Planches d'oral

Exercice

1. Montrer que pour tout réel x > 0, on a ln(x) ≤ x − 1.
2. Soient (p₁, … , p) et (q₁, … , q) deux familles de réels strictement positifs tels que ∑_i=1ⁿ p_i = ∑_i=1ⁿ q_i = 1. Montrer que ∑_i=1ⁿ p_i ln(q_i) ≤ ∑_i=1ⁿ p_i ln(p_i).

Exercice

On définit les matrices suivantes : A = [[1 ;1 ;1 ;]][0 ;1 ;1 ;]][0 ;0 ;1 ;]] et J = [[0 ;1 ;1 ;]][0 ;0 ;1 ;]][0 ;0 ;0 ;]]

1. Calculer A² et A³.
2. Calculer J², J³ puis déterminer Jⁿ pour tout n ≥ 2.
3. À l'aide d'une récurrence sur n ∈ N, démontrer Aⁿ = [[1 ;n ;n(n+1)/2 ;]][0 ;1 ;n ;]][0 ;0 ;1 ;]].
4. Redémontrer l'égalité précédente à l'aide de la formule du binôme de Newton.

Exercice

1. Étudier le domaine de définition, les variations et les limites de la fonction f : x ↦ ln(e^x − x).
2. On pose x₀ = 1 et pour tout n ∈ N, x_n+1 = f(x_n). Montrer que la suite (x_n)_n∈N est strictement positive et qu’elle converge en précisant sa limite.

Exercice

1. De combien de manières peut-on placer deux pions sur des cases distinctes d’un échiquier (un tableau de 8 lignes et 8 colonnes) ?
2. En supposant que tous les placements sont équiprobables, quelle est la probabilité que les deux pions se retrouvent sur la même ligne ou la même colonne ?
3. On place aléatoirement et de façon uniforme un troisième pion sur une case vide de l’échiquier. En supposant que les deux premiers pions sont sur la même ligne ou la même colonne, quelle est la probabilité que le troisième soit aligné avec les deux précédents ? qu’il soit sur la même ligne ou la même colonne qu’un seul des deux précédents ?
   En supposant que les deux premiers pions ne sont pas sur la même ligne ou la même colonne, quelle est la probabilité que le troisième soit sur une ligne et une colonne différente ?
4. On gagne 3 points si les trois pions sont alignés sur une ligne ou une colonne, 2 points si un pion est sur la même ligne qu’un autre et sur la même colonne que le troisième, 1 point si seulement deux pions sont sur la même ligne ou la même colonne. Déterminer la loi du nombre de points obtenus et calculer son espérance.

Exercice

1. Montrer que pour tout entier p ≥ 2, ∫_p^p+1dx/x) ≤ 1/p) ≤ ∫_p−1^pdx/x).
2. En déduire un encadrement de S_n = ∑_k=1ⁿ 1/n + k) pour tout entier n ≥ 1.
3. Montrer que la suite (S_n) converge en précisant sa limite.
4. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 on a S_n = ∑_k=1²ⁿ (−1)^k/k) et en déduire que la suite (∑_k=1ⁿ (−1)^k/k)) converge aussi vers la même limite.

Exercice

Soit p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p et pour tout x réel, φ(x) = ln(pe^qx + qe^−px).

1. Justifier que φ est dérivable sur R et calculer φ(0) ainsi que φ′(0).
2. Montrer que la dérivée seconde de φ peut s’écrire pour tout x réel φ″(x) = A(x) B(x) / (A(x) + B(x))².
3. Montrer que la dérivée seconde de φ(x) est majorée par 1/4 sur R.
4. En déduire que φ(x) ≤ x²/8 pour tout x réel.

Exercice

Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On procède à l'expérience suivante : on tire une boule et si elle est blanche, on la remet dans l'urne avec une boule blanche supplémentaire et on recommence ; sinon on note X le nombre de tirages effectués.
Pour tout n ∈ N^∗, on note A_n l'évènement « on tire n boules blanches d'affilée depuis le début de l'expérience ». Calculer P_An(A_n+1) puis P(A_n) et P(X = n) pour tout n ∈ N^∗ Démontrer que lim_n→+∞ P(A_n) = 0 puis que X est une variable aléatoire réelle discrète.

