Devoir non surveillé no 1

Valeur absolue

Résoudre l'équation suivante avec une inconnue x réelle : |6x − 5||2 + 3x| = 1.

Racine carrée de 3

L’objectif de cet exercice est de démontrer l’existence et l’unicité de la racine carrée de 3. On n’y utilisera donc pas les propriétés de la racine carrée vues en cours.

On pose A = {aR+ : a2 ≤ 3}.

  1. Justifier que 0 ∈ A.
  2. Pour tout aA, montrer que a ≤ 2.
    En déduire que A admet une borne supérieure.
  3. On pose r = sup(A). Montrer que 1 ≤ r ≤ 2.
  4. Montrer que [0 ; r[ ⊂ A.
  5. Soit nN. Montrer que r1/nA, puis (r1/n)2 ≤ 3, puis r2 − 3 ≤ 4/n.
  6. Justifier que inf({4/n, nN}) = 0. En déduire rA.
  7. Montrer de même que pour tout nN on a (r + 1/n)2 ≥ 3 d’où 3 − r25/n.
  8. En déduire r2 = 3.

Somme de coefficients binomiaux

Pour tout (n, p) ∈ N2 tel que pn, démontrer la formule k=pn (pk) = (p+1n+1).