Mémo d’algèbre linéaire

Un espace vectoriel est un ensemble non vide E muni d’une addition, d’un vecteur nul 0 et d’une multiplication scalaire satisfaisant les relations suivantes.

Axiomes
commutativité de l’addition : ∀(x,y) ∈ E2, x+y = y+x ;
associativité de l’addition : ∀(x,y,z) ∈ E3, (x+y)+z = x+(y+z)
compatibilité de la multiplication scalaire ∀(λ,μ,x) ∈ R×R×E, (λ×µ)·x = λ·(μ·x) ; ∀x ∈ E, 1·x = x ;
existence des opposés : ∀x∈E, x + (−1)·x = 0 ;
distributivité : ∀(λ,μ,x,y) ∈ R2×E2, (λ+μ)·(x+y) = λ·x+λ·y+μ·x+μ ·y
Équation produit nul
λ·x = 0 ⇔ λ = 0 ou x = 0

Familles de vecteurs

Soit (u1, … , un) une famille de vecteurs d’un espace vectoriel F.

Famille libre
(u1, … , un) libre ⇔ ∀ (λ1, … , λn) ∈ Rn, ∑k=1n λk uk = 0 ⇒ λ1 = … = λn = 0
Famille liée
(u1, … , un) liée ⇔ (u1, … , un) non libre ⇔ ∃(λ1,…,λn)∈Rn∖{(0,…,0)}: ∑k=1nλkuk=0
Colinéarité
∀ (u, v) ∈ (F ∖ {0})2, u colinéaire à v ⇔ ∃ λ ∈ R∗ : u = λ·v ⇔ (u, v) liée
Famille génératrice
(u1, … , un) génératrice de F ⇔ Vect(u1, … , un) = F ⇔ ∀x∈F, ∃(λ1,…,λn)∈Rn: x=∑k=1nλkuk
Base
(u1, … , un) base de F ⇔ (u1, … , un) libre et génératrice de F ⇔ ∀x∈F, ∃!(λ1,…,λn)∈Rn: x=∑k=1nλkuk
Théorème de la base incomplète
∀(f1, … , fp) libre dans F, ∀(g1, … , gq) génératrice de F, ∃(i1, … , ir) ∈ ⟦1,q⟧: (f1, … , fp, gi1, … , gir) base de F

Sous-espace vectoriel

Sous-espace vectoriel (s.e.v)
F s.e.v. de E ⇔ ∅≠F⊂E et ∀(λ,x,y) ∈ R×F2,λx+y∈F
Classification des s.e.v. de R2
F s.e.v. de R2 ⇔ F = {0} ou F = R2 ou ∃ e ∈ F∖{0} : F = Vect(e)
Sous-espace vectoriel engendré
Vect(x1,…,xn) = {∑i=1nλi·xi, (λ1,…,λn)∈Rn}
Intersection
∀(Fi) s.e.v. de E, ⋂iFi s.e.v. de E
Somme de sous-espaces vectoriels
Soit F, G deux s.e.v. de E. F+G = {x+y, (x,y)∈F×G} s.e.v. de E.
Somme directe de 2 s.e.v.
F et G en somme directe ⇔ F ∩ G = {0}
Supplémentaires
F⊕G=E ⇔ F+G=E et F∩G={0} ⇔ ∀ z ∈ E, ∃! (x,y) ∈ F×G : z=x+y ⇔ la réunion d’une base de F et une de G forme une base de E ⇔ F et G supplémentaires dans E
Existence des supplémentaires
Tout s.e.v. d’un espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire
Hyperplan
F hyperplan de E ⇔ ∃ e ∈ E ∖ {0} : F ⊕ Vect(e) = E
Somme directe de plusieurs sous-espaces
∀(Fi) s.e.v. de E, (Fi) en somme directe ⇔ ∀(x1, … , xn) ∈ F1 × ⋯ × Fn, (∑i=1n xi = 0 ⇒ ∀i, xi = 0)

Applications linéaires

Soient E et F deux espaces vectoriels.

