Problèmes de synthèse

Problème : Courbe de Lorenz pour une variable exponentielle

Ecricome 2012

Variable aléatoire

Soit λ ∈ R^∗+.

1. Rappeler la fonction de densité f et la fonction de répartition Fd'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
2. Calculer l’espérance de cette variable.

Analyse de fonction

1. Montrer que la fonction de répartition F est bijective de R⁺ sur [0 ; 1[ et que sa réciproque s'écrit pour tout x ∈ [0 ; 1[, F⁻¹(x) = −1/λ ln(1 − x).
2. Pour tout x ∈ R⁺, calculer Q(x) = λ ∫₀^x t f(t) dt.
3. Montrer que la composée h = Q ∘ F⁻¹ vérifie pour tout x ∈ [0 ; 1[, h(x) = x + (1 − x) × ln(1 − x).
4. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
5. Montrer que la dérivée de h est croissante.
6. Montrer que la fonction h est prolongeable par continuité en 1.
   Le prolongement par continuité est-il dérivable en 1 ?
7. Tracer l'allure de la courbe représentative de h, appelée courbe de Lorenz.
8. Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction h en 0.
9. Calculer le coefficient de Gini de la loi exponentielle, c'est-à-dire 1 − 2 × ∫₀¹ h(t) dt.

Principe de Pareto

La courbe de Lorenz permet de représenter la poids des faibles valeurs par rapport au poids total des valeurs. Selon le principe de Pareto, 20 % des valeurs concentrent 80 % du poids total. Ce n'est pas le cas ici et on essaie d'évaluer le point d'intersection de la courbe de Lorenz avec la droite d'équation y = 1 − x.

1. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
2. Justifier qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection entre la droite et la courbe.
3. Montrer que l'ordonnée de ce point d'intersection satisfait l'équation 1 + y ln(y) = 2y.
4. On pose pour tout t ∈ ]0 ; 1] φ(t) = (1 + t ln(t))/2.
   Montrer que le réel y de la question précédente est un point fixe de φ.
5. Dresser le tableau de variations de φ en précisant ses limites et valeurs extrêmes.
   Expliciter l'intervalle image de φ, que l'on notera I.
6. Montrer que l'intervalle I est stable par f et que pour tout t ∈ I on a |φ′(t)| ≤ 1/2.
7. On définit une suite par récurrence en posant u₀ = 1/2 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = φ(u_n).
   Justifier que la suite u est bien définie à valeurs dans I et que pour tout n ∈ N on a |u_n+1 − y| ≤ 1/2)|u_n − y|.
8. En déduire que pour tout n ∈ N on a |u_n − y| ≤ (1/2)ⁿ⁺¹.
9. Justifier que u converge vers y.
10. Sachant que ln(2) vaut 0,7 à 0,01 près, calculer une valeur approchée de u₁.

Problème : Entropie

Ecricome 2008

On définit pour tout u ∈ R^+∗, h(u) = u ln(u) et pour tout u ∈ R⁻, h(u) = 0.

Étude de fonction

1. Montrer que la fonction h est continue sur R⁺.
2. Justifier que pour tout u > 0 on a h(u) ≥ u − 1 avec égalité si et seulement si u = 1.
3. Représenter la courbe de la fonction h ainsi que sa tangente au point d’abscisse 1.

Entropie d’une variable aléatoire à support fini

Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans X(Ω) = {x₁, … , x_n} avec pour tout i ∈ ⟦1, n⟧, p_i = P(X = x_i), alors l’entropie de X est définie par H(X) = − ∑_i=1ⁿ h(p_i) = − ∑_i=1ⁿ p_i ln(p_i).

On remarquera que cette définition ne dépend que des probabilités et pas des valeurs de la variable aléatoire X.

On remarquera aussi que le mot « entropie » ne commence pas par la lettre « H », mais certains y voient la lettre grecque majuscule êta. Cela n’est pas tellement plus satisfaisant vu que le mot grec « Εντροπία » commence en fait par la lettre epsilon et non pas par êta.

1. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[, rappeler l’ensemble des valeurs X(Ω) et les probabilités associées puis calculer son entropie.
2. Justifier que la fonction φ : t ↦ −t ln(t) + (t − 1) (t + ln(1 − t)) est deux fois dérivable sur ]0 ; 1[ et calculer sa dérivée et sa dérivée seconde. Préciser aussi φ′(1/2) et en déduire le tableau de variations de φ avec ses limites.
3. En déduire que l’entropie d’une variable de Bernoulli est supérieure à sa variance.
4. Si X suit la loi uniforme sur ⟦1, n⟧, calculer son entropie et comparer sa valeur avec celle de sa variance.
5. Montrer, en utilisant l’inégalité obtenue dans la première partie, que pour toute variable aléatoire discrète avec n valeurs, on trouve H(X) ≤ ln(n) avec une inégalité stricte si X n’est pas uniforme.

Entropie d’une variable aléatoire à valeurs entières

Pour toute variable aléatoire discrète X à valeurs dans X(Ω) = N^∗, en notant pour tout k ≥ 1, p_k = P(X = k), on dit que X admet une entropie si la série de terme général h(p_k) converge, et dans ce cas son entropie est définie par H(X) = − ∑_k=1^+∞ h(p_k) = − ∑_k=1^+∞ p_k ln(p_k).

1. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[. Rappeler l’expression des probabilités associées et la valeur de l’espérance E(X), puis montrer que X admet une entropie et calculer sa valeur.
   Préciser aussi les variations et limites de cette entropie lorsque p varie dans ]0, 1[.
2. Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans N^∗, de même espérance que X. Pour tout k ∈ N^∗ on note q_k = P(Y = k). Montrer que la série de terme général q_k ln(p_k) converge avec H(X) = −∑_k=1^+∞ q_k ln(p_k).
3. En déduire que H(Y) ≤ H(X), avec égalité si et seulement si Y suit la même loi que X.

On montre ainsi que parmi les variables aléatoires discrètes à valeurs entières, admettant une entropie et d’espérance fixée, la loi géométrique maximise l’entropie.

Problème : Une pièce en biais

cf Ecricome 2006 problème

On considère deux pièces, l’une équilibrée, l’autre biaisée avec une probabilité p ∈ ]0 ; 1[ d’obtenir « pile », sans qu’on puisse les distinguer visuellement. On lance une première pièce au hasard et à la suite de chaque lancer, on change de pièce si on a obtenu « face » et on garde la même si on a obtenu « pile ». Pour tout n ∈ N^∗, on note A_n le fait de lancer la pièce équilibrée lors du n-ième lancer et B_n le fait d’obtenir « pile » au n-ième lancer, puis on note X_n = [ [ P(A_k ∩ B_k)] [ P(A_k ∩ ‾B_k)] [ P(‾A_k ∩ B_k)] [ P(‾A_k ∩ ‾B_k)] ].

1. Expliciter le vecteur X₁.
2. Déterminer une matrice M ∈ ℳ₄(R) telle que pour tout n ∈ N^∗ on ait X_n+1 = MX_n.
3. Montrer que la matrice M est diagonalisable et déterminer une matrice diagonale D ∈ ℳ₄(R) et une matrice inversible Q ∈ 𝒢ℒ₄(R) telles que M = QDQ⁻¹.
4. En déduire une expression de X_n pour tout n ∈ N^∗.
5. Pour tout n ∈ N^∗, on note Y_n = 1/n) ∑_i=1ⁿ 1_Bk le nombre de fois où l’obtient « pile » sur les n premiers lancers. Montrer que E(Y_n) = 1/n) [ [ 1 ; 0 ; 1 ; 0] ] Q (∑_k=0ⁿ⁻¹ D^k) Q⁻¹ X₁.
6. Montrer que les coefficients de 1/n) ∑_k=0ⁿ⁻¹ D^k convergent lorsque n tend vers +∞ et préciser leur limite.
7. En déduire que (E(Y_n)) converge et préciser sa limite.

Problème : Maximum et minimum de variables exponentielles

Soit λ ∈ R^+∗ et n ∈ N^∗. On considère des variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle X₁, … , X_n ↝ ℰ(λ) puis on note L_n = min(X₁, … , X_n) et M_n = max(X₁, … , X_n).

