Concours blanc no 1

Somme

Calculer la somme des nombres entiers à 2 chiffres qui ne contiennent pas le chiffre 0.

À la racine

Déterminer le domaine de définition, les variations et les limites de la fonction g : x ↦ x1/√x.

Toboggan

A) Cas d’une fonction polynomiale de degré 3

Soit a, b, c, d quatre réels. On définit la fonction q : x ↦ ax3 + bx2 + cx + d.

  1. Calculer les valeurs de la fonction q et de sa dérivée, en 0 et en 1.
  2. Déterminer les valeurs de a, b, c, d pour satisfaire simultanément les conditions q(0) = 1, q(1) = 0, q′(0) = 0 et q′(1) = 0.
  3. Montrer que la dérivée q′ admet dans ce cas un minimum sur l’intervalle [0 ; 1] en un réel α à préciser.
  4. Exprimer l’équation de la tangente à la courbe de q au point d’abscisse α.

B) Minimum de la dérivée

Plus généralement, on modélise un toboggan par une fonction f dérivable sur l’intervalle [0 ; 1] et dont la dérivée est continue, avec les contraintes f(0) = 1 et f(1) = f′(0) = f′(1) = 0.

  1. Justifier que la dérivée f′ admet un minimum sur [0 ; 1].
  2. Montrer qu’il existe c ∈ ]0 ; 1[ tel que f′(c) = −1.
  3. En déduire que min[0 ; 1]f′ ⩽ −1.

C) Borne supérieure du minimum de la dérivée

On définit une famille de toboggans dont le maximum de la dérivée est arbitrairement proche de 1.

  1. À quelle condition sur les réels m et p la droite d’équation y = mx + p passe-t-elle par le point de coordonnées (1/2 ; 1/2) ?
  2. Soit n ∈ N∗ et a ∈ R+∗. À quelles conditions sur a, m, p la fonction définie par f(x) = 1 − ax2 si 0 ⩽ x ⩽ 1/n, f(x) = mx + p si 1/n ⩽ x ⩽ 1 − 1/n, f(x) = a(1 − x)2 si 1 − 1/n ⩽ x ⩽ 1 est-elle continue et dérivable sur [0 ; 1].
  3. Montrer que lorsque n tend vers +∞, le coefficient directeur m tend vers −1.

Exponentielle et logarithme

  1. Montrer que pour tout réel x > −1 on a ln(1 + x) ≤ x.
  2. En déduire que pour tout n ∈ N* et pour tout réel t ≤ n on a (1 − t/n)n ≤ e−t.
  3. Étudier les variations de h : t ↦ t + n ln(1 − t/n) − ln(1 − t2/n) sur [0, √n[ .
  4. Montrer que pour tout t ∈ [0, √n[ on a 0 ≤ e−t − (1 − t/n)n ≤ t2/n e−t.
  5. Montrer que les inégalités précédentes sont encore valables sur t ∈ [√n ; n].

Bataille

Deux joueurs mélangent chacun un paquet de 10 cartes numérotées de 1 à 10, et les posent en pile devant eux face cachée. Ils révèlent successivement et en même temps le numéro de leur première carte. Si les deux numéros sont différents, celui qui a tiré le plus grand gagne. Sinon, les joueurs gardent la carte suivante face cachée, et révèlent le numéro de la troisième, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant ou que les paquets soient épuisés.

  1. De combien de manières chaque paquet peut-il être mélangé avant tirage ?
  2. Dénombrer les tirages possibles au premier coup.
  3. Dénombrer les situations qui font qu’un joueur gagne au deuxième tirage.
  4. À quelle condition les joueurs finissent ex-aequo ? De combien de manières cela peut-il se produire ?

Bonus matrices

On pose M = [[1 ; 2 ; −2] [1 ; 5 ; −4] [1 ; 2 ; −1]] .

  1. Soit a, b, c trois constantes réelles et x ∈ R ∖ {1 ; 3}. Réduire au même dénominateur l’expression ax + b/(x − 1)2 + c/x − 3.
    En déduire les valeurs de a, b, c pour que 1/(x − 1)2 (x − 3) = ax + b/(x − 1)2 + c/x − 3.
  2. On pose A = (aM + bI)(M − 3I) et B = c(M − I)2. Montrer qu’on trouve A = −1/4 [[−4 ; 4 ; −4] [0 ; 6 ; −10] [0 ; 6 ; −10]] et B = 1/4 [[0 ; 4 ; −4] [0 ; 10 ; −10] [0 ; 6 ; −6]] puis calculer le produit de ces deux matrices ainsi que leurs carrés.
  3. Calculer D = A + 3B et N = M − D.
  4. Calculer N2 ainsi que DN et ND. Les matrices D et N commutent-elles ?