Caractérisation linéarité
Soit φ : E → F.
φ ∈ L(E,F) ⇔ ∀ (λ, u, v) ∈ R × E2, φ(λu + v) = λφ(u) + φ(v)
Composée
∀φ∈L(E,F), ∀ψ∈L(F,G), ψ∘φ∈L(E,G)
Noyau et image
Soit φ ∈ L(E,F). Im(φ) = {φ(x), x∈E} ; Ker(φ) = {x ∈ E : φ(x) = 0}
Image et préimage d’un s.e.v.
∀ G s.e.v. de E, φ(G) s.e.v. de F ; ∀ H s.e.v. de F, φ−1(H) s.e.v. de E.
En particulier, Im(φ) s.e.v. de F
et Ker(φ) s.e.v. de E.
Caractérisation de l’injectivité
φ injective ⇔ Ker(φ) = {0}
Caractérisation isomorphisme
φ isomorphisme ⇔ φ injective et surjective ⇔ Ker(φ) = {0} et Im(φ) = F
Image d’une base
∀ φ ∈ L(E,F), ∀(e1, … , en) base de E, φ injective ⇔ (φ(e1), … , φ(en)) libre ;
φ surjective ⇔ (φ(e1),…,φ(en)) génératrice de F ;
φ isomorphisme ⇔ (φ(e1), … , φ(en)) base de F
Familles isomorphes
∀φ∈L(E,F) isomorphisme, ∀(x1,…,xn)∈En, (x1,…,xn) libre/génératrice/base de E ⇔ (φ(x1),…,φ(xn)) libre/gén./base de F
Composée isomorphismes
∀ φ ∈ L(E, F), ∀ ψ ∈ L(F, G), φ et ψ isomorphismes ⇒ ψ∘φ isomorphisme
Réciproque isomorphisme
φ isomorphisme ⇒ φ−1 isomorphisme
Projection
Soit F et G deux s.e.v. supplémentaires dans E. Soit p ∈ L(E).
p projection sur F parallèlement à G ⇔ ∀x∈F, p(x)=x et ∀x∈G, p(x)=0
Dans ce cas, F = Im(p) = Ker(p−id) et G = Ker(p).
Symétrie
Soit s ∈ L(E).
s symétrie par rapport à F le long de G ⇔ ∀x∈F, p(x)=x et ∀x∈G, p(x)=−x
Dans ce cas, F = Ker(p − id) et G = Ker(p + id).
Caractérisation des projections
∀ p ∈ L(E), p projection ⇔ p2 = p
Caractérisation des symétries
∀ s ∈ L(E), s symétrie ⇔ s2 = idE

Dimension et rang

Soient E et F deux espaces vectoriels.

Dimension
dim(E) = n ⇔ ∃ φ ∈ L(E,Rn) bijective ⇔ toute base de E contient n vecteurs
⇔ toute famille libre dans E contient au plus n vecteurs et toute famille génératrice de E contient au moins n vecteurs
Dimensions de référence
dim(Rn) = n ; dim({0}) = 0 ; dim(C) = 2 ; dim(ℳn,p(R)) = n×p ; dim(ℳn(R)) = n2 ; dim(Rn[x]) = n + 1
Espaces isomorphes
E et F isomorphes ⇔ dim(E) = dim(F) ⇔ ∃φ ∈ L(E, F) isomorphisme
Dimensions du produit
dim(E × F) = dim(E) + dim(F)
Espace des applications linéaires
dim(L(E, F)) = dim(E) × dim(F)
Dimension s.e.v.
F s.e.v. de E ⇒ dim(F) ≤ dim(E) ;
F s.e.v. de E et dim(F) = dim(E) < +∞ ⇒ F = E
Formule de Grassmann
Soient F et G deux s.e.v de dimension finie.
dim(F+G) = dim(F)+dim(G)−dim(F∩G)
Rang
∀ φ ∈ L(E, F), rg(φ) = dim(Im(φ))
Théorème du rang
∀φ∈L(E,F), dim(Ker(φ))+rg(φ) = dim(E)
Caractérisation isomorphisme
Si dim(E) = dim(F), ∀ φ ∈ L(E, F), φ injective ⇔ φ surjective ⇔ φ isomorphisme
Rang d’une composée
∀ φ ∈ L(E, F), ∀ ψ ∈ L(F, G), rg(ψ ∘ φ) ≤ max(rg(ψ), rg(φ)) ; φ surjective ⇒ rg(ψ ∘ φ) = rg(ψ) ; ψ injective ⇒ rg(ψ ∘ φ) = rg(φ)