Exercice

On considère une suite définie par u₀ = 3 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = 2u_n/(u_n + 1).

1. Montrer que la suite u est bien définie et strictement positive.
2. Montrer que la suite inverse v = 1/u est arithmético-géométrique.
3. Déterminer un réel α tel que la suite (v_n − α) est géométrique.
4. Calculer alors les expressions des suites v puis u.

Exercice

Une proportion p d’une population est infectée par un virus. On dispose d’un test de contamination possédant les caractéristiques suivantes :

• Si un individu est infecté, le test est positif avec une probabilité 0,99.
• Si un individu est sain, le test positif avec une probabilité 0,03.

1. On contrôle un individu choisi au hasard dans la population. Calculer la probabilité que le test soit positif, puis la probabilité que l’individu soit infecté sachant que le test est positif. On notera f(p) cette probabilité conditionnelle.
2. Étudier les variations et tracer la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].
3. Le test est considéré comme pertinent si f(p) ≥ 0,95.
   1. Le test est-il pertinent si p = 0,1 ?
   2. Pour quelles valeurs de p le test est-il pertinent ?

Exercice

Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a ∑_k=1ⁿ k/2^k) = 2 − n + 2/2ⁿ).
En déduire la nature de la série ∑_k=1^+∞ k/2^k).

Exercice

1. Rappeler combien vaut la somme des racines cinquièmes de l'unité dans C.
2. En déduire la relation 2 cos(4π/5) + 2 cos(2π/5) + 1 = 0.
3. Montrer que pour tout θ ∈ R on a cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1.
4. En déduire que cos(2π/5) est solution de l’équation 4x² + 2x − 1 = 0.
5. Calculer toutes les solutions de l’équation ci-dessus et en déduire la valeur de cos(2π/5) et de sin(2π/5).

Exercice

On étend une par une toutes les chaussettes de la machine à laver, qui en contient initialement 28 paires toutes distinctes. À la moitié du travail, on compte le nombre de paires complétées.

1. Quelle est la probabilité de n'avoir obtenu aucune paire ? de n'avoir aucune chaussette seule ?
2. Exprimer en fonction de k ∈ ⟦0 ; 28⟧ la probabilité d'avoir complété exactement k paires.
3. Déterminer la valeur de k la plus probable.

Exercice

On introduit les matrices A = [[1 ;0 ;0 ;]][−4 ;5 ;−4 ;]][−2 ;2 ;−1 ;]] et B = [[0 ;0 ;0 ;]][2 ;−2 ;2 ;]][1 ;−1 ;1 ;]]

1. Calculer A².
2. Montrer qu'il existe un réel x tel que B² = xB.
3. Montrer qu'il existe un réel λ tel que A = I₃ + λB et recalculer A² à l'aide de cette relation.
4. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N il existe un réel a_n tel que Aⁿ = [[1 ;0 ;0 ;]][2a_n ;1 − 2a_n ;2a_n ;]][a_n ;−a_n ;1 + a_n ;]], en précisant la valeur de a₁ et un relation de récurrence sur la suite (a_n).
5. Déterminer le terme général de la suite (a_n).

Exercice

Pour tout x ∈ R^+∗, on pose f(x) = ∫₁^x e^−u/u) du.

1. Montrer que la fonction est bien définie et dérivable en précisant l'expression de sa dérivée et ses variations.
2. Montrer que pour tout x ≥ 1 on a f(x) ≤ ∫₁^x e^−u du. En déduire que la fonction f admet une limite finie en +∞.
3. Montrer que pour tout x ≤ 1 on a f(x) ≤ ∫₁^x 1/eu) du. En déduire la limite de f en 0.

