Devoir surveillé no 3

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève.
Les résultats doivent être encadrés.

Plus court segment tangent

On cherche le plus court segment tangent à la courbe de la fonction f : x ↦ √(1 + x2) et qui relie cette courbe à l’axe des abscisses.

  1. Déterminer le domaine de définition et la parité de f.
  2. Justifier que f est dérivable et calculer sa dérivée.
  3. Déterminer les variations et limites de f.
  4. Justifier que la différence f(x) − x admet une limite finie lorsque x tend vers +∞ et en déduire que f admet une asymptote oblique en +∞.
  5. Représenter l’allure de la courbe et ses asymptotes en choisissant 4 cm comme unité graphique.
  6. Soit a ∈ R. Calculer l’équation de la tangente Ta à la courbe de f au point d’abscisse a et montrer que cette tangente ne coupe l’axe des abscisse que si a ≠ 0.
  7. Pour tout a ∈ R∗+, montrer que le point d’intersection de Ta et de l’axe des abscisses a pour abscisse (−1)/(a).
  8. Représenter la tangente à la courbe au point d’abscisse 2 sur le tracé de la question 5.
  9. Calculer la longueur du segment tangent reliant la courbe au point d’abscisse a à l’axe des abscisse et montrer que minimiser cette longueur revient à minimiser la fonction g : a ↦ 2a2 + 3 + (1)/(a2).
  10. Étudier les variations de la fonction g sur R+∗ et montrer qu’elle admet un minimum que l’on précisera.
  11. En déduire la longueur du plus court segment recherché.

Matrice et transposée

On pose M = [ [ 1 ; −1 ; 5] [ 2 ; −1 ; −4] [ 3 ; 1 ; 1] ] et on note u, v, w ses trois vecteurs colonnes dans R3.

  1. La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice de R3 ? Est-ce une base ?
  2. Déterminer une décomposition du vecteur x = [ [ 1] [ 1] [ 1] ] sur cette famille.
  3. Calculer D = MT × M, où MT est la transposée de M.
  4. Les matrices M et MT commutent-elles ?
  5. Déterminer une matrice D′ = [ [ a ; 0 ; 0] [ 0 ; b ; 0] [ 0 ; 0 ; c] ] telle que D × D′ soit la matrice indentité I3.
  6. Les matrices D et D′ commutent-elles ?

Équation diophantienne

On remarque que 24 = 42 et on se demande s’il existe d’autres couples d’entiers (a, b) tels que ab = ba avec a < b.

  1. Montrer que l’équation précédente se ramène à l’équation ln(a)/a = ln(b)/b.
  2. Étudier la fonction h : x ↦ ln(x)/x et tracer sa courbe représentative avec ses éventuelles asymptotes.
  3. La fonction h est-elle injective ?
  4. Justifier que si (a, b) est un couple d’entiers tels que ab = ba avec a < b, alors a < e < b.
  5. Quels sont les entiers a positifs mais strictement inférieurs à e ?
    Déterminer pour chacun d’eux les solutions à l’équation ln(a)/a = ln(b)/b avec b > e.
  6. En déduire la liste de toutes les solutions de l’équation initiale.

Code d’entrée

Une entrée d’immeuble est contrôlée par la saisie d’un code à 4 chiffres sur un appareil.

  1. Combien y a-t-il de codes possibles ?
  2. En examinant attentivement les touches de l’appareil, on s’aperçoit que 4 touches sont plus usées que les autres. En supposant que les 4 touches doivent être utilisées pour saisir le code, combien cela laisse-t-il de possibilités ?
  3. L’usure étant plus nette sur 3 touches, on suppose qu’en fait les 4 chiffres doivent être composés avec ces 3 touches. Justifier alors qu’une touche doit être utilisée 2 fois, et calculer le nombre de codes possibles.

Forfait déclaré (bonus)

Un forfait téléphonique est présenté avec les conditions suivantes : il coute 15 € par mois, mais chaque mois on est remboursé de la moitié de ce que l’on a payé le mois précédent.

  1. À combien revient le 2e mois ? et le 3e ?
  2. On note un le prix de revient du n-ième mois. Vérifier que l’on a la relation de récurrence un+1 = 15 − un/2 pour tout n > 1.
  3. Déterminer a ∈ R tel que a = 15 − a/2.
  4. On pose vn = un − a pour tout n > 1.
    Montrer que la suite v est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
  5. En déduire l’expression de la suite u et déterminer sa limite.
  6. Déterminer la limite de la moyenne 1/n × ∑k=1n uk lorsque n tend vers +∞.