Vecteurs de composantes réelles

Soit n ∈ N∗. On note x = (x1, … , xn).

Opérations
∀(x,y) ∈ (Rn)2, x+y = (x1+y1,…, xn+yn) ∀(λ,x) ∈ R×Rn, λ·x = (λx1, … , λxn)
Familles de vecteurs
Soit ℱ = (x1, … , xp) ∈ (Rn)p. ℱ libre ⇒ n ≥ p ; ℱ génératrice ⇒ n ≤ p.
Si n = p, ℱ libre ⇔ ℱ génératrice ⇔ ℱ base

Matrices

Produit matriciel
∀A=(ai,j)∈ℳn,p(R), ∀B=(bi,j)∈ℳp,q(R), A×B = (∑k=1p ai,kbk,j) ∈ ℳn,q(R)
Matrice transposée
∀A=(ai,j)∈ℳn,p(R), AT=(aj,i)∈ℳp,n(R)
Transposée du produit
∀ A ∈ ℳn,p(R), ∀ B ∈ ℳp,q(R), (A × B)T = BT × AT
Rang
∀A = [[C1 ;⋯ ;Cp]] ∈ ℳn,p(R),
rg(A) = rg(AT) = rg(X ↦ AX) = dim(Vect(C1, … , Cp))
Critères d’inversibilité
∀A ∈ ℳn(R), A inversible ⇔ AT inversible ⇔ A∈𝒢ℒn(R) ⇔ ∀y,∃!x:Ax=y⇔ rg(A)=n ⇔ les colonnes de A forment une base de Rn ⇔ la seule solution de AX = 0 est X = 0
Expression de la trace
∀ A = (ai,j) ∈ ℳn(R), Tr(A) = ∑k=1n ai,i
Trace du produit
∀ (A, B) ∈ ℳn(R)2, Tr(A×B) = Tr(B×A)
Résolution matricielle
Soit A ∈ 𝒢ℒn(R). Soit X, Y ∈ ℳn,1(R). AX = Y ⇔ X = A−1 Y
Inverse du produit et de la transposée
∀ (A, B) ∈ ℳn(R)2 inversibles, (A × B)−1 = B−1 × A−1 et (AT)−1 = (A−1)T
Déterminant d’une matrice 2 × 2
∀ (a, b, c, d) ∈ R4, det [[a ;b][c ;d]] = ad − bc
Inverse d’une matrice 2 × 2
∀ (a, b, c, d) ∈ R4, si ad − bc ≠ 0 alors [[a ;b][c ;d]]−1 = (1)/(ad − bc) [[d ;−b][−c ;a]]
Représentation matricielle
∀φ∈L(E, F), ∀ℬ=(e1, … , em) base de E, ∀ℬ′=(e′1, … , e′n) base de F, φ représentée par A = (ai,j) entre ℬ et ℬ′ ⇔ Mℬ,ℬ′(φ) = A ⇔ ∀j∈⟦1, m⟧, φ(ej) = ∑i=1n ai,j e′i
Produit de matrices représentatives
∀ φ ∈ L(E, F), ∀ ψ ∈ L(F, G), ∀ℬ,ℬ′,ℬ″ bases respectives de E, F, G, Mℬ′,ℬ″(ψ) × Mℬ,ℬ′(φ) = Mℬ,ℬ″(ψ∘φ)
Matrice de passage
∀ℬ, ℬ′ bases de E, Pℬ′ℬ = Mℬ′,ℬ(id) inversible d’inverse Pℬℬ′
Changement de base
x de coordonnées X′ dans la base ℬ′ ⇔ x de coordonnées X=Pℬ′ℬX′ dans ℬ
Matrices équivalentes
∀(A,B)∈ℳn,p(R)2, A équivalente à B ⇔ ∃P,Q inversibles : B=Q−1AP ⇔ rg(A) = rg(B)
Matrices semblables
∀(A,B)∈ℳn(R)2, A semblable à B ⇔ ∃P∈𝒢ℒn(R) : B = P−1AP
⇔ A et B représentent le même endomorphisme dans des bases différentes
Classes de matrices carrées
[[* ;⋯ ;∗][ ;⋱ ;⋮][(0) ; ;∗]]
Triangulaires sup.
[[∗ ; ;(0)][⋮ ;⋱ ;][∗ ;⋯ ;∗]]
Triangulaires inf.
[[* ; ;(0)][ ;⋱ ;][(0) ; ;∗]]
Diagonales
[[λ ; ;(0)][ ;⋱ ;][(0) ; ;λ]]
Scalaires

