Entiers relatifs

Ensemble des entiers relatifs

Les entiers relatifs représentent les différences entre entiers naturels. Ils sont munis d’un signe (positif ou négatif). L’entier 0 est le seul qui soit à la fois positif et négatif.

Les nombres négatifs sont pris en compte dès le II^e siècle avant notre ère dans l’ouvrage chinois Les neuf chapitres sur l’art mathématique. La règle des signes apparait déjà dans l’Arithmetica de Diophante au III^e siècle. Mais la manipulation algébrique des nombres négatifs, notamment vis-à-vis de la multiplication, mettra longtemps à s’imposer, avec des réticences encore perceptibles au XIX^e siècle.

L’ensemble Z = {… ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} est noté ainsi par Bourbaki au XX^e siècle, d’après l’allemand Zahlen, « nombres ».

Structure de groupe

L’ensemble Z forme un groupe pour l’addition car il satisfait les propriétés suivantes :

l’addition forme une loi de composition interne, c’est-à-dire que la somme de deux entiers relatifs est encore un entier relatif ;
l’addition est associative ;
l’addition admet un neutre (ici 0) ;
tout entier relatif admet un symétrique, son opposé, avec lequel l’addition donne le neutre : ∀n ∈ Z, n + (−n) = (−n) + n = 0.

Ce groupe est même dit abélien, car l’addition est commutative.

La structure de groupe implique que pour tout c ∈ Z, l’équation x + c = 0 admet une unique solution dans Z.

L’opération de soustraction est alors définie par ∀(a, b) ∈ Z², a − b = a + (−b). Le résultat d’une soustraction est appelé différence.

Chaque élément étant l’opposé de son opposé, on obtient une première approche de la règle des signes par ∀(a, b) ∈ Z², −(a + b) = −a − b et −(a − b) = −a + b.

Structure d’anneau

Les deux opérations d’addition et de multiplication munissent l’ensemble Z d’une structure d’anneau unitaire, c’est-à-dire qu’elles satisfont les propriétés suivantes :

(Z, +) est un groupe abélien ;
la multiplication est associative ;
la multiplication admet un neutre (l’entier 1) ;
la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Cet anneau est même dit commutatif car la multiplication est commutative.

On montre alors que l’entier 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout a ∈ Z, on a 0 × a = (0 + 0) × a = (0 × a) + (0 × a) donc par soustraction on trouve 0 = 0 × a. On en déduit alors les égalités : a + (−1) × a = 1 × a + (−1) × a = (1 + (−1)) × a = 0 × a = 0, d’où −a = (−1) × a. Plus généralement, on trouve pour tout (a, b) ∈ Z², (−a) × b = a × (−b) = −(ab).

On obtient aussi les égalités suivantes.

Identités remarquables

pour tout (a, b) ∈ Z²,

(a + b)² = a² + b² + 2ab ;
(a − b)² = a² + b² − 2ab ;
(a + b)(a − b) = a² − b².

Relation d’ordre

Il n’y a pas d’entier relatif minimal, mais on retrouve des propriétés analogues à celles qui définissent l’ensemble N :

Toute partie non vide majorée dans Z admet un plus grand élément ; toute partie non vide minorée admet un plus petit élément.

On retrouve les règles énoncées sur N, avec une condition supplémentaire de positivité pour la multiplication.

Pour tout (a, b, c, d) ∈ Z⁴, on a :

si a ≤ b alors a+c ≤ b+c
si a ≤ b et c ≤ d alors a+c ≤ b+d
si a < b et c ≤ d alors a+c < b+d
si a ≤ b et c ≥ 0 alors a×c ≤ b×c
si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d alors a×c ≤ b×d
si 0 ≤ a < b et 0 < c ≤ d alors a×c < b×d.

La dernière règle permet de montrer la règle des signes.

Règle des signes
×	+	−
+	+	−
−	−	+

Règle d’annulation du produit: Le produit de deux entiers est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.
Règle des signes: Le produit de deux nombres de même signe est positif ; le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

Soit (a, b) ∈ Z².

On distingue trois cas (le quatrième cas étant assuré par commutativité du produit) :

si 0 < a et 0 < b alors 0 < ab ;
si 0 < a et b < 0 alors 0 < −b donc 0 < a × (−b) = −ab donc ab < 0 ;
si a < 0 et b < 0 alors 0 < −a et 0 < −b donc 0 < (−a) × (−b) = a × b.

Cette règle implique notamment que tout carré est positif.

Ensembles de nombres

Ensembles de nombres

Ensemble des entiers relatifs

Structure de groupe

Structure d’anneau

Relation d’ordre