L’opération de composition définit une opération sur L(E) qui est distributive par rapport à l’addition :
(φ+ψ)∘(f+g) = φ∘f + ψ∘f + φ∘g + ψ∘g
Cette opération n’est pas une multiplication, en particulier elle n’est pas commutative : a priori φ∘ψ ≠ ψ∘φ
mais son associativité et la distributivité par rapport à l’addition fait qu’on va noter souvent cette composition sans symbole (comme la multiplication dans les nombres).
(φ+ψ)(f+g) = φf+ψf+φg+ψg.
Mais il faudra bien distinguer cette opération d’une multiplication.
On va pouvoir aussi définir des puissances par composition
u^3 = u∘u∘u
Pièges à éviter : on n’a pas d’identité remarquable a priori.
(φ+ψ)² = (φ+ψ)∘(φ+ψ) = φ²+ψ²+ψφ+φψ
sauf si les deux endomorphismes commutent. En particulier, si l’un d’entre eux est l’identité.
(id+φ)² = id + 2φ + φ².
(id−φ)² = id − 2φ + φ².
id−φ² = (id−φ)(id+φ).
On sait que deux endomorphismes commutent lorsque l’un des deux est l’identité (ou un multiple de l’identité) ou s’ils sont deux puissances du même endomorphisme : u^3 commute avec u^7.
Plus généralement, deux endomorphismes commutent si ce sont deux polynômes en le même endomorphisme : u^3 − 2u + id commute avec 4u^7 − 5 u^6 + u^3 + 2u.
Pour un exercice où on vous demande si les endomorphismes φ et ψ commutent, la méthode la plus simple en général consiste à vérifier si φψ = ψφ, souvent en utilisant la représentation matricielle.
Exercice : problème 1
Question 1 : on utilise le fait que le rang d’un produit matriciel est inférieur au rang de chaque facteur : rg(AB) ≤ min(rg(A), rg(B))
Donc ici, on en déduit : rg(M) ≥ rg(M²) = rg(−I_2) = 2.
Mais M ∈ M_2(R) donc rg(M) ≤ 2. Finalement, on en déduit rg(M) = 2, donc la matrice M est inversible.
Question 2 : Pour montrer que la famille est libre, on introduit une combinaison linéaire nulle et on montre que dans ce cas, tous les coefficients sont nuls.
Soit (a,b)∈R² tel que ax+bu(x) = 0.
On trouve par composition avec u : u(ax+bu(x)) = u(0) ⇔ au(x)+bu²(x)=0 ⇔ au(x)−bx=0
Donc par combinaison (a fois la 1re et −b fois la 2e), on trouve
a²x+abu(x) − bau(x) + b²x = 0 ⇔ (a²+b²)x = 0 or x ≠ 0 donc a²+b²=0
on trouve a=0 et b=0.
Donc (x, u(x)) est libre avec 2 vecteurs dans R² donc c’est une base.
On aurait pu montrer que la famille est libre en montrant que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires : supposons que x et u(x) sont colinéaires. Alors comme x ≠ 0, il existe λ tel que u(x) = λx. Donc −x = u²(x) = u(u(x)) = u(λx) = λu(x) = λλx = λ²x donc −1 = λ² absurde.
On a u(x) = 0.x + 1.u(x)
et u(u(x)) = −x = −1.x + 0.u(x)
Ces deux lignes précédentes permettent de construire la matrice représentative de u.
Exercice d’application : construire la matrice représentative de la dérivation sur la base canonique des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
La base canonique de R_2[x] s’écrit (1, x, x²).
On calcule les dérivées de chacun des ces polynômes. 1’ = 0, x’ = 1, (x²)’ = 2x
La matrice représentative s’écrit avec les colonnes associées à 0, 1 et 2x décomposées sur la base canonique.
Deuxième exemple : on pose A = (: 1, 2 ; 4, 3) et on s’intéresse à l’application φ : M ↦ AM.
Vérifier que c’est un endomorphisme de M_2(R). Pour cela, on vérifie que l’application est linéaire : Soit (λ, M, N) ∈ R×M_2(R)². On a φ(λM+N) = A(λM+N) = λAM + AN = λφ(M)+φ(N).
Puis on vérifie que pour tout M ∈ M_2(R), φ(M) ∈ M_2(R) vrai.
Déterminer la matrice représentative de cet endomorphisme dans la base canonique :
E_{1,1} = (: 1, 0 ; 0, 0), E_{1,2} = (: 0, 1 ; 0, 0), E_{2,1} = (: 0, 0 ; 1, 0)
et E_{2,2}=(: 0, 0 ; 0, 1).
φ(E_{1,1}) = AE_{1,1} = (: 1, 0 ; 4, 0)
φ(E_{1,2}) = (: 0, 1 ; 0, 4)
φ(E_{2,1}) = (: 2, 0 ; 3, 0)
φ(E_{2,2}) = (: 0, 2 ; 0, 3)
On obtient donc la matrice représentative de φ dans la base canonique de M_2(R).
La matrice de l’identité dans un espace vectoriel muni d’une base (e1, e2, e3) est simplement est la matrice I_3
Dans R², déterminer la matrice représentative de (x, y) ↦ (x−y, x+y) dans la base canonique, et dans la base ((1,0), (1, 1)).
Dans l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, déterminer la matrice représentative de l’endomorphisme P ↦ P(x+1) dans la base canonique.