Devoir surveillé n^o 1 en mathématiques

Suites presque nulles

Structure d'espace vectoriel

Pour tout p ∈ N, on note F_p l'ensemble des suites réelles qui s'annulent à partir du rang p.

1. Démontrer que F_p est un sous-espace vectoriel de l'ensemble E des suites réelles.
2. En utilisant l'application θ de F_p vers R^p définie par θ(u) = (u₀, u₁, … , u_p−1), déterminer la dimension de F_p.
3. L'ensemble F = ⋃_p∈N F_p est-il un sous-espace vectoriel de E ?

Étude de fonction

On définit la fonction f par f(x) = 2x√(1 − x²) pour tout x ∈ [0 ; 1].

1. Déterminer les variations de la fonction f sur [0 ; 1] et montrer en particulier qu'elle atteint son maximum en unique réel β ∈ [0 ; 1]. Calculer β et la valeur du maximum.
2. Justifier que la fonction f induit une bijection de [0 ; β] sur un intervalle que l'on précisera.
3. Exprimer la bijection réciproque, que l'on notera ψ.
4. Soit p ∈ N^∗. On pose u₀ = ψ^p−1(1), c'est-à-dire qu'on applique successivement (p − 1) fois la fonction ψ à partir de 1. Démontrer que la suite définie par récurrence sur n ∈ N par u_n+1 = f(u_n) appartient à l'espace F_p.

Intégrales

Soit a ∈ R^∗+. On pose pour tout n ∈ N, u_n = a²ⁿ⁺¹/n! ∫₋₁¹ (1 − t²)ⁿ e^ta dt.

1. Calculer u₀ et montrer u₁ = (2a − 2)e^a + (2a + 2)e^−a.
2. À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que pour tout n ∈ N on a u_n+2 = −(4n + 6) u_n+1 + 4a²u_n.
3. Justifier que la suite (u_n) est positive et en déduire que pour tout n ∈ N on a u_n ≤ 2a²ⁿ⁺¹/n! e^a.

Puissances de matrices

On note A = [[ 1 1 1 ], [ 1 1 1 ], [ 1 1 1 ] ] et B = [[ 3 1 1 ], [ 1 3 1 ], [ 1 1 3 ] ].

1. Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme représenté par A dans la base canonique de R³, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
2. Montrer la relation Ker f ⊕ Im f = R³.
3. Calculer A² et exprimer le résultat linéairement en fonction de A. En déduire pour tout n ∈ N^∗ une expression de Aⁿ comme multiple de A.
4. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B² et la matrice identité. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
5. Donner une expression de Bⁿ pour tout n ∈ N^∗.

Paradoxe des deux enfants

On suppose que le sexe de chaque enfant est aléatoire, avec équiprobabilité entre garçon et fille, et qu'il est indépendant d'un enfant à l'autre. On considère une famille avec deux enfants d'âges différents.

1. Représenter l'ensemble des possibilités décrivant le sexe des deux enfants par un univers fini avec équiprobabilité.
2. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une fille parmi les deux enfants ? Si on sait qu'il y a au moins une fille, quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ?
3. On considère que tous les jours de la semaine sont équiprobables pour la naissance des enfants et que le sexe est indépendant de la date de naissance. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins une fille née un vendredi parmi les deux enfants ? Si on sait qu'il y a au moins une fille née un vendredi, quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ?

Problème d'urne

Soient a et b deux entiers strictement positifs. On considère une urne contenant initialement a boules noires et b boules blanches indiscernables au toucher. On note aussi N = a + b.

On effectue des tirages successifs dans l'urne et à chaque tirage :

• si la boule est blanche, elle est remise immédiatement dans l'urne ;
• si la boule est noire, on la remplace par une nouvelle boule blanche.

Pour tout n ∈ N^∗, on note T_n la variable aléatoire qui vaut 1 si le n-ième tirage donne une boule noire et qui vaut 0 sinon ; on note aussi X_n le nombre de boules noires remplacées au cours des n premiers tirages.

1. Donner la loi de T₁, puis de T₂.
2. Pour tout n ∈ N^∗, exprimer X_n en fonction des variables aléatoires T₁, T₂, … T_n.
3. Montrer que pour tout n ∈ N^∗, on a P(T_n+1 = 1) = (a − E(X_n))/N.
4. En déduire que pour tout n ∈ N^∗, on a P(T_n = 1) = a(N − 1)ⁿ⁻¹/Nⁿ.