Nombres réels

Les nombres réels peuvent se concevoir comme les nombres s’écrivant avec un signe (positif ou négatif), un nombre fini de chiffres avant la virgule et une suite infinie de chiffres (éventuellement nuls) après la virgule.

Structure algébrique

Définitions

L’ensemble R, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il satisfait les propriétés suivantes :

• l'addition et la multiplication sont associatives : pour tout triplet de réels (a, b, c) on a (a + b) + c = a + (b + c) et (a × b) × c = a × (b × c) ;
• l'addition et la multiplication sont commutatives : pour tout couple de réels (a, b) on a a + b = b + a et a × b = b × a ;
• la multiplication est distributive par rapport à l'addition : pour tout triplet de réels (a, b, c) on a a × (b + c) = (a × b) + (a × c) ;
• l'addition et la multiplication admettent des neutres notés respectivement 0 et 1 : pour tout réel a on a 0 + a = a + 0 = a et 1 × a = a × 1 = a ;
• tout nombre réel a admet un opposé (symétrique pour l'addition) noté −a qui vérifie a + (−a) = (−a) + a = 0 ;
• tout nombre réel a ≠ 0 admet un inverse (symétrique pour la multiplication) noté 1/a avec a × 1/a = 1.

Pour tout couple de réels (a, b), on définit alors la différence a − b = a + (−b), résultat de la soustraction et si b ≠ 0, le quotient  a/b = a / b = a × 1/b est le résultat de la division.

Pour tout réel a, on définit aussi son carré a² = a × a.

Propriétés

Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse.

Tout nombre réel est l'opposé de son opposé.

Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a, on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.

On en déduit aussi que pour tout réel a, on a −a = (−1) × a et en particulier, (−1)² = (−1) × (−1) = −(−1) = 1.

On trouve aussi que l'inverse d'un nombre réel non nul n'est jamais nul et que tout nombre réel non nul est l'inverse de son inverse.

Changement de signe

Pour tout (a, b) ∈ R², on a −(a + b) = −a − b et −(a − b) = −a + b.

Identités remarquables

Pour tout (a, b) ∈ R², on a :

• (a + b)² = a² + b² + 2ab
• (a − b)² = a² + b² − 2ab
• (a + b)(a − b) = a² − b².

Règle d’annulation du produit

Le produit de deux réels est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

Opérations sur les fractions

Pour tout (a, b, c, d) ∈ R⁴ tel que c ≠ 0 et d ≠ 0, on a :

• a/c = b/d ⇔ ad = bc
• a = a/1
• a/c × b/d = ab/cd
• a/c + b/c = (a + b)/c
• a/c + b/d = (ad + bc)/cd
• −a/b = −a/b = a/−b
• si a ≠ 0, 1/(a/c) = c/a.

Relation d’ordre total

Définitions

L'ensemble R est muni d'un ordre total noté à l'aide du symbole ≤, c’est-à-dire qu’il satisfait les propriétés suivantes :

réflexivité

tout élément est inférieur à lui-même : pour tout x ∈ R, on a x ≤ x ;

antisymétrie

deux éléments distincts ne peuvent être simultanément inférieurs l’un à l’autre : pour tout (x, y) ∈ R², si x ≤ y et y ≤ x alors x = y ;

transitivité

si un élément est inférieur à un deuxième, lui-même inférieur à un troisième, alors le premier est inférieur au troisième : pour tout (x, y, z) ∈ R³, si x ≤ y et y ≤ z alors x ≤ z ;

totalité

deux éléments sont toujours comparables : pour tout (x, y) ∈ R², on a x ≤ y ou y ≤ x.

La relation réciproque est notée ≥. On a ainsi les équivalences pour tout (x, y) ∈ R² : x ≥ y ⇔ y ≤ x.

Les relations strictes associées sont notées < et >. Elles sont définies pour tout (x, y) ∈ R² par :

• x < y ⇔ (x ≤ y et x ≠ y)
• x > y ⇔ (x ≥ y et x ≠ y).

Les relations contraires peuvent être notées avec le symbole barré, mais dans le cadre d’une relation d’ordre totale on utilise plutôt le fait que le contraire de x ≤ y s’écrive x > y.

Compatibilité avec les opérations

Les opérations d’addition et de multiplication sont compatibles avec la relation d’ordre total, c’est-à-dire qu’on a pour tout (x, y, z) ∈ R³ :

• si x ≤ y alors x + z ≤ y + z ;
• si x ≥ 0 et y ≥ 0 alors xy ≥ 0.