1. Montrer que L_n est aussi une variable aléatoire exponentielle et préciser son paramètre.
2. Déterminer la fonction de répartition de M_n et montrer que sa fonction de densité s’écrit f : x ↦ nλ e^−λx (1 − e^−λx)ⁿ⁻¹.
3. Déterminer les variations de f et montrer en particulier qu’elle admet un maximum en un réel x_n à préciser.
4. Montrer que M_n admet une espérance et vérifier qu’elle peut s’écrire E(M_n) = 1/λ) ∫₀¹ 1 − uⁿ/1 − u) du. On pourra utiliser le changement de variable u = 1 − e^−λx et une intégration par parties.
   En déduire E(M_n) = 1/λ) ∑_k=1ⁿ 1/k).
5. Montrer que M_n admet un moment d’ordre 2 avec E(M_n²) = 2/λ²) ∑_k=0ⁿ⁻¹ ∫₀¹ u^k ln(1 − u) du.
   En déduire E(M_n²) = 2/λ²) ∑_k=1ⁿ ∑_j=1^k 1/jk) puis V(M_n) = 1/λ²) ∑_k=1ⁿ 1/k²).

Problème : Matrices aléatoires

D’après ENS 2008

On considère dans tout l'exercice quatre variables aléatoires notées (X₁, X₂, X₃, X₄), indépendantes et suivant une même loi de Bernoulli, à valeurs dans {0 ; 1}, de paramètre p ∈ ]0 ; 1[.

On note alors M = [ [ X₁ ; X₂] [ X₃ ; X₄] ] la matrice (aléatoire) obtenue.

1. Préciser le nombre de valeurs possibles pour la matrice M.
2. Déterminer la probabilité pour que  M = [ [ 1 ; 1] [ 0 ; 1] ].
3. Montrer que la matrice M est inversible si et seulement si X₁X₄ = 0 et X₂X₃ = 1 ou si X₁X₄ = 1 et X₂X₃ = 0.
4. En déduire que la probabilité que la matrice M soit inversible s'écrit q = 2p²(1 − p²).
5. Déterminer la valeur de p qui maximise la probabilité précédente.
6. Montrer de même que la probabilité que M soit diagonalisable s’écrit 1 − 2p + 6p² − 8p³ + 4p⁴.
7. Montrer que la probabilité précédente est minimale pour p = 1/2.

Problème : Urne d’Ehrenfest

BCE ESSEC 2017

Initialisation

On définit pour tout entier n ≥ 1 la matrice A_n ∈ ℳ_n+1(R) s’écrivant A_n = [ [ 0 ; 1 ; 0 ; ⋯ ; ⋯ ; 0] [ n ; 0 ; 2 ; ⋱ ;  ; ⋮] [ 0 ; n−1 ; 0 ; ⋱ ; ⋱ ; ⋮] [ ⋮ ; ⋱ ; ⋱ ; ⋱ ; ⋱ ; 0] [ ⋮ ;  ; ⋱ ; ⋱ ; 0 ; n] [ 0 ; ⋯ ; ⋯ ; 0 ; 1 ; 0] ] .

1. Exprimer la matrice A₂ ∈ ℳ₃(R) puis rechercher ses valeurs propres et espaces propres.
   Cette matrice est-elle diagonalisable ?
2. Exprimer les puissances de A₂.
3. Justifier que la transposée de A₂ est diagonalisable et préciser ses valeurs propres et espaces propres.

Fonctions hyperboliques

On définit les fonctions ch et sh pour tout x ∈ R par ch(x) = e^x + e^−x/2) et sh(x) = e^x − e^−x/2).

1. Justifier que ces deux fonctions sont dérivables et que pour tout x ∈ R :
   • exp(x) = ch(x) + sh(x)
   • ch²(x) − sh²(x) = 1
   • ch′(x) = sh(x)
   • sh′(x) = ch(x).

