Verbatim exercices du 25 mai 2020

Pour ce matin, on peut faire des exercices sur les espaces vectoriels et voir les quelques éléments qui manquent dans ce cours. Il s’agit essentiellement de redonner des résultats qu’on a déjà vu ensemble sur les espaces de vecteurs colonnes, mais dans des contextes différents.

Tous les sous-espaces vectoriels sont des espaces vectoriels.

Mais il est possible d’obtenir des espaces vectoriels d’autres manières : par exemple par produit cartésien de deux espaces vectoriels déjà connus, ou par ensemble de fonctions d’un ensemble vers un espace vectoriel.

Quand on vous demande de montrer qu’un ensemble constitue un espace vectoriel, il s’agit essentiellement d’utiliser un de ces trois procédés (sous-espace, produit cartésien ou ensemble de fonctions).

Dans l’exercice 1, on vous donne une liste d’ensembles qui peuvent ou non constituer des sous-espaces vectoriels de l’espace des suites réelles ou de celui des fonctions réelles.

On avait vu ensemble que l’ensemble des suites positives n’était pas stable par multiplication scalaire (Eliot avait trouvé un contre-exemple).

L’espace R^2 (c’est-à-dire le plan) contient une infinité de sous-espaces vectoriels : toutes les droites passant par l’origine (et bien sûr le sous-espace nul {0} et l’ensemble R^2 lui-même).

Quand on demande de montrer qu’un ensemble constitue un espace vectoriel, c’est pour pouvoir effectuer des additions, multiplications scalaires et plus généralement des combinaisons linéaires de ses éléments.

Pour cela, on montre la plupart du temps qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu.

Quand on demande de montrer qu’un ensemble constitute un sous-espace vectoriel d’un autre, c’est qu’on va certainement utiliser la relation d’inclusion entre les deux (c’est-à-dire utiliser le fait que les vecteurs de notre ensemble sont aussi des vecteurs de l’espace vectoriel connu).

Pour l’ensemble des suites de signe constant, pensez-vous qu’il s’agisse d’un espace vectoriel, et si non avez-vous un contre-exemple ?

Si on pense qu’il s’agit d’un espace vectoriel, on démontre d’abord qu’il est non vide : il contient par exemple la suite (2^k)_{k∈N}.

Puis on montre qu’il est stable par multiplication scalaire : soit λ ∈ R et (u_n) de signe constant.

Si λ ≥ 0 et (u_n) positive alors (λu_n) positive. Si λ ≥ 0 et (u_n) négative alors (λu_n) négative.

Si λ ≤ 0 et (u_n) positive alors (λu_n) négative. Si λ ≤ 0 et (u_n) négative alors (λu_n) positive.

Soit (u_n) de signe constant et (v_n) de signe constant, est-ce que (u_n + v_n) est de signe constant ?

Si (u_n) et (v_n) positives, alors (u_n+v_n) positive. Si (u_n) et (v_n) négatives alors (u_n+v_n) négative.

Mais si (u_n) et (v_n) sont de signes opposé, on peut avoir un changement de signe de la somme.

Par exemple, si pour tout n, u_n = 2 + (−1)^n > 0 et v_n = −2 < 0, alors u_n+v_n = (−1)^n qui n’est pas de signe constant.

Donc le deuxième ensemble n’est pas un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites.

Dans chaque cas, il faut voir si l’ensemble est non vide, stable par multiplication scalaire, et stable par addition (la combinaison linéaire est une conséquence de ces deux derniers critères).

Il n’est pas forcément évident de trouver un contre-exemple même si on n’arrive pas à démontrer que la propriété est vraie et c’est un problème fondamental en recherche mathématique.

Dans les exemples qu’on vous donne, les contre-exemples ne sont pas très compliqués et pour les trouver on utilise la galerie de suites et de fonctions qui avait été entamée au début du cours sur les suites.

Du moment qu’un ensemble est non vide et stable par multiplication scalaire, on sait qu’il contient un vecteur u et qu’il contient 0.u = 0.

L’ensemble des suites croissantes Louna et Fanny : ce n’est pas un espace vectoriel car la suite (2n) est croissante mais (−1×2n) ne l’est pas.

L’ensemble des suites monotones (Eliot Matéo) n’est pas un espace vectoriel car il n’est pas stable par addition : les suites (2^k) et (−3k+1) sont monotones mais (2^k−3k+1) ne l’est pas.

L’ensemble des suites arithmétiques (Elvira Alice) : on montre qu’il est non vide (contient par exemple la suite (2+3n)) stable par addition et par multiplication scalaire : pour tout λ réel et u,v deux suites arithmétiques, en notant r la raison de u et q la raison de v on trouve :

(λu+v)_n = λu_n + v_n = λ(u_0 + nr) + v_0 + nq = (λu_0 + v_0) + n(λr + q) donc λu+v arithm.

L’ensemble des suites géométriques (Sarah et Gaëlle) n’est pas un espace vectoriel : en effet les suites (3×2^n) et (5×4^n) sont géométriques mais en posant ∀n, w_n = 3×2^n+5×4^n, on trouve w0 = 3+5=8, w1 = 6+20 = 26, w2 = 12+80 = 92 et 26/8 ≠ 92/26.

Donc w n’est pas géométrique.

L’ensemble des fonctions paires et celui des fonctions impaires Lina et Inès et Zohra.

