélation, utilisation des moments.
Questions de cours
- Covariance de deux variables aléatoires indépendantes.
- Inégalité de Cauchy-Schwarz pour des vecteurs colonnes.
- Relation entre les moments d'une variable aléatoire.
- Somme directe des espaces propres pour une matrice.
- Existence d'un polynôme annulateur à coefficient constant non nul pour une matrice inversible.
- Existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples pour une matrice diagonalisable.
- Trace de matrices semblables
Exercices types
- Calcul de loi marginale, détermination de l'indépendance, calcul de covariance pour un couple de variables aléatoires discrètes.
- Calcul de moments pour une variable aléatoire réelle (positive ou non, discrète ou à densité). Distinction de lois de probabilités grâce à leurs moments (cas d'une loi sur un ensemble fini de réels).
- Utilisation de la trace dans des exercices d'algèbre linéaire (noyau de la trace du produit avec une matrice fixée, positivité de la trace du produit d'une matrice avec sa transposée…)
- Calcul de seuils pour une variable aléatoire X afin de déterminer des intervalles de fluctuation (par exemple, déterminer a et b pour que l'intervalle [a, b] soit le plus petit possible avec P(X<a) ≤ 5% et P(X>b) ≤ 5%).
Semaine 8 du 1er au 5 décembre 2014
Contenu du cours
Trace d'une matrice.
Intervalle de fluctuation
Questions de cours
- Indépendance linéaire des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
- Existence d'un polynôme annulateur non nul pour toute matrice carrée.
- Somme directe des espaces propres pour une matrice.
- Existence d'un polynôme annulateur à coefficient constant non nul pour une matrice inversible.
- Existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples pour une matrice diagonalisable.
- Trace de matrices semblables
Exercices types
- Détermination du spectre d'une matrice ou d'un endomorphisme
- Diagonalisation de matrice
- Utilisation de la trace dans des exercices d'algèbre linéaire (noyau de la trace du produit avec une matrice fixée, positivité de la trace du produit d'une matrice avec sa transposée…)
- Calcul de seuils pour une variable aléatoire X afin de déterminer des intervalles de fluctuation (par exemple, déterminer a et b pour que l'intervalle [a, b] soit le plus petit possible avec P(X<a) ≤ 5% et P(X>b) ≤ 5%).
Semaine 7 du 24 au 28 novembre 2014
Contenu du cours
Diagonalisation de matrice, polynôme annulateur, spectre d'un endomorphisme.
Questions de cours
- Théorème du rang
- Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice
A à l'aide de l'équation
AX = 0.
- Structure vectorielle des sous-espaces propres
- Indépendance linéaire des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
- Existence d'un polynôme annulateur non nul pour toute matrice carrée.
- Somme directe des espaces propres pour une matrice.
Exercices types
- Détermination du spectre d'une matrice ou d'un endomorphisme
- Diagonalisation de matrice
Semaine 6 du 17 au 21 novembre 2014
Contenu du cours
(Interruption pour concours blanc)
Valeur propre, sous-espace propre
Questions de cours
Révisions d'algèbre linéaire
- Théorème du rang
- Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice
A à l'aide de l'équation
AX = 0.
- Structure vectorielle des sous-espaces propres
- Indépendance linéaire des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
Exercices types
- Recherche de valeurs propres et vecteurs propres pour des matrices quelconques de taille 2 ou 3 (pour éventuellement construire une base et construire une matrice semblable diagonale).
- Calcul de limites, de dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables, recherche de points critiques et d'extremums.
Semaine 5 du 13 au 17 octobre 2014
Contenu du cours
Fonctions de plusieurs variables : définition, ouvert, limite, continuité, dérivée partielle, point critique
Questions de cours
- Espérance et variance de la loi uniforme
- Espérance et variance de la loi exponentielle
- Caractère sans mémoire de la loi exponentielle
- Condition nécessaire pour un extremum libre (localisation en un point critique)
Exercices types
- Calcul de limites, de dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables, recherche de points critiques et d'extremums.
- Calcul d'espérance et de variance pour des lois à densité
- Détermination de la fonction de densité pour une variable aléatoire
Semaine 4 du 6 au 10 octobre 2014
Contenu du cours
Lois à densité : tribu, espace probabilisable, probabilisé, fonction de densité, fonction de répartition, loi uniforme, loi exponentielle, espérance et variance
Questions de cours
- Espérance et variance de la loi uniforme
- Espérance et variance de la loi exponentielle
- Caractère sans mémoire de la loi exponentielle
- Critère de d'Alembert
- Convergence des intégrales de Riemann
Exercices types
- Calcul d'espérance et de variance pour des lois à densité
- Détermination de la fonction de densité pour une variable aléatoire (typiquement, le carré ou l'inverse d'une uniforme)
- Intégrabilité d'une fonction aux bornes de son domaine de définition.
Attention, les couples de variables aléatoires à densité n'ont pas encore été vus. Cela sera au programme après le cours sur les fonctions de plusieurs variables.
Semaine 3 du 29 septembre au 3 octobre 2014
Contenu du cours
- Séries réelles : critère de d'Alembert
- Intégrale généralisée : convergence sur un intervalle semi-ouvert à droite ou à gauche, convergence sur un intervalle ouvert, fonctions de référence, critère des fonctions équivalentes
Questions de cours
- Même comportement pour des séries de termes généraux positifs équivalents
- Théorème de comparaison entre série et intégrale
- Critère de d'Alembert
- Convergence des intégrales de Riemann
Exercices types
- Détermination de la convergence de séries ou de produits infinis à l'aide d'équivalents ou de calcul d'intégrales, calcul de limites explicites en se ramenant à des séries téléscopiques.
- Intégrabilité d'une fonction aux bornes de son domaine de définition.
Semaine 2 du 22 au 26 septembre 2014
Contenu du cours
Séries réelles : convergence, divergence grossière, comparaison série intégrale, convergence absolue, série harmonique, séries de Riemann, critère des séries alternées
Questions de cours
- Constance du taux de panne pour une loi géométrique
- Espérance et variance de la loi géométrique
- Stabilité des lois de Poisson par addition de variables indépendantes
- Même comportement pour des séries de termes généraux positifs équivalents
- Théorème de comparaison entre série et intégrale
Exercices types
Détermination de la convergence de séries ou de produits infinis à l'aide d'équivalents ou de calcul d'intégrales, calcul de limites explicites en se ramenant à des séries téléscopiques.
Semaine 1 du 15 au 19 septembre 2014
Contenu du cours
Variables aléatoires réelles discrètes
Questions de cours