On lance un certain nombre de fois une pièce équilibrée et on note à chaque fois si elle retombe sur pile ou face. Les lancers sont supposés indépendants. Pour tout n ∈ N∗, on définit les évènements suivants :
An :
il n’y a pas deux « pile » d’affilée au cours des n premiers lancers, et le n-ième lancer donne « face ».
Bn :
il n’y a pas deux « pile » d’affilée au cours des n premiers lancers, et le n-ième lancer donne « pile ».
Calculer la probabilité des évènements A1, B1,
A2
et B2.
Pour tout n ∈ N∗,
exprimer la probabilité de An+1
et celle de Bn+1
en fonction de celles de An
et Bn.
En posant, M = [[1/2 ;1/2][1/2 ;0]]
et pour tout n ∈ N∗,
Xn
= [[P(An)][P(Bn)]],
montrer que pour tout n ∈ N∗,
Xn+1 = MXn.
Déterminer deux réels a et b
tels que M2 = aM + bI2.
Déterminer les racines λ et μ du trinôme
x2 − ax − b.
Déterminer deux vecteurs colonnes non nuls satisfaisant les équations
MY = λY
et MZ = μZ.
En notant Y
= [[y1][y2]]
et Z
= [[z1][z2]],
vérifier que la matrice P
= [[y1 ;z1][y2 ;z2]] est inversible et calculer son inverse.
Calculer D = P−1MP et exprimer les coefficients de Dn pour tout entier n ≥ 0.
Montrer que pour tout entier n ≥ 1 on a
Xn = PDn−1P−1X1.
En déduire l’expression des probabilités P(An) et P(Bn) pour tout entier n ≥ 0 en précisant leurs limites lorsque n tend vers +∞.