Devoir non surveillé de transition

Approximation de pi

On définit f(x) = (1)/(1 +x2) pour tout réel x. On prendra 8 cm par unité pour les représentations graphiques.

  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant les valeurs de la fonction en −1, 0 et 1, ainsi que les limites à l'infini et les éventuelles asymptotes.
  2. Déterminer des équations pour les tangentes à la courbe de f en 0 et en 1.
  3. Déterminer la position relative de la courbe de f par rapport à ces tangentes.
  4. Montrer que la courbe de f admet un point d'inflexion d'abscisse positive, c'est-à-dire que la dérivée de f change de sens de variation en un réel α > 0 que l'on précisera.
  5. Tracer la courbe représentative de la fonction f avec les tangentes calculées plus haut et le point d'inflexion.
  6. Calculer l'aire 𝒜 du domaine du plan situé sous la courbe de f et au-dessus de l'axe des abscisses, entre l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1. Colorer ce domaine sur la figure.
  7. Démontrer que pour tout xR on a 1 − x2(1)/(1 + x2) ≤ 1 − x2 + x4.
  8. En déduire un encadrement de 𝒜 puis de π.

Pièce truquée

On dispose d’une pièce de monnaie truquée avec deux côtés « face », et d’une pièce de monnaie normale avec un côté « pile » et un côté « face ».

  1. On choisit une de ces deux pièces de façon équiprobable sans l’examiner et on la lance. Quelle est la probabilité que cette pièce affiche le côté « face » ? Si elle affiche effectivement le côté « face », quelle est la probabilité qu’il s’agissait de la pièce truquée ?
  2. Si la pièce affiche « face » au cours de trois lancers successifs, quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la pièce truquée ?
  3. On a malencontreusement rangé la pièce de monnaie truquée dans un sac avec n autres pièces normales, où n ≥ 2. Pour la retrouver, on renverse le sac et on étale les pièces sur une table.
    1. Quelle est la loi du nombre X de pièces côté « pile » visible ?
    2. On supprime toutes les pièces tombées du côté « pile » et on relance les autres.
      Calculer la loi du nombre Y de pièces restantes qui retombent côté « pile ».
      Préciser son espérance et sa variance.

Puissances de matrices

On note A = [[1 ;1 ;1][1 ;1 ;1][1 ;1 ;1]] et B = [[3 ;1 ;1][1 ;3 ;1][1 ;1 ;3]].

  1. Déterminer le noyau et l’image de l’application linéaire représenté par A dans la base canonique de R3, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
  2. Calculer A2 et exprimer le résultat linéairement en fonction de A.
    En déduire pour tout nN une expression de An comme multiple de A.
  3. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B2 et la matrice identité.
  4. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
  5. Donner une expression de Bn pour tout nN.

Intégrale d’une fraction rationnelle

  1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout xR+ on ait a/2x + 1 + b/x + 3 = 1/(2x + 1)(x + 3).
  2. Calculer la valeur de l’intégrale 02 dx/(2x + 1)(x + 3).