Exercice

Une urne contient n boules indiscernables au toucher mais numérotées de 1 à n, avec n ≥ 3. On tire les boules une à une sans remise.

1. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « les boules numérotées 1, 2 et 3 sortent dans cet ordre »
   B : « les trois premières boules tirées sont les boules numérotées 1, 2 et 3 (dans un ordre quelconque) ».
2. Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
3. Pour quelles valeurs de n a-t-on P(A) ≤ P(B) ?

Exercice

On considère une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire. On tire successivement et avec remise une boule de l’urne en rajoutant une boule de la même couleur. On note B_n le nombre de boules blanches dans l’urne avant le n-ième tirage. En particulier, on a B₁ = 1.

1. Déterminer la loi de B₂ et de B₃.
2. Pour tout (n, k) ∈ N × N^∗, exprimer la probabilité P(B_n+1 = k) en fonction de la loi de B_n.
3. Déterminer la loi de probabilité de B_n pour tout n ∈ N^∗.

Exercice

Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout n ≥ 2 on ait 1/n³ − n) = a/n) + b/n + 1) + c/n − 1) et en déduire la somme de la série de terme général 1/n³ − n).

Exercice

On considère dans tout l'exercice quatre variables aléatoires notées (X₁, X₂, X₃, X₄), indépendantes et suivant une même loi de Bernoulli, à valeurs dans {0 ; 1}, de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On note alors M = [[X₁ ;X₂ ;]][X₃ ;X₄ ;]] la matrice (aléatoire) obtenue.

1. Préciser le nombre de valeurs possibles pour la matrice M.
2. Déterminer la probabilité pour que  M = [[1 ;1 ;]][0 ;1 ;]].
3. Montrer que la matrice M est inversible si et seulement si X₁X₄ = 0 et X₂X₃ = 1 ou si X₁X₄ = 1 et X₂X₃ = 0.
4. En déduire que la probabilité que la matrice M soit inversible s'écrit q = 2p²(1 − p²).
5. Déterminer la valeur de p qui maximise la probabilité précédente.
6. Montrer de même que la probabilité que M soit diagonalisable s’écrit 1 − 2p + 6p² − 8p³ + 4p⁴.
7. Montrer que la probabilité précédente est minimale pour p = 1/2.

Exercice

Soit u₀ = 2. On pose pour tout n ∈ N, u_n+1 = (u_n − √(u_n))².

1. Montrer que la suite est bien définie et positive.
2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 on a 0 < u_n < 1.
3. Déterminer les variations de la suite et justifier qu’elle converge en précisant sa limite.
4. Montrer que la suite des quotients (u_n+1 / u_n) converge en précisant sa limite.
5. En déduire la nature de la série de terme général u_n.
6. Calculer ∑_n∈N u_n.

Exercice

Lors d’un pénalty, un joueur de football choisit un côté (avec une probabilité p pour le côté gauche) et effectue un bon tir avec une probabilité de 9/10 s’il vise à gauche, et une probabilité de 7/10 s’il vise à droite. Au même moment, le gardien s’élance d’un côté avec une probabilité q de choisir le côté gauche (indépendamment du choix du joueur) et s’il a choisi le même côté que le joueur, il a 6 chances sur 10 d’arrêter un bon tir.

1. Quelle est la probabilité que le joueur effectue un bon tir ?
2. Quelle est la probabilité que le gardien s’élance du côté que le joueur a choisi ?
3. Montrer que la probabilité que le joueur effectue un bon tir qui ne soit pas arrêté par le gardien (et aboutissant ainsi à un but) s’écrit f(p, q) = 0,42 + 0,48p + 0,28q − 0,64pq.
4. Montrer que la fonction f admet un unique point critique en précisant les valeurs de p et q associées. Calculer la probabilité que le joueur marque un but dans ce cas.

Exercice

Pour tout réel x, on note M_x = [[1 ;0 ;0 ;]][x² ;1 ;x ;]][2x ;0 ;1 ;]]

1. Pour tout (x, y) ∈ R², calculer M_x × M_y.
2. Identifier M₀ et en déduire que toute matrice M_x est inversible.
3. Calculer M_x³ − 3M_x² + 3M_x − I₃.