1. Pour tout j ∈ ⟦0 ; n⟧, exprimer la dérivée f_j′ en fonction des vecteurs de la base ℬ.
2. Montrer que l’application D : f ↦ f′ définit un endomorphisme de F et donner sa matrice représentative dans la base ℬ.
3. Soit λ ∈ R. Quelles sont les applications f dérivables sur R vérifiant f′ = λf ? (On pourra calculer dans ce cas la dérivée de x ↦ exp(−λx) f(x).)
4. Montrer que les valeurs propres de D sont les entiers de l’ensemble {±n, ±(n − 2), … , ±(n − 2p)} où p = ⌊n/2⌋ (partie entière de n/2) et qu’un vecteur propre associé à la valeur propre de ε(n − 2k) pour k ∈ ⟦0 ; p⟧ et ε ∈ {−1 ; 1} est l’application e_ε(n−2k).
5. La matrice A_n est-elle diagonalisable ?
6. Montrer que la transposée de la matrice ligne 1/2ⁿ)(1, (1 parmi n), (2 parmi n), … , (n−1 parmi n), 1) est l’unique vecteur propre de A_n pour la valeur propre n et dont la somme des coefficients vaut 1.

Problème : Le questionnaire aveugle

ENS 2010

Un sondeur souhaite évaluer la consommation de drogue dans un campus universitaire. Afin que les étudiants puissent répondre en toute sincérité sans que leur réponse ne leur soit préjudiciable, le sondeur a préparé une série d’enveloppes indiscernables. Certaines enveloppes contiennent l’affirmation « Vous avez déjà consommé de la drogue » tandis que les autres contiennent sa négation « Vous n’avez jamais consommé de drogue ». Chaque étudiant répondant à l’enquête tire donc une enveloppe au hasard, dit au sondeur si la phrase est vraie, puis remet l’enveloppe dans la série sans que le sondeur ne puisse l’identifier.

On notera p la proportion de personnes ayant déjà consommé de la drogue et q la proportion d’enveloppes avec la phrase affirmative. Pour chaque étudiant interrogé, noté i ∈ ⟦1, n⟧, on notera D_i le fait que l’étudiant ait effectivement consommé de la drogue, A_i le fait qu’il ait pris une enveloppe avec la phrase affirmative, et V_i le fait qu’il dise que la phrase est vraie.

Probabilités

1. Soit i ∈ ⟦1, n⟧. Exprimer V_i en fonction de D_i et A_i.
   En déduire une expression de P(V_i) en fonction de p et q.
2. On note X le nombre de sondés qui répondent que la phrase est vraie. Quelle est la loi de X ?
   Préciser son espérance et sa variance.
3. On suppose que p ∈ ]0 ; 1[. Justifier que P(V_i) > 0 puis calculer P_Vi(D_i) en fonction de p et q.
   Cette probabilité conditionnelle peut-elle valoir 0 ou 1 ?
4. Le réel q étant fixé, déterminer l’ensemble des valeurs de la fonction t ↦ q/qt + (1 − q)(1 − t)) lorsque t ∈ ]0 ; 1[.
5. En déduire l’ensemble des valeurs de q ∈ [0 ; 1] pour lesquelles pour tout p ∈ ]0 ; 1[ on a P_Vi(D_i) ≤ 2 P(D_i).
6. Pour quelles valeurs de q ∈ [0 ; 1] a-t-on aussi pour tout p ∈ ]0 ; 1[, P_¯(Vi)(D_i) ≤ 2 P(D_i).

Estimateur

On suppose désormais que q ≠ 1/2. Le sondeur propose d’estimer p à l’aide de Z_n = n(q − 1) + X/n(2q − 1)).

1. Calculer E(Z_n). Montrer que lorsque n tend vers +∞, Z_n converge en probabilité vers une limite à préciser.
2. Calculer la variance de Z_n.
3. Montrer que lorsque n tend vers +∞, le produit √(n)(Z_n − p) converge en loi et préciser la loi limite.
4. Le sondeur souhaite choisir q pour que la variance de Z_n soit aussi petite que possible dans le pire des cas, la vraie valeur de p étant inconnue a priori.
   Déterminer les variations et limites de v : p ↦ V(Z_n) avec p ∈ [0 ; 1] pour déterminer la variance de Z_n dans le pire des cas, c’est-à-dire M(q) = sup {v(p), p ∈ [0 ; 1]}.
5. Pour quelle valeur de q ∈ [0 ; 1] ∖ {1/2} la valeur M(q) est-elle minimale ?
6. Déduire de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev un intervalle de confiance de probabilité de couverture 1 − α pour p de la forme [Z_n − t_α,n,q, Z_n + t_α,n,q] où t_α,n,q est un réel positif à préciser, ne dépendant que de α,n et q.

