Résoudre l'équation suivante avec une inconnue x réelle :
|6x − 5| − |2 + 3x| = 1.
Racine carrée de 3
L’objectif de cet exercice est de démontrer l’existence et l’unicité de la racine carrée de 3. On n’y utilisera donc pas les propriétés de la racine carrée vues en cours.
On pose A = {a ∈ R+ : a2 ≤ 3}.
Justifier que 0 ∈ A.
Pour tout a ∈ A, montrer que a ≤ 2. En déduire que A admet une borne supérieure.
On pose r = sup(A). Montrer que 1 ≤ r ≤ 2.
Montrer que [0 ; r[ ⊂ A.
Soit n ∈ N∗. Montrer que
r − 1/n ∈ A, puis
(r − 1/n)2 ≤ 3,
puis r2 − 3 ≤ 4/n.
Justifier que inf({4/n, n ∈ N∗}) = 0.
En déduire r ∈ A.
Montrer de même que pour tout n ∈ N∗
on a (r + 1/n)2 ≥ 3
d’où 3 − r2 ≤ 5/n.
En déduire r2 = 3.
Somme de coefficients binomiaux
Pour tout (n, p) ∈ N2 tel que p ≤ n, démontrer la formule
∑k=pn(p parmi k)
= (p+1 parmi n+1).