Exercice

On considère une urne contenant 9 boules blanches et une boule rouge, indiscernables au toucher.

1. On tire une boule au hasard de l'urne. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?
2. Si la première boule tirée est blanche, on continue à tirer des boules sans les remettre, jusqu'à tirer la boule rouge. Quelle est la probabilité que la boule rouge apparaisse au k-ième tirage ?
3. On remet toutes les boules dans l'urne et on reprend l'expérience, mais cette fois on remet à chaque étape la boule tirée dans l'urne. Pour tout entier naturel k ≤ 9, calculer la probabilité d'effectuer k tirages de boules blanches puis de tirer la boule rouge.

Exercice

On considère les deux matrices A = [[1 ;−1 ;0 ;]][−1 ;1 ;0 ;]][0 ;0 ;2 ;]] et B = [[0 ;0 ;1 ;]][0 ;0 ;−1 ;]][1 ;−1 ;−1 ;]].

1. Ces deux matrices commutent-elles ?
2. Montrer que les produits A², AB, BA et B² s'écrivent tous sous la forme aA + bB avec (a, b) ∈ R².

Exercice

Soit n ∈ N^∗.

1. Montrer que pour tout entier k > n on a k!/n!) ≥ (n + 1)^k−n.
2. En déduire que la série ∑_k>n1/k!) est majorée par 1/n × n!).
3. Calculer une valeur approchée de e à 0,001 près.

Exercice

1. Montrer que pour tout entier n ∈ N^∗, l'équation xⁿ + nx = 1 admet une unique solution strictement positive, que l'on notera x_n. (On pourra commencer par traiter les cas n ≤ 3.)
2. Montrer que la suite (x_n) est décroissante et majorée par 1.
3. Déterminer la limite de la suite (x_n).

Exercice

Soit n ∈ N^∗. Déterminer les variations et limites de la fonction g : x ↦ (1 − xⁿ)^1/n sur l'intervalle [0 ; 1].

Exercice

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On lance n fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.

1. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « on obtient au plus une fois Face »
   B : « on obtient au moins une fois Face et au moins une fois Pile ».
2. Montrer qu'il existe une valeur de n pour laquelle les évènements A et B sont indépendants.

Exercice

1. Déterminer les racines imaginaires pures du polynôme P = 2 X³ − 5 X² + 6 X − 15.
2. Factoriser le polynôme P et en déduire toutes ses racines.

Exercice

1. Étudier les variations et limites de la fonction définie pour tout x ∈ R∖{1} par f(x) = x² + 1/x − 1).
2. Tracer l'allure de sa courbe représentative en précisant sa position relative par rapport à la première bissectrice.
3. Soit u₀ ∈ ]1 ; +∞[. Justifier que l'on peut définir une suite u par récurrence en posant pour tout n ∈ N, u_n+1 = f(u_n).
4. Montrer que pour tout n ∈ N^∗ on a u_n ≥ 2(1 + √(2))
5. Montrer que la suite u est croissante et préciser sa limite.

Exercice

On définit pour tout polynôme P ∈ R[X], f(P) = P(X + 1) + P(X − 1) − 2P(X). Déterminer le degré et le coefficient dominant de f(X^p) pour tout entier p ≥ 0.

Exercice

On définit par récurrence une suite de polynômes par P₀ = 1, P₁ = X et pour tout n ∈ N, P_n+2 = 2 X P_n+2 − P_n+1.

1. Calculer P_n pour n ≤ 5.
2. Montrer que pour tout n ∈ N, les coefficients de P_n sont des entiers relatifs.
3. Pour tout (a, b) ∈ R², exprimer cos(a + b) et sin(a + b) en fonction de cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b).
4. Pour tout (n, x) ∈ N × R, exprimer cos((n + 2)x) en fonction de cos((n + 1)x), cos(nx) et cos(x).
5. En déduire que pour tout (n, x) ∈ N × R on a P_n(cos(x)) = cos(nx).
6. Déterminer les racines de P_n pour tout n ∈ N et en déduire une décomposition dans C[X] et dans R[X].

