Fonctions de plusieurs variables

Dans tout ce chapitre, on fixe un entier nN.

Introduction

Une fonction réelle de n variables réelles est une application d'une partie de Rn vers R.

La fonction polynomiale (x1, …, xn) ↦ x12 + … + xn2 est positive et ne s'annule qu'à l'origine.

Pour tout i ∈ ⟦1 ; n, on a x12 + … + xn2xi2 ≥ 0 donc en tout point d'annulation, toutes les composantes sont nulles.

Pour tout x = (x1, …, xn) ∈ Rn on définit sa norme euclidienne ||x|| = x12 + … + xn2.

La distance entre deux points x = (x1, …, xn) et y = (y1, …, yn) de Rn s'écrit d(x, y) = ||yx|| = (y1x1)2 + … + (ynxn)2.

On étend ainsi la définition de la distance dans le plan euclidien.

Inégalité triangulaire
Pour tout (x, y, z) ∈ (Rn)3, on a ||xy|| ≤ ||xz|| + ||zy||.

Topologie élémentaire

Soit aRn et rR∗+. La boule ouverte de centre a et de rayon r est l'ensemble des points dont la distance à a est strictement inférieure à r : B(a, r) = {xRn : ||xa|| < r}.

En dimension 1, les boules ouvertes sont les intervalles ouverts bornés. En dimension 2, il s'agit des intérieurs de cercles. En dimension 3, une boule ouverte est l'intérieur d'une sphère.

Soit U une partie de Rn. On dit que U est ouverte si pour tout aU il existe rR∗+ tel que B(a, r) ⊂ U.

Le produit cartésien d'ouverts est un ouvert.

En particulier, le produit cartésien d'intervalles ouverts est un ouvert appelé pavé.

L'union d'une famille quelconque d'ouverts est un ouvert. L'intersection d'une famille finie non vide d'ouverts est un ouvert.

Soit A une partie de Rn et soit aA. On dit que a est un point isolé dans A s'il existe rR∗+ tel que B(a, r) ∩ A = {a}.

Limite et continuité

Soit f une fonction définie sur une partie A de Rn et soit aRn tel que pour tout rR∗+, B(a, r) ∩ A ≠ ∅. Soit LR.
On dit que f tend vers L en a et on note limxa f(x) = L si pour tout voisinage V de L il existe rR∗+ tel que pour tout x ∈ B(a, r) ∩ A on ait f(x) ∈ V.

La fonction (x, y) ↦ 1/x2 + y2, définie sur R2 \ {(0 ; 0)}, tend vers +∞ en (0 ; 0).

Caractérisation séquentielle de la limite
On a limxa f(x) = L si et seulement si pour toute suite (uk) convergeant vers a on a limk→+∞ f(uk) = L.
Soit f une fonction réelle définie sur une partie A de Rn.

Pour tout point aA, on dit que f est continue en a si on a limxa f(x) = f(a).

On dit que f est continue sur A si elle est continue en tout point de A.

On utilise la caractérisation séquentielle de la limite.

On en déduit directement que toute fonction polynomiale est continue.

Dérivées partielles

On note (e1, …, en) la base canonique de Rn.

Soit f une fonction réelle définie sur un ouvert U de Rn. Soit aU et i ∈ ⟦1 ; n.
On dit que la fonction f admet une dérivée partielle par rapport à la i-ème variable en a si la fonction hf(a + hei) est dérivable en 0.
Dans ce cas, le nombre dérivé obtenu est noté Dif(a) ou f/xi(a).

Avec les notations de la définition, on trouve donc f/xi(a) = limh→0 f(a + tei) − f(a)/h.

Toute projection (x1, …, xn) ↦ xi est dérivable de dérivée partielle constante de valeur 1 par rapport à xi, et de dérivée partielle nulle par rapport aux autres variables.

Les dérivées partielles sont linéaires et satisfont la relation de dérivation du produit : si f et g sont deux fonctions admettant une dérivée partielle par rapport à la même i-ème variable en un point a d'un même ouvert sur lequel elles sont définies, alors les combinaisons linéaires et le produit de ces deux fonctions sont aussi dérivables par rapport à cette variable en a et on a (λf + g)/xi = λf/xi + g/xi et (f × g)/xi = f/xi × g + f × g/xi.

La composée d'une fonction de plusieurs variables f à valeurs dans un intervalle I admettant des dérivées partielles et d'une fonction gD1(I, R) admet aussi des dérivées partielles avec (gf)/xi = f/xi × (g′ ∘ f).

Une fonction est dite de classe C1 sur un ouvert U si elle est dérivable par rapport à toutes ses variables en tout point de U et si toutes ses dérivées partielles sont continues en tant que fonctions de plusieurs variables.

Toute fonction polynomiale est de classe C1 et ses dérivées partielles sont polynomiales également.

Différentielle

Soit f une fonction définie sur un ouvert URn et soit aU.
On dit que f est différentiable en a s'il existe une forme linéaire φ ∈ L(Rn, R) telle que pour tout vRn vérifiant a + vU on a f(a + v) = f(a) + φ(v) + ov→0(||v||).

Il ne peut exister deux formes linéaires distinctes satisfaisant la relation de la définition ci-dessus pour une même fonction en un même point.

