Pour commencer, nous allons revoir les exercices qui nécessitent encore un peu de travail.
Vous pouvez poser des questions et essayer les exercices 1,(2,3,4),8, puis si ces exercices ne posent pas de problème, voir l’exercice 10.
Vous pouvez ouvrir une nouvelle fenêtre de navigateur à l’adresse https://boilley.ovh/interfaces/tableau-blanc.html
Exercice 2 : on veut montrer que E est un espace vectoriel, donc on montre qu’il est non vide et stable par addition et multiplication scalaire.
Pour cela, on vérifie que la suite nulle est bien dans E. Elle est définie u_n = 0 pour tout n.
Donc la relation u_{n+3} = 2u_{n+2}−5/4 u_{n+1}+1/4 u_n se réécrit 0 = 0 (vrai).
Donc la suite nulle est bien dans E.
Pour l’exercice 4, on démontre d’abord que S contient la suite nulle car la relation de récurrence s’écrit alors 0 = 0.
Soit (λ, u, v) ∈ R×S². On a pour tout n, u_{n+p} = a_{p−1} u_{n+p−1} + ⋯ + a_0 u_n
et v_{n+p} = a_{p−1} v_{n+p−1} + ⋯ + a_0 v_n
donc (λu+v)_{n+p} = λ u_{n+p} + v_{n+p}
= λ(a_{p−1} u_{n+p−1} + ⋯ + a_0 u_n) + a_{p−1} v_{n+p−1} + ⋯ + a_0 v_n
= a_{p−1} (λu_{n+p−1}+v_{n+p−1}) + ⋯ + a_0 (λu_n + v_n)
Donc λu+v ∈ S.
Donc S est bien un sev de l’ensemble des suites réelles.
On montre ensuite qu’une suite de S est bien définie jusqu’au rang n par récurrence,
avec une initialisation du rang 0 au rang p−1,
et une hérédité qui est donnée par la relation de récurrence.
Et il y a unicité car si u et v satisfont la même relation de récurrence et ont les mêmes p premières valeurs, on montre par récurrence qu’elles sont égales. L’initialisation est validée jusqu’au rang p
Si les deux suites ont les mêmes valeurs jusqu’au rang n≥p−1, alors u_{n+1}=a_{p−1}u_n+⋯+a_0.u_{n−p−1}=a_{p−1}v_n+⋯+a_0.v_{n−p−1}=v_{n+1}.
Pour montrer qu’un ensemble est non vide (surtout dans le contexte des espaces vectoriels), on peut chercher si le vecteur nul y appartient.
Pour l’ensemble des suites majorées, le vecteur nul est la suite nulle, donc on doit se demander si la suite nulle est majorée. C’est bien le cas parce que la suite nulle est toujours inférieure à 1.
Pour l’ensemble des suites de signe constant (qui contient par exemple la suite constante de valeur 1), l’ensemble est stable par multiplication scalaire, mais pas par addition.
La suite ((−1)^n) n’est pas de signe constant, et pourtant elle est la somme de la suite de terme général 2+(−1)^n (toujours positive) et la suite de terme général −2 (toujours négative).
Donc l’ensemble des suites de signe constant n’est pas stable par addition et ne constitue donc pas un sev de l’ensemble des suites réelles.
Pour les fonctions puissances, on n’a pas non plus de stabilité, car par exemple la somme des fonctions x ↦ x et x ↦ x² donne la fonction x ↦ x+x² qui n’est pas une fonction puissance.
En effet, toutes les fonctions puissances valent 1 en 1 : si f : x ↦ x^α, alors f(1) = 1^α = 1.
Mais la fonction x ↦ x+x² vaut 2 en 1. Donc ce n’est pas une fonction puissance.
Attention, quand on teste si la somme de deux fonctions puissances est encore une fonction puissance, on écrit : Soit (λ, u, v) ∈ R×E². Il existe (α,β)∈R tel que pour tout x∈R^+*,
u(x) = x^α et v(x) = x^β. On calcule (u+v)(x) = u(x)+v(x) = x^α+x^β.
(en fait, il n’y a pas de simplification ici, donc on peut chercher un contre-exemple comme ci-dessus).
Dans l’exercice 1, les fonctions logarithmes sont les fonctions de la forme x ↦ log_a(x)
mais log_a(x) = ln(x)/ln(a).
Mais la fonction nulle n’est pas une fonction logarithme (il est impossible d’obtenir 0 en divisant par ln(a)).
Pour les suite géométriques, on peut écrire : Soit λ∈R et u,v deux suites géométriques, on a pour tout n∈N, u_n = u_0×r^n et v_n = v_0×q^n donc (λu+v)_n = λu0×r^n+v0×q^n.
On peut chercher un contre-exemple u_n = 2^n et v_n = 3^n.
u_n+v_n = 2^n+3^n, qui vérifie u0+v0 = 2, u1+v1 = 5, u2+v2 = 13.
Mais 5/2 ≠ 13/5 donc la suite (u_n+v_n) n’est pas géométrique.
Exercice 1 : fonctions 2π-périodiques. Une fonction u est 2π-périodique si pour tout x ∈ R, u(x+2π) = u(x).
E est non vide car contient au moins la fonction sinus.
Soit (λ,u,v)∈R×E². u et v sont donc 2π-périodiques c’est-à-dire pour tout x∈R,
u(x+2π)=u(x) et ....
donc (λu+v)(x+2π) = λu(x+2π) + v(x+2π) = ... = ... = (λu+v)(x)
donc λu+v est 2π-périodique.
Finalement E est bien un sev de l’ensemble des suites réelles.
L’ensemble E des fonctions réelles définies sur D vérifiant la relation de l’énoncé contient bien la fonction nulle.
Soit (λ,u,v) ∈ R×E². On a pour tout x ∈ D, u(x/2)+u((x+1)/2) = 2u(x) et v(x/2)+v((x+1)/2)=2v(x)
donc λu(x/2)+λu((x+1)/2) + v(x/2)+v((x+1)/2) = λ2u(x) + 2v(x)
donc (λu+v)(x/2) + (λu+v)((x+1)/2) = 2(λu+v)(x).
Donc λu+v ∈ E.
Finalement, E est bien un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions réelles sur D.