Problème : Pseudo-solutions

ENS 2019 planche 2 exercice 1

Soit u l’endomorphisme de R³ représenté par la matrice [ [ 1 ; −1 ; 1] [ 0 ; 1 ; −1] [ 1 ; 0 ; 0] ] dans la base canonique. Soit b ∈ R³ représenté par la matrice B = [ [ 1] [ 1] [ 1] ].

1. Montrer que l’application f : R³ → R, x ↦ ∥u(x) − b∥² admet un minimum. Y a-t-il un unique minimiseur ?
2. Montrer que x ∈ R³ minimise f si et seulement si (b − u(x)) ∈ Im(u)^⊥.
3. En déduire que x minimise f si et seulement si ses coordonnées X ∈ ℳ_3,1(R) vérifient A^TAX = A^TB.
4. Calculer l’ensemble des minimiseurs de f, dont les coordonnées sont appelées pseudo-solutions de l’équation AX = B.

Problème : Je voudrais deux piles

On lance un certain nombre de fois une pièce équilibrée et on note à chaque fois si elle retombe sur pile ou face. Les lancers sont supposés indépendants. Pour tout n ∈ N^∗, on définit les évènements suivants :

• A_n : il n’y a pas deux « pile » d’affilée au cours des n premiers lancers, et le n-ième lancer donne « face ».
• B_n : il n’y a pas deux « pile » d’affilée au cours des n premiers lancers, et le n-ième lancer donne « pile ».

1. Calculer la probabilité de A₁, B₁, A₂ et B₂.
2. Pour tout n ∈ N^∗, exprimer la probabilité de A_n+1 et celle de B_n+1 en fonction de celles de A_n et B_n.
3. En posant, M = [ [ 1/2 ; 1/2] [ 1/2 ; 0] ] et pour tout n ∈ N^∗, X_n = [ [ P(A_n)] [ P(B_n)] ], montrer que pour tout n ∈ N^∗, X_n+1 = MX_n.
4. Montrer que la matrice M est diagonalisable et en déduire une expression de Mⁿ et de X_n pour tout n ∈ N^∗.
5. Déterminer un équivalent de la probabilité P(A_n ∪ B_n) lorsque n tend vers +∞.

Problème : Médiane d’une variable poissonnienne

BCE ESSEC 2007

Préliminaires d’analyse

Il s’agit d’abord d’étudier la suite définie pour tout n ∈ N^∗ par u_n = exp(−n)nⁿ/n!).

1. Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1], ln(1 + x) ≤ x − x²/4).
2. Montrer que pour tout n ∈ N^∗, u_n+1/u_n) = exp(n ln(1 + 1/n) − 1)
3. Déduire des deux questions précédentes la nature de la série de terme général ln(u_n) − ln(u_n+1).
4. Conclure sur la limite de la suite (ln(u_n))_n≥1 puis sur la limite de la suite (u_n)_n≥1.

Probabilités

Pour tout n ∈ N, on note P_n la fonction définie pour tout réel λ par P_n(λ) = exp(−λ) ∑_k=0ⁿ λ^k/k!) = exp(−λ) (1 + λ¹/1!) + λ²/2!) + λ³/3!) + ⋯ + λⁿ/n!)).

1. Pour tout n ∈ N^∗, montrer que P_n est de classe 𝒞² sur R et que pour tout réel λ, P_n″(λ) = exp(λ) λⁿ⁻¹/n!) (λ − n) où P_n″ est la dérivée seconde de P_n.
2. Vérifier que pour tout n ∈ N^∗, P_n(n − 1) + P_n′(n − 1) = P_n−1(n − 1)
   où P_n′ est le polynôme dérivé de P_n.
3. Soit Q une fonction de classe 𝒞² sur R.
   1. Montrer que pour tout n ∈ N^∗ on a Q(n) = Q(n − 1) + Q′(n − 1) + ∫_n−1ⁿ (n − t) Q″(t) dt.
   2. En appliquant l’égalité précédente à P_n, démontrer que la suite (P_n(n)) est décroissante.
   3. En appliquant la même égalité à P_n−1, démontrer que la suite (P_n−1(n)) est décroissante.
4. Montrer que pour tout n ∈ N^∗ on a P_n(n) − P_n−1(n) = u_n.
5. En déduire que les suites (P_n(n)) et (P_n−1(n)) sont adjacentes.
6. On considère une variable aléatoire Z suivant une loi de Poisson de paramètre n ∈ N^∗.
   Montrer que P(Z − n/√(n) ≤ 0) = P_n(n).
7. En déduire que (P_n(n)) converge vers 1/2.
8. Montrer que (P_n−1(n)) converge et préciser sa limite.
9. Montrer que pour tout n ∈ N^∗, P_n−1(n) ≤ 1/2 ≤ P_n(n).