La forme linéaire de la définition, si elle existe, est appelée différentielle de f en a et notée dfa.

Si f est une fonction de classe C1 sur un ouvert U de Rn alors f est différentiable en tout point aU avec dfa : (h1, …, hn) ↦ i=1n hi f/xi(a).

On en déduit que toute fonction de classe C1 est continue. Contrairement à la propriété de continuité des fonctions dérivables à une seule variable, l'existence des dérivées partielles en tout point d'un ouvert ne garantit pas la continuité d'une fonction de plusieurs variables.

La fonction (x, y) ↦ xy/x2 + y2 prolongée par 0 en (0 ; 0) admet des dérivées partielles en tout point de R2 mais n'est pas continue en (0 ; 0).

Dérivée d'une composée
Soit f une fonction de classe C1 sur un ouvert URn.
Soit (u1, …, un) une famille de fonctions réelles dérivables sur un même intervalle réel I telle que pour tout tI on a (u1(t), …, un(t)) ∈ U. Alors la fonction g : tf(u1(t), …, un(t)) est dérivable et pour tout tI on a g′(t) = i=1n ui′(t) × f/xi(u1(t), …, un(t)).
On n'utilise pas complètement le fait que f soit de classe C1 sur U. La différentiabilité suffit.

Extremums

Soit f une fonction définie sur un ouvert URn et soit aU.

On dit que f admet un maximum local en a s'il existe rR∗+ tel que la restriction de f à la boule ouverte B(a, r) admette un maximum en a, c'est-à-dire que pour tout xU tel que ||xa|| < r on ait f(x) ≤ f(a).

De même, on dit que f admet un minimum local en a s'il existe rR∗+ tel que la restriction de f à la boule ouverte B(a, r) admette un minimum en a, c'est-à-dire que pour tout xU tel que ||xa|| < r on ait f(x) ≥ f(a).

On dit que a est un point critique pour la fonction f si les dérivées partielles de f s'annulent en a.

Condition nécessaire pour un extremum libre
Si une fonction de classe C1 sur un ouvert URn admet un minimum ou un maximum local en un point aU alors ce point est un point critique de la fonction f.
Là encore, la condition de classe C1 peut être remplacée par la simple existence des dérivées partielles.

Supposons que f admette un maximum ou un minimum local en a. Alors toutes les fonctions partielles hf(a + hei) admettent un maximum ou un minimum local en 0 donc leur dérivée s'annule en 0.

Soit f une fonction définie sur un ouvert URn et soit C un hyperplan affine d'équation a1x1 + … + anxn = c.
On dit que f présente un extremum local en un point (x1, …, xn) sous la contrainte C si la restriction de f à C admet un extremum local en (x1, …, xn).

Théorème des extrema liés
Soit f une fonction de classe C1 sur un ouvert URn. Soit C un hyperplan d'équation i=1n aixi = c.

Si f présente un extremum local en un point (x1, …, xn) sous la contrainte C, alors il existe λR tel que pour tout i ∈ ⟦1 ; n on ait f/xi(x1, …, xn) = λai.

Un réel λ satisfaisant la relation du théorème est appelé multiplicateur de Lagrange.

Fonctions homogènes

Soit C une partie de Rn. On dit que C est un cône si pour tout (x1, …, xn) ∈ C et pour tout tR∗+ on a (tx1, …, txn) ∈ C.

L'intersection et l'union d'une famille de cônes sont des cônes.

Soit αR. Une fonction réelle f définie sur un cône CRn est dite homogène de degré α si pour tout (x1, …, xn) ∈ C et pour tout tR∗+ on a f(tx1, …, txn) = tαf(x1, …, xn).

Aucune fonction non nulle et homogène de degré α < 0 ne peut admettre de limite finie à l'origine.

Théorème d'Euler
Soit αR et f une fonction de classe C1 sur un cône ouvert CRn. La fonction f est homogène de degré α si et seulement si pour tout (x1, …, xn) ∈ C on a i=1n xi × f/xi(x1, …, xn) = αf(x1, …, xn).
On procède alors par double implication.

Dérivées partielles d'ordre 2

Soit f une fonction définie et admettant une dérivée partielle f/xi sur un ouvert URn.
Si cette dérivée partielle est elle-même dérivable par rapport à une variable xj (avec i et j distincts ou non), alors on note 2f/xjxi cette dérivée partielle d'ordre 2 par rapport à xi puis xj.

Lorsque l'on dérive deux fois par la même variable, on note 2f/xixi = 2f/xi2

Une fonction est dite de classe C2 sur un ouvert URn si elle admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à tout couple de variables.

L'ensemble des fonctions de classe C2 sur un ouvert URn est stable par combinaison linéaire, produit et composition avec des fonctions de classe C2.

Théorème de Schwarz
Soit fC2(U, R). Pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n2, on a 2f/xjxi = 2f/xixj.
On exprime l'énoncé dans le cadre d'une fonction de deux variables au point a = (x0 ; y0) et on applique le théorème des accroissements finis à la fonction φ : t f(x0 + t, y0 + t) − f(x0 + t, y0) − f(x0, y0 + t) + f(x0, y0).

Compétences activées