Ensembles de nombres

Ensemble des rationnels

Les nombres rationnels sont tous ceux qui peuvent s’écrire comme des fractions d’entiers naturels. Ils sont de fait manipulés dès l’Antiquité égyptienne mais l’école pythagoricienne ne leur donne pas le statut de nombre a priori. Les fractions sont historiquement antérieures aux nombres négatifs, mais l’approche bourbakiste au début du XX^e siècle va placer l’ensemble des nombres rationnels en aval de l’ensemble des entiers relatifs.

La notation Q peut s’entendre comme l’initiale de « quotient » (« Q », Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil 1995).

Calcul avec les fractions

Une fraction est définie par un numérateur et un dénominateur non nul, notés respectivement au-dessus et en dessous d’une barre de fraction (oblique ou horizontale).

On note Q = {p/q ; p ∈ Z, q ∈ N*} avec les règles de calcul suivantes pour tout (a, b, c, d) ∈ Z×N*×Z×N* :

• a/b + c/d = (ad + bc)/bd
• a/b × c/d = ac/bd
• a/b = ad/bd
• les dénominateurs étant positifs, on a les équivalences a/b ≤ c/d ⇔ ad ≤ bc.

L’égalité de deux fractions est donc donnée par l’égalité des produits en croix : a/b = c/d ⇔ ad = bc. Une fraction est donc nulle si et seulement si son numérateur est nul.

La règle sur l’addition peut être simplifiée lorsque les fractions ont même dénominateur :

Ces règles permettent les identifications pour tout a ∈ Z, a = a/1.

Structure de corps

L’ensemble Q admet une structure de corps :

• il forme un groupe abélien pour l’addition ;
• la multiplication est commutative, associative avec un neutre (noté 1 et qui est différent de 0) et distributive par rapport à l’addition ;
• tous les éléments non nuls sont inversibles, c’est-à-dire admettent une fraction inverse avec laquelle la multiplication donne 1.

Cette structure implique notamment que toute équation de la forme ax + b = 0 avec a ∈ Q* et b ∈ Q admettent une seule solution x dans Q.

On obtient aussi une opération partielle de division, notée avec la même barre de fraction et qui vérifie la propriété pour tout (a, b, c, d) ∈ Z×N*×Z*×N* :

La division n’est définie que si l’expression au dénominateur est non nul. Le résultat est appelé quotient.

Cette opération de division n’est pas commutative :

Elle n’est pas non plus associative :

Mais la règle des signes, qui reste valable pour la multiplication des rationnels, est aussi valable pour la division.

Soit (a, b) ∈ (Q*)². Si a et b sont de même signe et si a > b alors 1/a > 1/b.

Nombres décimaux

Les nombres décimaux sont les rationnels qui peuvent s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.

Ils peuvent alors s’écrire avec une virgule séparant la partie entière de la partie fractionnaire.

La notion scientifique consiste à écrire nombre décimal strictement positif comme le produit d’un nombre décimal de partie entière à un seul chiffre (entre 1 et 9) et d’une puissance de 10.

L’ensemble des nombres décimaux est en général noté D.

Pourcentages

Un pourcentage correspond à une fraction de dénominateur 100. Il s’utilise essentiellement dans deux cadres 

• pour exprimer une fraction d’un tout, auquel cas le numérateur est un nombre compris entre 0 et 100 ;
• pour exprimer un taux d’évolution entre deux grandeurs, auquel cas le numérateur peut aussi être négatif ou supérieur à 100.

Ce numérateur n’est pas nécessairement entier. C’est souvent une valeur approchée avec un ou deux chiffres après la virgule.

Étant données deux grandeurs numériques strictement positives V_D et V_A (correspondant respectivement à « valeur de départ » et « valeur d’arrivée »), le taux d’évolution entre V_D et V_A est le quotient t = (V_A − V_D)/V_D.

Ce taux d’évolution est indépendant de l’unité choisie pour mesurer la grandeur. Il est négatif si la valeur d’arrivée est inférieure à la valeur de départ. Dans le cas contraire, il est positif et on le précise avec le signe « + ».

Connaissant la valeur de départ et le taux d’évolution t, la valeur d’arrivée peut se calculer en multipliant la valeur de départ par le coefficient multiplicateur c = 1 + t.

La même relation permet d’obtenir la valeur de départ en divisant la valeur d’arrivée par le coefficient multiplicateur.

Pour un taux d’évolution de +2 %, le coefficient multiplicateur est donc de 1 + 2/100 = 1,02.

Moyenne

La moyenne associée à une série statistique d’une variable numérique (x₁, …, x_n) est le quotient de la somme des termes de la série par le nombre de termes : x = 1/N ∑_i=1^N x_i .

Si les termes de même valeur sont regroupés en classes et qu’on note n_i l’effectif de la classe de valeur x_i alors la moyenne se réécrit : x = 1/∑_in_i × ∑_i n_ix_i .

La moyenne est comprise entre les valeurs minimale et maximale de la série : min_i x_i ≤ x ≤ max_i x_i.

Développement décimal périodique

Les nombres rationnels admettent tous un développement décimal périodique qui peut être obtenu en prolongeant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur au-delà de la virgule. L’ensemble des restes possibles étant fini, il arrive nécessairement un reste qui apparait une deuxième fois dans le processus, rentrant ainsi dans une boucle récurrente.

Réciproquement, tout nombre s’écrivant avec un développement décimal périodique est un rationnel.