Problème : Des lapins dans la comptabilité

Suite de Fibonacci

On pose F₀ = 0, F₁ = 1 et pour tout entier n ≥ 0, F_n+2 = F_n + F_n+1.

1. Calculer les premiers termes de la suite jusque F₂₁.
2. Rappeler la formule de Pascal et montrer par récurrence double que pour tout n ∈ N, F_n+1 = ∑_k=0ⁿ (k parmi n−k).
3. On pose pour tout n ∈ N, X_n = [[F_n][F_n+1]]. Calculer X₀ et X₁.
4. Montrer que pour tout n ∈ N on a X_n+1 = AX_n où A = [[0 ;1][1 ;1]].
5. Montrer que A admet deux valeurs propres distinctes notées λ < φ.
6. Déterminer deux vecteurs propres associés Y_λ et Y_φ.
7. Justifier que (Y_λ, Y_φ) forme une base de R² et calculer les coordonnées de X₀ dans cette base.
8. Montrer que pour tout n ∈ N on a AⁿY_λ = λⁿ·Y_λ et AⁿY_φ = φⁿ·Y_φ.
9. En déduire une expression de F_n pour tout n ∈ N.

Dénombrement

Hector a un doute sur les chiffres de la comptabilité d’une entreprise qu’il doit analyser. Sur les 20 montants relevés à la suite sur une même page, il n’y a jamais trois nombres de suite qui ont la même parité. Il en fait part à son amie Ada, mathématicienne. Celle-ci lui explique qu’une telle disposition peut se représenter avec une barrette de 20 cases en ligne remplie avec uniquement des petits carrés 1 × 1 et des rectangles 2 × 1, comme dans l’exemple ci-dessous.

1. Sur les 20 cases, combien peut-on mettre de rectangles 2 × 1 au minimum ? au maximum ?
2. Si on place k tels rectangles, combien reste-t-il de petits carrés à placer ?
3. Justifier qu’il y a autant de placement des k rectangles que de combinaisons de k nombres dans ⟦1, 20 − k⟧.
4. En déduire que le nombre de dispositions présentées par Ada s’écrit ∑_k=0¹⁰ (k parmi 20 − k) et en expliciter la valeur.
5. Étant donné une disposition de carrés et rectangles, de combien de manières peut-on écrire sur chaque pièce « pair » ou « impair » de façon à ce que deux pièces consécutives n’aient pas la même parité ?
6. De combien de manières peut-on écrire « pair » ou « impair » sur chacune des 20 cases sans cette contrainte du changement de parité ?
7. En déduire la probabilité selon laquelle un choix de parité sur chacune des 20 cases ne donne pas plus de deux cases consécutives avec la même parité.

Problème

Lors d’un pénalty, un joueur de football choisit un côté (avec une probabilité p pour le côté gauche) et effectue un bon tir avec une probabilité de 9/10 s’il vise à gauche, et une probabilité de 7/10 s’il vise à droite. Au même moment, le gardien s’élance d’un côté avec une probabilité q de choisir le côté gauche (indépendamment du choix du joueur) et s’il a choisi le même côté que le joueur, il a 6 chances sur 10 d’arrêter un bon tir.

1. Quelle est la probabilité que le joueur effectue un bon tir ?
2. Quelle est la probabilité que le gardien s’élance du côté que le joueur a choisi ?
3. Montrer que la probabilité que le joueur effectue un bon tir qui ne soit pas arrêté par le gardien (et aboutissant ainsi à un but) s’écrit f(p, q) = 0,42 + 0,48p + 0,28q − 0,64pq.
4. Montrer que la fonction f admet un unique point critique en précisant les valeurs de p et q associées. Calculer la probabilité que le joueur marque un but dans ce cas.

