Je propose pour ceux qui le souhaitent une ou plusieurs séances de découverte du logiciel de statistique libre et gratuit R (peut-être lundi 15 juin après-midi par exemple).
Je propose aussi qu’on essaie de faire des séances de TD en petits groupes.
Du coup ce jeudi 4 juin, TD en petits groupes de 8 à 9 et de 9 à 10. On pourra éventuellement faire un groupe supplémentaire de 10 à 11.
Essayez de préparer des questions sur l’exercice 1, un exercice au choix entre 2, 3 et 4, et les deux dernières applications de l’exercice 8.
Ce matin, nous allons regarder les problèmes de dimension (du noyau et de l’image notamment).
Reprenons un exemple traité la dernière fois avec l’espace E des fonctions de la forme
x ↦ (ax²+bx+c)e^-x
Ces fonctions sont des combinaisons linéaires de trois fonctions « élémentaires » :
u : x ↦ x² e^-x, v : x ↦ x e^-x, w : x ↦ e^-x.
En fait, on a E = Vect(u, v, w), car toute fonction de E est une combinaison linéaire des fonctions u, v et w : si f est définie par f(x) = (ax²+bx+c)e^-x, alors f = au+bv+cw.
Donc ces trois fonctions forment une famille génératrice de E.
Il reste à déterminer si (u, v, w) est une famille libre.
Pour cela, on résout l’équation au+bv+cw=0 ⇔ ∀x∈R, ax²e^-x + bx e^-x + c e^-x = 0
⇔ ∀x∈R, (ax²+bx+c)e^-x = 0 ⇔ ∀x∈R, ax²+bx+c = 0 (car l’exponentielle ne s’annule jamais).
Or un polynôme est toujours nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Donc on a ∀x∈R, ax²+bx+c=0 ⇔ a=b=c=0.
Donc la famille (u, v, w) est libre.
Finalement, elle est libre et génératrice de E donc c’est une base de E, donc dim(E) = 3.
Autre exemple : considérons la matrice A = (: 1, 2 ; 4, 3) ∈ M_2(R).
On note F = {a I_2 + bA + cA², (a,b,c) ∈ R^3}.
Montrer que F est un sev de M_2(R) et montrer qu’il est de dimension finie, puis calculer sa dimension.
On peut commencer par écrire : Soit λ ∈ R et B ∈ F, il existe (a,b,c) ∈ R^3 tel que
B = a I_2 + bA + cA² donc λB = (λa) I_2 + (λb)A + (λc)A² ∈ F.
Soit B ∈ F et C ∈ F. Il existe (a,b,c,d,e,f) ∈ R^6 tel que B = a I_2+bA+cA² et C = d I_2+eA+fA².
Alors (B+C) = (a+d) I_2 + (b+e)A + (c+f)A² ∈ F.
Enfin, la matrice nulle s’écrit 0 I_2 + 0.A + 0.A² ∈ F.
Donc F est bien un sev de M_2(R).
On aurait pu remplacer ces 6 dernières lignes par une seule égalité :
En fait, on a F = Vect(I, A, A²), donc F est un sev de M_2(R).
(Par définition Vect(L, S, T, U) = {αL+βS+γT+δU, (α,β,γ,δ) ∈ R^3}.)
La famille (I, A, A²) étant génératrice, on sait que F est de dimension finie.
On résout donc l’équation aI+bA+cA² = 0.
Pour cela, on calcule A² = (: 9, 8 ; 16, 17).
L’équation matricielle se ramène donc au système :
{a+b+9c=0 ; 2b+8c=0 ; 4b+16c=0 ; a+3b+17c=0}
⇔ {a+b+9c=0 ; 2b+8c=0 ; 2b+8c=0} ⇔ {a+b+9c=0 ; b+4c=0}
On trouve une variable libre, ce qui signifie que la famille n’est pas libre.
Donc dim(F) < 3. Mais la famille (I, A) est libre (car ces deux matrices ne sont pas colinéaires) donc dim(F) ≥ 2.
Finalement, dim(F) = 2 et une base est par exemple (I, A).
(On aurait pu éventuellement choisir comme base (A, I) ou (I, A²) ou encore (A, A²) ou encore d’autres possibilités.)
Propriété : deux espaces vectoriels de dim finie sont isomorphes ssi ils ont la même dimension.
Démonstration : On procède par double implication.
Si E et F sont isomorphes. Alors il existe un isomorphisme φ : E → F et une base (e1, … , e_n) de E, dont l’image (φ(e1), … , φ(e_n)) est une base de F. Donc dim(F) = n = dim(E).
Réciproquement, si dim(F) = dim(E), que l’on note n, alors il existe un isomorphisme
φ : R^n → E et un isomorphisme ψ : R^n → F,
donc la composée ψ∘φ^-1 est un isomorphisme de E vers F.
Propriété : dim(E×F) = dim(E) + dim(F)
(à ne pas confondre avec la formule du cardinal du produit : card(E×F) = card(E)×card(F)).
