Devoir surveillé n^o 1

Symbole somme

1. Calculer ∑_k=1⁵ (k − 1)/(k + 1).
2. Décrire la somme 1 + 1/√2 + 1/√3 + ⋯ + 1/10 à l’aide d’un symbole somme.
3. Démontrer que pour tout n ∈ N on a ∑_k=2ⁿ 1/(k² − k) = 1 − 1/n.

Résolution d’équations

Résoudre les équations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• 5x = 3x² − 2
• √(3 − 2x) = 3x − 4

Nombres de Pell

Les nombres de Pell forment une suite de nombres entiers dans laquelle chaque nombre est la moitié de la différence entre le nombre qui précède et celui qui suit. Ses premiers termes s’écrivent : 0, 1, 2, 5, 12, 29, …. On peut vérifier que 5 = (12 − 2)/2 et 12 = (29 − 5)/2.

1. Déterminer la valeur du nombre qui suit 29 dans cette suite.
2. Comparer les trois quotients 1/2, 2/5 et 5/12.
3. Vérifier que l’équation x − 2 = 1/x) a une seule solution positive que l’on notera α.
4. Calculer α².
5. Comparer la valeur de α avec celles des quotients de la question 2 puis représenter ces quatre nombres sur axe orienté.

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• 2/(x² − 4) + 3/2 + x) ≥ 1
• √(2x² − 4x + 5) < 3

Démonstrations

1. Démontrer que tout entier naturel a la même parité que son carré.
2. Démontrer que pour tout x ∈ R⁺ on a √(x) ≤ x + 1/2).

Étude de fonction (bonus)

Étudier le domaine de définition, les variations et les limites de la fonction f : x ↦ x² + 5x + 6/2x− 1) en précisant ses points d’annulation, puis représenter la courbe de la fonction avec sa tangente au point d’abscisse 1.