Problème – Ruine avec bénéfices

On vous propose un jeu dans lequel vous pouvez gagner 50 % de votre mise ou perdre 40 % de votre mise, de façon équiprobable.

1. En supposant que vous misez 10 €, calculer l’espérance de votre gain.
2. Plus généralement, en notant X votre mise, expliciter la loi d’une variable aléatoire Y avec deux valeurs, telle que le produit XY décrive le montant dont vous disposez à la fin du jeu.
   Vérifier que l’espérance du produit est bien supérieure à la valeur de X.
3. Calculer l’espérance μ et la variance σ² de ln(Y).
4. On note Y₁, … , Y_n une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi que Y, qui permet de décrire le montant dont vous disposez à la fin du n-ième jeu par X_n = X₀ × Y₁ × ⋯ × Y_n.
   Calculer l’espérance et la variance de Z_n = ln(X_n).
5. En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable Z_n, montrer l’inégalité P(X_n ≥ ε) ≤ nσ²/(ln(ε) − nμ)².
6. En déduire que cette probabilité tend vers 0 lorsque n tend vers +∞, c’est-à-dire que X_n converge en probabilité vers 0.

Problème : Efficacité d’un médicament

ENS 2019 planche 1 exercice 2

Dans le contexte d’une étude clinique, on cherche à prévoir l’efficacité d’un médicament en fonction du profil d’un·e patient·e. L’étude fait intervenir n patient·es et à la k-ème personne est associé un profil qui prend la forme d’un vecteur x_k ∈ R^d. Soit Y_k la variable aléatoire qui vaut 1 si le médicament est efficace pour le k-ème individu, et −1 si ce médicament n’est pas efficace. On suppose que les réactions des différent·es patient·es au médicament sont indépendantes, et qu’il existe un vecteur θ ∈ R^d tel que, pour tout k ∈ {1, … , n}, P(Y_k = 1) = 1/(1 + e^{−〈x_k,θ〉}).

1. Étudier les variations de la fonction σ : x ∈ R ↦ 1/(1 + e^−x) et tracer sa courbe représentative.
2. Pour quel·les patient·es le médicament est-il très efficace ? Très peu efficace ?
3. Soient y₁, … , y_n ∈ {−1, 1}. Montrer que pour tout k ∈ {1, … , n}, P(Y_k = y_k) = 1/(1 + e^{−y_k〈x_k,θ〉}).
4. En déduire P(Y₁ = y₁, … , Y_n = y_n), la probabilité sous le modèle d’obtenir les observations y₁, … , y_n.
5. Montrer que le paramètre θ qui maximise cette probabilité est un point où la fonction f : R^d → Rθ ↦ ∑_k=1ⁿ ln(1 + e^{−y_k〈x_k,θ〉}) atteint son minimum.
6. Pour d = 2, exprimer le vecteur (∂₁f(θ), ∂₂f(θ)) comme combinaison linéaire des vecteurs x₁, … , x_n.

Problème : Entre deux chaises

ENS 2019 planche 4 exercice 1

Soient a, b ∈ ]0, 1[. Une personne peut s’assoir sur deux chaises que l’on appelle « chaise 1 » et « chaise 2 ». Toutes les heures, elle décide ou non de changer de place en appliquant la règle suivante :

• si elle est sur la chaise 1, elle passe sur la chaise 2 avec probabilité a et reste sur la chaise 1 avec probabilité 1 − a ;
• si elle est sur la chaise 2, elle passe sur la chaise 1 avec probabilité b et reste sur la chaise 2 avec probabilité 1 − b.

Pour n ≥ 0, on note X_n la variable aléatoire donnant le numéro de la chaise sur laquelle elle est assise au bout de n heures.

1. Soit n ≥ 1. Pour 1 ≤ i, j ≤ 2, exprimer P(X_n+1 = i | X_n = j).
2. Pour n ≥ 0, on pose p_n = P(X_n = 1). Exprimer p_n+1 en fonction de p_n.
3. Montrer que lim_n→+∞ p_n = a/(a + b).