L’ensemble des fonctions paires est non vide (il contient la fonction carré x ↦ x²).

Soit f une fonction paire et λ ∈ R. On a pour tout x réel λf(−x) = λf(x) donc λf est paire.

Soit g une fonction paire. On a pour tout x réel (f+g)(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x)+g(x) = (f+g)(x)

L’ensemble des suites majorées (pour Corentin et Camille) ce n’est pas un espace vectoriel car la suite (−2^k) est majorée mais (−2×(−2^k)) n’est pas majorée.

L’ensemble des fonctions affines pour Chloé et Janna. Pour montrer qu’il est stable par multiplication scalaire et par addition, on écrit : soit λ ∈ R et f : x ↦ ax+b, g : x ↦ cx+d.

Alors λf + g : x ↦ λ(ax+b) + cx+d = (λa+c)x + (λb+d) qui est bien une fonction affine

L’ensemble des fonctions puissances pour Alice

Pour les fonctions paires, il ne faut pas les confondre avec les nombres pairs. Une fonction (par exemple définie sur R) est dite paire si elle vérifie pour tout x réel : f(−x) = f(x).

On peut multiplier une fonction paire par un nombre réel λ qui n’est pas forcément un nombre pair (et d’ailleurs pas forcément un entier).

Dans des ensembles de fonctions, pour vérifier qu’il contient le vecteur nul, il ne faut pas vérifier qu’on a une fonction définie en 0 mais que la fonction nulle est dans l’ensemble.

Attention pour tous : on cherche un exemple pour montrer que l’ensemble est non vide. On cherche un contre-exemple pour montrer que l’ensemble n’est pas un espace vectoriel. Mais on ne peut s’appuyer sur des exemples pour montrer la stabilité par addition ou multiplication scalaire. Il s’agit de propriétés universelles, donc elles doivent se démontrer avec des formules génériques.

L’ensemble des fonctions monômes est l’ensemble des fonctions de la forme x ↦ a x^n (où a est un réel et n est un entier positif). Il ne forme pas un espace vectoriel car il n’est pas stable par addition.

Si f : x ↦ x et g : x ↦ x², f+g : x ↦ x+x². On montre que f+g n’est pas une fonction monôme.

Supposons qu’il existe un réel a et un entier n tel que (f+g)(x) = ax^n pour tout x réel.

Alors pour tout x réel on trouve x+x²=ax^n donc le polynôme x ↦ ax^n − x² − x est la fonction nulle. Mais un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Donc la fonction x ↦ ax^n − x² − x ne peut pas être la fonction nulle car le coefficient a ne peut annuler à la fois le coefficient en degré 1 et en degré 2.

En effet, on distingue 3 cas : si n > 2, alors la fonction x ↦ ax^n − x² − x va tendre vers l’infini en +∞, donc elle ne peut pas être nulle.

Si n = 2, ax^n − x² − x = (a−1)x² − x qui tend aussi à l’infini sauf si a=1, dans ce cas on trouve la fonction x ↦ −x, qui n’est pas la fonction nulle.

Si n < 2, ax^n − x² − x = −x² + ax^n − x qui tend vers −∞ à l’infini, donc ce n’est pas la fonction nulle.

Attention : les fonctions puissance sont les fonctions de la forme x ↦ x^α et les fonctions exponentielles sont de la forme x ↦ a^x.

Passons à l’exercice 5.

Toutes les fonctions polynômes sont des fonctions continues de R vers R.

Soit λ un réel et P, Q deux fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2.

On note P(x) = ax²+bx+c et Q(x)=dx²+ex+f pour tout x ∈ R.

Alors (λP+Q)(x) = λP(x) + Q(x) = λ(ax²+bx+c) + dx²+ex+f = (λa+d)x² + (λb+e)x + λc+f

Donc λP+Q est bien un polynôme de degré inférieur ou égal à 2.

On note pour tout P ∈ E, φ(P) = ∫_0^1 P(t) dt.

Pour tout (λ,P,Q) ∈ R×E², φ(λP+Q) = ∫_0^1 (λP+Q)(t) dt = λ ∫_0^1 P(t) dt + ∫_0^1 Q(t) dt

= λφ(P) + φ(Q)

Attention, quand on travaille dans un espace vectoriel, on peut additionner les vecteurs, ou les multiplier PAR UN SCALAIRE, mais on ne multiplie pas les vecteurs entre eux.

Pour déterminer le noyau de φ, on va résoudre l’équation φ(P) = 0. Avec les notations ci-dessus, cela donne

∫_0^1 (at²+bt+c) dt = [at³/3 + bt²/2 + ct]_0^1 = a/3 + b/2 + c − (0 + 0 + 0).

Donc le noyau de φ est défini par l’équation a/3 + b/2 + c = 0.

Avec trois inconnues et une seule équation, on a deux variables libres et a = −3b/2 − 3c.

Donc P(x) = (−3b/2 − 3c)x² + bx + c = b(−3/2 x² + x) + c(−3x² + 1)

Donc Ker(φ) = Vect(-3/2 x² + x, -3x² + 1)

On retrouve la définition de Vect vue dans le cours sur les vecteurs colonnes :

Vect(u1, u2, … , u_n) = {a1 u1 + a2 u2 + ⋯ + a_n u_n, avec (a1, a2, …, a_n) ∈ R^n}