Analyse spectrale et diagonalisation

Valeur propre et vecteur propre
∀ φ ∈ L(E), ∀ x ∈ E ∖ {0}, ∀ λ ∈ R, x vecteur propre de φ pour la valeur propre λ ⇔ φ(x) = λ·x
∀A∈ℳn(R), ∀X∈ℳn,1(R)∖{0}, ∀λ∈R, X vecteur propre de A pour la valeur propre λ ⇔ AX = λ·X
Indépendance linéaire de vecteurs propres
∀φ ∈ L(E), ∀(x1, … , xn) ∈ (E ∖ {0})n, ∀(λ1, … , λn) ∈ Rn, (∀i, φ(xi) = λi·xi et ∀i≠j, λi≠λj) ⇒ (x1, … , xn) libre
Spectre
∀ φ ∈ L(E), ∀ λ ∈ R, λ ∈ Sp(φ) ⇔ λ valeur propre pour φ ⇔ (φ − λ·id) non injective
∀ A ∈ ℳn(R), ∀ λ ∈ R, λ ∈ Sp(A) ⇔ λ valeur propre pour A ⇔ (A − λ·In) non inversible
Critère d’inversibilité
∀ A ∈ ℳn(R), A inversible ⇔ 0 ∉ Sp(A)
Spectre d’une triangulaire
∀ A = (ai,j) ∈ ℳn(R) triangulaire, Sp(A) = {ai,i, i ∈ ⟦1, n⟧}
Polynôme annulateur
∀ P ∈ R[x], ∀ φ ∈ L(E), P(φ) = 0 ⇒ ∀λ ∈ Sp(φ), P(λ)=0
Espace propre
∀ φ ∈ L(E), ∀ λ ∈ Sp(φ), Eλ(φ) = Ker(φ − λ·id)
∀ A ∈ ℳn(R), ∀ λ ∈ Sp(A), Eλ(A) = Ker(A − λ·In)
Spectre de la transposée
∀ A ∈ ℳn(R), Sp(A) = Sp(AT) et ∀λ ∈ Sp(A), dim(Eλ(A)) = dim(Eλ(AT))
Diagonalisabilité
∀ φ ∈ L(E), ∀ ℬ base de E, φ diagonalisable ⇔ φ représentée par une matrice diagonale ⇔ Mℬ(φ) semblable à une matrice diagonale ⇔ ∃(x1,…,xn) base de vecteurs propres de φ ⇔ E = ⨁λ∈Sp(φ) Eλ(φ) ⇔ dim(E) = ∑λ∈Sp(φ) dim(Eλ(φ))
Condition suffisante de diagonalisabilité
∀ φ ∈ L(E), Card(Sp(φ)) = dim(E) ⇒ φ diagonalisable