Devoir surveillé no 2

Inégalité arithmético-géométrique

Soit u et v deux réels strictement positifs tels que u < v. Montrer les inégalités u < √uv < (u + v)/2 < v.

Système d’équations linéaires

  1. Représenter les droites d’équations respectives 5x + 3y = 7 et 3x + y = 3 et déterminer les coordonnées du point d’intersection par la résolution d’un système.
  2. Résoudre le système suivant de paramètre t ∈ R et d’inconnues réelles x et y : {(t + 4)x + 3y = 5 + 2t ;3x − (2t − 3)y = 5 − 2t.

Fonction rationnelle

On considère la fonction f : x ↦ x4 − (x − 1)4/x3 − (x − 1)3, permettant de définir un estimateur sans biais de la valeur maximale d'une loi uniforme discrète à partir du maximum d'un échantillon.

  1. Simplifier l’expression du numérateur et du dénominateur.
  2. Montrer que la fonction f est bien définie et dérivable sur R.
  3. Montrer que la dérivée de f est du même signe que la fonction g : x ↦ 12x4 − 24x3 + 18x2 − 6x + 1.
    Détailler proprement le raisonnement quitte à traiter séparément certains calculs.
  4. Montrer que la fonction g admet une dérivée strictement croissante sur R et qui s’annule en 1/2.
  5. En déduire le signe de la fonction g puis les variations de f.
  6. Montrer que la fonction f ne s’annule qu’en 1/2.

Tour opérateur

Un graphe est une figure dans laquelle des points (appelés sommets) peuvent être reliés par des traits (appelés arêtes), comme dans la figure ci-contre.

On dispose d’un graphe à 5 sommets tous reliés par des arêtes. Ces arêtes peuvent par exemple représenter des voies de chemin de fer reliant cinq villes, mais les trains ne peuvent pas changer de voies lorsque celles-ci se croisent à l’extérieur des villes.

  1. Combien d’arêtes sont présentes dans ce graphe ? (Indiquer leur nombre ne suffit pas, il faut expliciter le raisonnement.)
  2. De combien de manières peut-on organiser une visite des 5 villes successivement sans voir deux fois la même ville ?
  3. De combien de manières peut-on organiser une boucle au départ de la ville A pour voir une seule fois chacune des autres villes et revenir à la ville A à la fin ?
  4. On souhaite maintenant parcourir successivement toutes les voies reliant ces cinq villes, sans repasser deux fois par la même voie. Combien de fois passera-t-on par chaque ville ? Montrer que la première ville est nécessairement aussi la dernière du parcours.

Analyse de fonction

On pose pour tout réel t ≠ 0, h(t) = et − 1/t.

  1. Justifier que la fonction est dérivable et calculer sa dérivée.
  2. Montrer que pour tout réel t on a tet > et − 1.
  3. En déduire les variations de la fonction h.

Comparaison factorielle géométrique

  1. On fixe p ∈ N. Montrer que pour tout entier n > p on a n! ≥ (p + 1)! × (p + 2)n−p−1.
  2. En déduire que pour tout entier k > 0 on a ∑n=p+1p+k 1/n! ≤ 1/(p+1)! (1 − 1/(p+2))