Exercice

On considère la suite réelle définie pour tout entier naturel n, I_n = ∫₁^e (ln(x))ⁿ dx .

1. Calculer les valeurs de I₀ et I₁.
2. À l'aide d'une intégration par parties, déterminer une relation de récurrence sur la suite (I_n).
3. Déterminer le signe et les variations de la suite (I_n).
4. En déduire que la suite (I_n) converge et préciser sa limite.

Exercice

On considère un tournoi dans lequel chaque participant doit rencontrer une seule fois chacun des autres lors d'un match qui se conclut par la victoire de l'un des deux joueurs. On note n le nombre de participants.

1. Si n = 4, calculer le nombre de rencontres. Montrer qu'on peut répartir ces rencontres sur trois journées, de façon à ce que chaque participant joue exactement une rencontre par jour.
2. Plus généralement, si n est pair, en notant n = 2k, calculer le nombre de rencontres et montrer qu'il existe au moins un participant à remporter au moins k victoires.
3. Combien faut-il de journées au minimum pour répartir toutes les rencontres sans qu'un participant ne joue plusieurs rencontres dans la même journée ?
4. Reprendre la question précédente dans le cas où n est impair.

Exercice

Pour tout n ∈ N on note w_n = ∫₀^π/2 sinⁿ(x) dx.

1. Calculer w₀ et w₁.
2. Déterminer les variations de la suite w et montrer qu'elle converge et ne s'annule jamais.
3. Montrer que pour tout n ∈ N on a w_n+2 = n+1/n+2) w_n.
4. En déduire que la suite ((n + 1)w_nw_n+1) est constante et préciser sa valeur.
5. Déterminer la limite de la suite w.
6. Montrer que pour tout n ∈ N, on a 1 ≥ w_n+1/w_n) ≥ n + 1/n + 2).
7. Montrer l'équivalent w_n ∼_n→+∞ √(π/2n)).

Exercice

Soit a ∈ R^∗+. Étudier la convergence de la suite définie par u₀ = a et pour tout n ∈ N, u_n+1 = u_n²/1 + u_n²).

Exercice

Montrer que les suites définies pour tout n ∈ N^∗ par S_n = ∑_k=0ⁿ 1/k!) et V_n = S_n + 1/n! n) sont adjacentes.

Exercice

Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme P_n = Xⁿ + Xⁿ⁻¹ + ⋯ + X − 1 = (∑_k=1ⁿ X^k) − 1.

1. Pour tout n ∈ N, montrer que le polynôme P_n a une unique racine réelle positive, que l'on notera x_n.
2. Démontrer l'inégalité P_n+1(x_n) > 0 pour tout n ∈ N et en déduire que la suite (x_n) est décroissante.
3. Démontrer que la suite (x_n) est convergente. On notera ℓ sa limite.
4. Pour tout n ∈ N, calculer Q_n = (X − 1) × P_n et vérifier que Q_n(x_n) = 0.
5. Montrer que lim_n→+∞ x_nⁿ = 0 et en déduire la valeur de ℓ.

Exercice

Soit n ∈ N. Pour tout p ∈ ⟦0 ; n⟧ on note N(n, p) le nombre de permutations de ⟦1 ; n⟧ avec exactement p points fixes.

1. Décrire toutes les permutations sur l'ensemble {1 ; 2 ; 3} et en déduire les valeurs de N(3 ; p).
2. Démontrer les relations N(n, p) = (p parmi n) N(n − p, 0) et ∑_p=0ⁿ = n!

Exercice

Soit α un réel non nul. On note M = [[α ;−1 ;0 ;]][1 ;α ;0 ;]][0 ;0 ;α ;]].

