Bonjour à tous. Nous allons pouvoir essayer quelques exercices ce matin. Je vous avais proposé de calculer la variance de la loi de Poisson.
Vous pouvez aussi commencer l’exercice 18 en calculant la probabilité qu’il n’y ait que deux personnes dans la file d’attente, puis la probabilité qu’il y ait trois personnes ou moins.
Dans le calcul de la variance de la loi de Poisson (comme pour la loi géométrique), on calcule à un moment E(X²−X) = ∑ (k²−k) P(X=k) en application du théorème de transfert.
Ce théorème permet de calculer l’espérance d’une variable discrète transformée par une opération φ grâce à la formule E(φ(X)) = ∑ φ(k) P(X=k).
Ici φ est définie par φ(x) = x²−x = x (x−1).
Pour calculer la probabilité qu’il n’y ait que 2 personnes dans la file, en notant X le nombre de personnes on doit donc calculer P(X=2) et on applique la formule de la loi de Poisson.
P(X=2) = 6² / 2! × e^-6 = 18 e^-6.
Pour calculer la probabilité qu’il y ait 3 personnes ou moins, on calcule P(X≤3),
c’est-à-dire P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
On trouve alors P(X≤3) = 61 e^-6
Attaquons maintenant la question de l’exercice. Si vous ne savez pas comment y répondre directement, traitons un cas particulier. Peut-on calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun retard s’il y a deux clients dans la file ? S’il y en a k ?
Pour calculer la probabilité qu’il n’ait aucun retard avec deux clients, on peut noter C1 l’évènement « pas de retard avec le 1er client » et C2 : « pas de retard avec le 2e client ».
En notant A l’évènement « il n’y a aucun retard », la probabilité qu’il n’y ait aucun retard avec deux clients s’écrit donc P_{X=2} (C1 ∩ C2) = P_{X=2}(C1) × P_{X=2}(C2) = (1/2)² par indépendance.
De même, en notant C_k : « il n’y a aucun retard avec le k-ième client » , la probabilité qu’il n’y ait aucun retard avec k clients s’écrit P_{X=k} (A) = P_{X=k}(C1 ∩ ⋯ ∩ C_n) = (1/2)^k par indépendance.
On applique ensuite la formule des probabilités totales :
P(A) = ∑_{k=0}^∞ P(X=k) × P_{X=k}(A) = ...
On reconnait ensuite une série exponentielle et on trouve
P(A) = e^-6 × e^3 = e^-3.
On peut se demander enfin comment calculer la loi du nombre de retards.
Si on note Y le nombre de retards dans la file, l’évènement A correspond à Y=0.
On cherche la loi de Y, et pour cela, comme d’habitude on peut commencer par les premiers cas.
Pour Y=1, on cherche la proba qu’il y ait 1 retard. C’est évidemment impossible s’il n’y a pas de client. P_{X=0} (Y=1) = 0.
S’il y a 1 client, la probabilité qu’il soit en retard vaut 1/2. Elle se note P_{X=1} (Y=1).
S’il y a 2 clients, la proba qu’il y en ait exactement un retard vaut :
P_{X=2} (Y=1) = P_{X=2} ((C1∩C2‾)∪(C1‾ ∩ C2))=P_{X=2}(C1∩C2‾)+P_{X=2}(C1‾∩C2)
=P_{X=2}(C1) × P_{X=2}(C2‾) + P_{X=2}(C1‾) × P_{X=2}(C2) par indépendance
=1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 = 1/2.
Plus généralement, s’il y a k clients, la probabilité qu’il ait exactement 1 retard vaut :
P_{X=k} (Y=1) = ∑_{i=1}^k P_{X=k} (le i-ème client en retard et tous les autres à l’heure)
= k × (1/2)^k.
Donc P(Y=1) = ∑_{k=0}^∞ P(X=k) × P_{X=k} (Y=1) par FPT
donc P(Y=1) = ∑_{k=0}^∞ 6^k / k! × e^-6 × k × (1/2)^k
= e^-6 ∑_{k=1}^∞ 3^k / (k−1)! = e^-6 ∑_{k=0}^∞ 3^{k+1} / k! par réindexation
= e^-6 × 3 × e^3 = 3 e^-3.
Plus généralement, pour calculer la probabilité de Y=n (n∈N), on calcule
P(Y=n) = ∑_{k=n}^∞ P(X=k) P_{X=k} (Y=n) = ∑_{k=n}^∞ 6^k/k! × e-6 × P_{X=k}(Y=n)
(il ne peut pas y avoir moins de clients qu’il n’y a de retards donc k≥n)
Or P_{X=k} (Y=n) = (n parmi k) (1/2)^n (1/2)^{k-n} = (n parmi k) (1/2)^k.
le coefficient (n parmi k) correspond au choix des n retardataires parmi les k clients.
le facteur (1/2)^n correspond à la probabilité que ces n clients soient tous traités en retard
le facteur (1/2)^{k−n} correspond à la probabilité que ces (k-n) autres soient tous traités sans retard
On obtient finalement P(Y=n) = ∑_{k=n}^∞ P(X=k) P_{X=k} (Y=n)
= ∑_{k=n}^∞ 6^k/k! e^-6 (n parmi k) (1/2)^k = e^-6 ∑_{k=n}^∞ 3^k/k! × k!/(n! (k-n)!)
= e^-6 / n! ∑_{k=n}^∞ 3^k / (k-n)! = e^-6 /n! ∑_{k=0}^∞ 3^(k+n) / k! par réindexation
= e^-6 / n! × 3^n × e^3 (on reconnait une série exponentielle)
Finalement, P(Y=n) = e^-3 × 3^n / n! pour tout entier n≥0
donc Y suit une loi de Poisson de paramètre 3.
On retrouve ainsi une propriété générale qui n’est pas explicitement au programme mais qui se démontre assez facilement.
Si on sélectionne indépendamment et avec la même probabilité certains éléments d’un tirage suivant une loi de Poisson, le nombre d’éléments sélectionnés suit aussi une loi de Poisson.
Par exemple, si on compte le nombre de voitures qui passent sous un pont pendant une heure, la variable qu’on obtient suivre une loi de Poisson de paramètre λ, où λ est le nombre moyen de voitures qui passent d’habitude sous ce pont pendant une heure.
Si on se content de compter les voitures blanches, on obtient encore une variable de Poisson de paramètre p×λ, où p est la proportion de voitures de cette couleur.
Il nous restera dans ce cours à voir le paradigme de Poisson, c’est-à-dire la limite d’une suite de variables binomiales vers une variables de Poisson.
Pour la semaine prochaine, essayez de finir le calcul de la variance pour la loi de Poisson, et traiter l’exercice 19 comme on l’a fait avec la loi géométrique.
L’exercice 20 sera vu la semaine prochaine (c’est un exercice de loi conditionnelle) mais vous pouvez déjà le traiter avec la loi du maximum comme on l’a fait avec la loi uniforme.