E
0
→
u
v
w
→
→
→
w = -2u
x
x = u + vPour ce matin je propose de voir le dernier gros chapitre : espaces vectoriels. Il restera quelques détails à voir, des aspects à approfondir, notamment pour bien préparer la rentrée prochaine, mais nous aurons fait l’essentiel.
Vous pourrez bien sûr poser des questions notamment sur les exercices évoqués hier.
Les espaces vectoriels généralisent la notion d’ensemble de vecteurs colonnes.
E
0
→
u
v
w
→
→
→
w = -2u
x
x = u + vUn espace vectoriel est un ensemble. Les éléments de E peuvent être additionnés entre eux ou multipliés par un nombre (un scalaire).
Attention, l’ensemble des matrices à nombre de colonnes et nombre de lignes fixés forme un espace vectoriel, mais pas l’ensemble des matrices global : on ne peut pas additionner deux matrices qui n’ont pas le même nombre de lignes ou de colonnes.
On a plusieurs exemples typiques d’espaces vectoriels dans le cours.
Le produit cartésien de deux espaces vectoriels nous permet par exemple de voir R×R comme un espace vectoriel, ou bien C×R ou C×C, voire F(R,R)×F(R,R), ou R×R×R.
Un élément de C×C sera un couple (z, z′) de deux nombres complexes.
Rappel : le produit cartésien E×F contient tous les couples (x,y) dans lesquels x∈E et y∈F.
On avait vu par exemple qu’un jeu de 32 cartes pouvait s’interpréter comme le produit cartésien {7,8,9,10,V,D,R,A}×{♥,♦,♠,♣}.
Autre exemple : un lancer de deux dés correspond à un élément de ⟦1, 6⟧×⟦1, 6⟧.
Le sous-espace nul et l’espace vectoriel total sont appelés sous-espaces triviaux.
Attention, les sous-ensembles R et R.i sont bien des sous-espaces vectoriels réels de C, mais il existe une notion d’espaces vectoriel complexe (qui n’est plus au programme de B/L) dans laquelle on pourrait faire des multiplications scalaires par des complexes.
R
RiLes règles de préservation de la continuité par addition et multiplication par un nombre font que C^0(I, R) est bien un sev de F(I, R).
C^∞(I, R) désigne l’ensemble des fonctions infiniment dérivables définies sur l’intervalle I et à valeurs réelles. Il contient les restrictions éventuelles des puissances, polynômes, exponentielles, cosinus, sinus, arctan, ln.
F(I, R)
C^0
fonction partie entière
D^1
valeur absolue
C^1(I, R)
D^2(I, R)
C^∞(I, R)
Exercice d’application : est-ce que l’ensemble des suites convergentes vers 0 forme un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites ?
L’ensemble F des suites convergeant vers 0 contient la suite nulle donc il est non vide.
Soit (λ, u, v) ∈ R×F². Les suites u et v convergent donc λu+v aussi avec
lim_{n→+∞} (λu_n+v_n) = λ lim_{n→+∞} u_n + lim_{n→+∞} v_n = λ×0 + 0 = 0
donc λu+v ∈ F.
Deuxième question : est-ce que l’ensemble des suites convergentes vers 1 forme un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites ?
Non, car cet ensemble ne contient pas la suite nulle.
Même question pour l’ensemble des suites positives ?
Par positif, on entend « positif ou nul ». Donc cet ensemble contient bien la suite nulle.
Si on considère la suite définie par u_n = 3^n ≥ 0 et λ = −2 on trouve que λu n’est pas une suite positive. Donc l’ensemble des suites positives (R^+)^N ne forme pas un sous-espace vectoriel.
E
F
G
F∩G
0
→
u
v
u+vOn va vérifier les exemples d’applications linéaires.
Si z est l’application nulle, Pour tout (λ,u,v)∈R×E², z(λu+v)=0 et λz(u)+z(v)=λ0+0=0.
Si on note d l’application de dérivation, on a pour toute fonction f, d(f)=f’.
Et pour tout (λ,f,g)∈R×(D^1(I,R))², on a d(λf+g)=(λf+g)’ = λf’+g’ = λd(f) + d(g).
Comme pour les applications matricielles, on va pouvoir définir le noyau et l’image.
E
F
φ
Kerφ
Im(φ)
0
0
E
F
0
KerPar exemple, pour l’application nulle z : E → F, le noyau est E et l’image est {0}.
Pour la dérivation des fonctions définies et de classe C^1 sur R^+, le noyau est l’ensemble des fonctions constantes et l’ensemble image est l’espace C^0(R^+, R).
f
f’
0L’intégration de fonctions S de C^0(I, R) vers R a pour noyau l’ensemble des fonctions d’intégrale nulle et l’image est R. En effet, l’image de S est un sous-espace vectoriel de R, donc de dimension finie inférieure à dim(R)=1. Mais une fonction constante non nulle a une intégrale non nulle. Donc dim(Im(S))>0 donc dim(Im(S))=1. Mais Im(S) ⊂ R avec la même dimension donc Im(S) = 1.
a
bQuel est le noyau de l’opérateur lim, défini sur l’ensemble des suites convergentes vers R ?
R^N
suites réelles
R
E
suites cvg
lim
0
0
Ker lim = ensemble des suitesC’est bien l’ensemble des suites convergeant vers 0. Cet ensemble est donc forcément un sous-espace vectoriel, puisque c’est un noyau.