1. Montrer que la matrice M est inversible et calculer son inverse.
2. Soit (a, b, c) ∈ R³. Montrer que la fonction définie pour tout réel x par f(x) = e^αx (a sin(x) + b cos(x) + c) admet une primitive s'écrivant pour tout réel x F(x) = e^αx (A sin(x) + B cos(x) + C) avec (A, B, C) ∈ R³. Montrer que dans ce cas on a [[A ;]][B ;]][C ;]] = M⁻¹[[a ;]][b ;]][c ;]].

Exercice

1. Calculer ∫₀¹ ln(1 + x) dx.
2. En déduire que la suite de terme général 1/n) ((2n)!/n!))^1/n converge et préciser sa limite.
3. De même, déterminer la limite de 1/n)(n!)^1/n.
4. Soit n > 1 un entier. Dans une classe de 4n enfants, avec autant de filles que de garçons, le professeur d’EPS décide de constituer aléatoirement deux équipes de même effectif 2n, uniformément parmi les possibilités. Quelle est la probabilité que ces deux équipes soient chacune à parité (c’est-à-dire, constituées de n filles et n garçons chacune) ? À l’aide des résultats précédents, peut-on calculer un équivalent de son logarithme lorsque n tend vers l’infini ?

Exercice

On définit trois suites réelles u, v et w par [[u₀ ;]][v₀ ;]][w₀ ;]] = [[1 ;]][1 ;]][−1 ;]] et pour tout n ∈ N, [[u_n+1 ;]][v_n+1 ;]][w_n+1 ;]] = [[2u_n + 3v_n − 3w_n ;]][−u_n + w_n ;]][−u_n + v_n ;]].

1. Déterminer une matrice A telle que pour tout n ∈ N, [[u_n+1 ;]][v_n+1 ;]][w_n+1 ;]] = A[[u_n ;]][v_n ;]][w_n ;]].
2. Pour tout n ∈ N, exprimer [[u_n ;]][v_n ;]][w_n ;]] en fonction de [[u₀ ;]][v₀ ;]][w₀ ;]] A et n.

Exercice

Déterminer les polynômes P ∈ R[X] tels que

• P = P′(X²/2)
• P = (P′)³
• P = (P′)²
• Q ∈ R[X] : P = P′ ∘ Q
• Q ∈ R[X] : P = Q ∘ P′

Exercice

On pose A = [[0 ;1 ;0 ;]][0 ;0 ;1 ;]][1/3 ;1/3 ;1/3 ;]], et P = [[0 ;0 ;0 ;]][1 ;3 ;3√(2) ;]][1 ;1 ;−2√(2) ;]]. Montrer que la matrice P est inversible et calculer P⁻¹AP.

Exercice

On considère la suite définie par u₀ = 1/2 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = 1 + u_n²/2).

1. Montrer que la suite (u_n) converge et préciser sa limite ℓ.
2. Pour tout n ∈ N on pose v_n = 1/1 − u_n). Montrer que la suite (v_n) est bien définie et que pour tout n ∈ N, v_n = v₀ + ∑_k=1ⁿ⁻¹ 1/1 + u_k).

Exercice

On définit f(0) = 0 et pour tout x ∈ R∖{0}, f(x) = x² sin(1/x) + x/4.

1. Montrer que la fonction f est dérivable sur R avec f′(0) = 1/4.
2. On note x_k = 1/2kπ) pour tout k ∈ N^∗. Montrer que lim_k→+∞ x_k = 0 mais que pour tout k ∈ N^∗, f′(x_k) < 0.

Exercice

On effectue un sondage au cours duquel on demande à chaque personne interrogée si elle a consommé des stupéfiants l'année écoulée. Afin que les réponses ne puissent être utilisées pour mettre qui que ce soit en cause, on ne demande pas de répondre par « oui » ou par « non » mais de lancer d'abord un dé à six faces équilibrées. Sur deux faces, le « oui » est codé par un triangle et le « non » par un carré. Sur les quatre autres faces, le codage est inversé. On note p la proportion d'individus ayant consommé des stupéfiants l'année écoulée et on suppose que les sondés constituent un échantillon représentatif.