Démonstration : on considère une base (e1, … , e_n) de E et une base (f1, … f_p) de F.
On montre que B=((e1,0), (e2, 0), … , (e_n, 0), (0, f1), (0, f2), … , (0, f_p)) est une base de E×F.
Cette famille rassemble bien des couples dans E×F.
Pour montrer qu’elle est libre, on prend des coefficients (λ1, … , λ_n, μ1, … , μ_p) ∈ R^{n+p}
tel que λ1.(e1, 0) + λ2.(e2, 0) + ⋯ + λ_n.(e_n, 0) + μ1.(0, f1) + ⋯ + μ_p.(0, f_p) = 0
⇔ (λ1.e1 + ⋯ + λ_n.e_n, μ1.f1 + ⋯ + μ_p.f_p) = 0
⇔ λ1.e1 + ⋯ + λ_n.e_n = 0 et μ1.f1 + ⋯ + μ_p.f_p = 0
mais les familles (e1, … , e_n) et (f1, … , f_p) sont libres donc les égalités précédentes nous assurent que les coefficients sont nuls. Donc la famille B est libre.
Pour montrer que la famille B est génératrice, on écrit : Soit (x,y) ∈ E×F.
Or x∈E donc il peut s’écrire λ1.e1 + ⋯ + λ_n.e_n
et de même, y∈F donc y peut s’écrire μ1.f1 + ⋯ + μ_p.f_p.
D’où (x,y) = (x, 0) + (0, y) = (λ1.e1 + ⋯ + λ_n.e_n, 0) + (0, μ1.f1 + ⋯ + μ_p.f_p)
= λ1.(e1, 0) + λ2.(e2, 0) + ⋯ + λ_n.(e_n, 0) + μ1.(0, f1) + ⋯ + μ_p.(0, f_p)
Donc la famille B est bien génératrice. Finalement c’est une base de E×F donc
dim(E×F) = n+p = dim(E) + dim(F).
Propriété : dim L(E,F) = dim(E)×dim(F)
Démonstration : on note (e1, … , e_n) une base de E et (f1, … ,f_p) une base de F, puis on définit les applications φ_ij : E → F qui vérifie φ_ij (e_k) = 0 si k≠i et φ_ij(e_i) = f_j.
Soit (λ_ij) des coefficients tels que ∑ λ_ij φ_ij = 0.
Alors pour tout k ∈ ⟦1, n⟧, on trouve 0 = ∑ λ_ij φ_ij (e_k) = ∑ λ_kj f_j donc tous les coefficients λ_kj sont nuls. Finalement, tous les coefficients sont nuls donc la famille est libre.
Pour montrer qu’elle est génératrice, on écrit : Soit f ∈ L(E, F). Pour tout k ∈ ⟦1, n⟧, on a f(e_k)∈F donc s’écrit ∑ λ_kj f_j. On montre alors que f = ∑ λ_ij φ_ij.
On montre que les applications φ_ij forment une base de L(E, F).
Une autre manière est d’écrire que L(E, F) est isomorphe à L(R^n, R^p) où n=dim(E) et p=dim(F), et l’isomorphisme canonique entre L(R^n, R^p) et M_{p,n}(R) donne
dim(L(R^n, R^p)) = p×n = dim(E)×dim(F).
Propriété : si F ⊂ E, alors dim(F) ≤ dim(E).
Propriété : si F ⊂ E et dim(F) = dim(E) alors E=F.
(Ça rappelle la propriété si A⊂B et card(A)=card(B) alors A=B).
Attention, la propriété sur les espaces vectoriels ne fonctionne qu’en dimension finie.
Les espaces de dimension infinie ne sont pas formellement au programme de B/L. Mais on peut en rencontrer facilement : R[x], R^N (ensemble de toutes les suites réelles), F(R, R) l’ensemble de toutes les fonctions de R vers R...
Pour le rang, on retrouve les définitions et propriétés vues avec les vecteurs colonnes, pas vraiment de changement.
Endomorphismes
Le renversement d’une fonction f ↦ (x ↦ f(−x)) consiste à faire une symétrie sur la courbe par rapport à l’axe des ordonnées.
Le décalage de la suite définie par u_n = √(n²+1) − n est la suite définie par
v_n = √(n²+2n+2) − n − 1
Exercice type sur les endomorphismes : exercice 9.
On a f∘g = 0 donc Im(g) ⊂ Ker(f).
En effet, pour tout x ∈ Im(g), il existe y ∈ R^n tel que x = g(y) donc f(x) = f(g(y)) = (f∘g)(y) = 0
donc x ∈ Ker(f).
Alors dim(Im(g)) ≤ dim(Ker(f)) donc rg(g) ≤ dim(Ker(f)).
Par théorème du rang, on sait que rg(g) = dim(R^n) − dim(Ker(g))
Donc dim(R^n) − dim(Ker(g)) ≤ dim(Ker(f)) ⇔ n ≤ dim(Ker(f)) + dim(Ker(g)).