On peut noter φ : A ↦ a0 I + a1 A + ⋯ + a_{n−1} A^{n−1} + A^n
φ(λA+B) = a0 I + a1 (λA+B) + ⋯ + a_{n−1} (λA+B)^{n−1} + (λA+B)^n
λφ(A)+φ(B) = λ(a0 I + a1 A + ⋯ + a_{n−1} A^{n−1} + A^n)+a0 I + a1 B + ⋯ + a_{n−1} B^{n−1} + B^n
φ(0) = a_0 I ≠ 0 sauf si a_0 = 0.
Donc pour avoir φ(0) = 0, il faut au moins avoir a0 = 0.
φ(I) = a0 I + a1 I + ⋯ + a_{n−1} I + I = (a0 + a1 + ⋯ + a_{n−1} + 1) I
φ(λI) = (a0 + λa1 + ⋯ + λ^{n−1} a_{n−1} + λ^n) I
L’égalité φ(λI) = λφ(I) se réécrit
(a0 + λa1 + ⋯ + λ^{n−1} a_{n−1} + λ^n) I = λ(a0 + a1 + ⋯ + a_{n−1} + 1) I
⇔ (a0 + λa1 + ⋯ + λ^{n−1} a_{n−1} + λ^n) = λ(a0 + a1 + ⋯ + a_{n−1} + 1)
pour tout λ ∈ R. Donc le polynôme de degré n à gauche est un polynôme de degré au maximum 1 à droite, ce qui n’est pas possible sauf si n = 1.
Finalement, le seul cas où cette application peut être linéaire correspond à n=1 et a_0 = 0,
c’est-à-dire quand c’est l’application A ↦ A, donc l’identité.
On aurait pu avoir la question : est-ce que l’application φ : A ↦ −3 A + A² + 7 A³ est linéaire ?
Dans R², déterminer la matrice représentative de f : (x, y) ↦ (x−y, x+y) dans la base canonique
e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1)
f(e1) = (1, 1) = 1e1 + 1e2 et f(e2) = (−1, 1) = −1e1 + 1e2.
Dans la base ((1, 0), (1, 1)) (qui n’est pas la base canonique), on calcule
f(e1) = (1, 1) = u = 0.e1 + 1.u
et f(u) = (1−1, 1+1) = (0, 2) = −2.e1 + 2.u
(Pour trouver ces coefficients en général, on résout un système de deux équations à deux inconnues : (0, 2) = ae1 + bu ⇔ (0, 2) = (a, 0) + (b, b) ⇔ {0=a+b ; 2 = b} ⇔ {b=2 ; a=−2}.)
Ces deux matrices sont différentes mais représentent la même application dans des bases différentes, de la même manière que l’on peut représenter le même objet sous des angles différents.
Déterminer la matrice représentative de T : P ↦ P(x+1) dans la base canonique de R_2[x] :
(x↦1, x↦x, x↦x²).
On calcule donc T(x↦1) = (x↦1)(x+1) = 1 (attention, ici il ne s’agit pas du nombre 1 mais de la fonction constante de valeur 1).
T(x↦x) = (x↦x)(x+1) = x+1
T(x↦x²) = (x↦x²)(x+1) = (x+1)² = x²+2x+1
Problème 1 question 3
On peut se demander d’abord quel est le rang de A. Il vaut 3 car rg(A) ≥ rg(A²) = rg(−I)=3
et A ∈ M_3(R) donc rg(A)≤3. Finalement, rg(A)=3.
On note x un vecteur non nul de R³ et v l’endomorphisme de R³ canoniquement associé à A.
Peut-on montrer que (x, v(x)) est une base de R³ ? Non car une base de R³ contient forcément 3 vecteurs.
Peut-on montrer que (x, v(x)) est une famille libre de R³ ? Oui, car toute relation de la forme ax+bv(x)=0 donne par composition avec v : av(x)+bv²(x)=0 donc av(x)−bx=0 donc par combinaison entre cette relation et la première (aL1−bL2), on trouve (a²+b²)x=0 donc a=b=0.
Peut-on montrer (x, v(x), v²(x)) est une base de R³ ? Non, car 1.x + 0.v(x) + 1.v²(x) = x − x = 0.
Par théorème de la base incomplète, il existe y tel que (x, v(x), y) soit une base de R³.
On peut déterminer la matrice représentative de v dans cette base.
v(x) = 0.x+1.v(x)+0.y
v(v(x)) = −x = −1.x + 0.v(x) + 0.y
v(y) = a.x + b.v(x) + c.y
d’où v(v(y)) = a.v(x) − b.x + c.v(y) = a.v(x) − b.x + c(a.x+b.v(x)+c.y)
= (ca−b)x + (a+bc).v(x) + c².y = −y
impossible car cela implique ca−b=0, a+bc=0, c²=−1.
Finalement, il n’existe aucune matrice A ∈ M_3(R) telle que A²=−I.