La règle de compatibilité avec l’addition aboutit aux propriétés suivantes.

En particulier, l'opposé d'un réel positif est négatif, et réciproquement.

La deuxième règle de compatibilité donne alors la règle des signes.

Règle des signes

Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif ; le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

En particulier, tout carré est positif, donc 1 est positif.

Cette règle permet aussi de démontrer les propriétés suivantes.

Valeur absolue

Formulation analytique

La valeur absolue d’un réel x se note |x| et est définie par : |x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x sinon.

Pour tout x ∈ R on a l’égalité |x| = |−x| et les inégalités : |x| ≥ 0 et −|x| ≤ x ≤ |x|.

Relations algébriques

Inégalité triangulaire

Pour tout (x, y) ∈ R², on a les inégalités : ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|.

Pour tout (x, y) ∈ R², |x × y| = |x| × |y|
et si y ≠ 0, |x/y| = |x| / |y|.

Approche géométrique

Pour tout (x, y) ∈ R² la distance entre x et y est le réel |y − x|.

On résout certaines inéquations avec des valeurs absolues comme ci-dessous.

Parties de  R

Intervalles

Pour tout (a, b) ∈ R² tel que a < b, on définit quatre intervalles d’extrémités a et b, qui sont :

fermé

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

ouvert

]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}

semi-ouvert à gauche

]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

semi-ouvert à droite

[a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}.

Pour tout a ∈ R on définit aussi deux intervalles fermés [a, +∞[ = {x ∈ R : a ≤ x} et ]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} et deux intervalles ouverts ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} et ]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a}.

Les éléments −∞ et +∞ ne représentent pas des réels, mais peuvent être conçus comme des éléments supplémentaires d'un ensemble appelé droite réelle continuée et noté ¯R.

L'ensemble R = ]−∞ ; +∞[ est aussi un intervalle (à la fois ouvert et fermé), de même que les intervalles dégénérés que sont le vide et les singletons de la forme {a}.

On note R₊ = {x ∈ R : x ≥ 0} = [0 ; +∞[, ensemble des réels positifs
et R₋ = {x ∈ R : x ≤ 0} = ]−∞ ; 0], ensemble des réels négatifs. En particulier, on remarque que 0 est le seul réel à la fois positif et négatif.

Un éventuel astérisque indique que l’on exclut 0 : R* = {x ∈ R : x ≠ 0} = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b.
L'intervalle ]a, b[ contient le réel (a + b)/2 donc il est non vide.

Majoration, minoration et extremum

Soit A une partie de R.
Elle est dite minorée s'il existe m ∈ R tel que pour tout x ∈ A, on ait m ≤ x.
Elle est dite majorée s'il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ A, on ait x ≤ M.
Elle est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Un maximum (ou plus grand élément) de A est un majorant de A qui appartient à A.
Un minimum (ou plus petit élément) de A est un minorant de A qui appartient à A.

• Toute partie d'une partie minorée (resp. majorée, resp. bornée) l'est aussi.
• L'union de deux parties minorées (resp. majorées, resp. bornées) l'est aussi.
• Toute partie majorée admet plusieurs majorants distincts et toute partie minorée admet plusieurs minorants distincts.

Une partie ne peut admettre deux maximums distincts, ni deux minimums distincts.

On note respectivement max(A) et min(A) le maximum et le minimum d'une partie A de R, lorsqu'ils existent.

Pour toute partie A de R, on appelle symétrique de A l'ensemble {−x, x ∈ A}. On dit que la partie A est symétrique par rapport à 0 si elle est son propre symétrique.

Ensembles de nombres

L'ensemble des entiers naturels, noté N, est une partie de R pouvant être définie comme la plus petite partie contenant 0 et telle que pour tout n ∈ N, on a n + 1 ∈ N.

On note aussi N* = N \ {0}.

L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble des entiers naturels et de leurs opposés : Z = N ∪ {−n ; n ∈ N}.
Pour tout (p, q) ∈ Z² tel que p ≤ q on note [[p, q]] = [p, q] ∩ Z.

L'ensemble des rationnels est l'ensemble de quotients d'entiers : Q = {p/q, (p, q) ∈ Z × N*}.

On obtient alors la série d'inclusions N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.