1. Si un sondé a consommé des stupéfiants, quelle est la probabilité qu'il réponde par un triangle ?
2. Calculer la probabilité qu'un sondé réponde par un triangle.
3. Sachant qu'un individu répond par un triangle, quelle est la probabilité qu'il ait consommé des stupéfiants ?

Exercice

Soit (u_n) une suite réelle telle que pour tout (m, n) ∈ N² on ait u_m+n ≤ u_m + u_n.

1. Montrer que la suite définie pour tout n ∈ N par v_n = min_k≤n u_k est bien définie et admet une limite.
2. Montrer que pour tout (m, n) ∈ N² on a u_mn ≤ mu_n.
3. Supposons que (v_n) converge avec une limite ℓ. Soit ε ∈ R^+∗.
   1. Justifier qu'il existe m ∈ N^∗ tel que u_m/m ≤ ℓ + ε.
   2. Montrer que lim_n→+∞ u_m/m = ℓ. (On pourra utiliser la division euclidienne de n par m.)
4. Un chemin auto-évitant est une suite (X₀, … , X_n) de points distincts à coordonnées entières dans le plan avec X₀ à l'origine et telle que la distance entre deux points successifs soit égale à 1. En notant c_n le nombre de chemins auto-évitant de longueur n, montrer que la suite (c_n^1/n) converge.

Exercice

Pour tout entier n ≥ 1, on note I_n = ∫₀¹ x²ⁿ/1 + xⁿ) et J_n = ∫₀¹ x²ⁿ⁻¹/1 + xⁿ).

1. Déterminer la limite de la suite (I_n).
2. Calculer J_n pour tout entier n ≥ 1. (On pourra utiliser un changement de variable.)
3. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, on a |I_n − J_n| ≤ 1/2n(n+1).
4. En déduire un équivalent simple de la suite (I_n).

Exercice

Déterminer trois polynômes P, Q et R tels que pour tout (x, y) ∈ R² on ait 1 + xy + x²y² = P(y) + Q(y) × (1 − x + x²) + R(y) × (1 + x + x²).

Exercice

Vérifier que les fonctions suivantes définissent des bijections de R⁺ sur ]0 ; 1] et déterminer dans chaque cas une expression de la réciproque :

• x ↦ e^−3x
• x ↦ 1/1 + x²)
• x ↦ 1/ln(e + x))

Exercice

Soit n ∈ N. On appelle chemin de longueur n une suite (X₀, … , X_n) de points de coordonnées entières dans le plan avec X₀ à l'origine et telle que la distance entre deux points successifs vaille toujours 1. Par exemple, (0 ; 0), (1 ; 0), (1 ; 1), (1 ; 0), (1 ; −1) constitue un chemin de longueur 4.

1. Combien y a-t-il de chemins de longueur 1 ? de longueur 2 ? de longueur n ?
2. Combien y a-t-il de chemins de longueur n qui ne reviennent pas en arrière, c'est-à-dire qui vérifient pour tout i ∈ ⟦1 ; n − 1⟧, X_i−1 ≠ X_i+1 ?
3. En déduire la probabilité p_n qu'un chemin de longueur n choisi au hasard de façon équiprobable ne revienne jamais en arrière. Préciser la limite de la suite (p_n).
4. On dit qu'un chemin est auto-évitant si tous ses points sont deux à deux distints. En notant c_n le nombre de chemins auto-évitants de longueur n, montrer qu'on a c_m+n ≤ c_mc_n.

Exercice

Montrer que la matrice A = [[1 ;−3 ;−1 ;]][1 ;2 ;1 ;]][4 ;5 ;3 ;]] est inversible et calculer son inverse.

Exercice

Pour tout (j, k) ∈ N², calculer ∫₀^2π cos(jx) cos(kx) dx, ∫₀^2π cos(jx) sin(kx) dx et ∫₀^2π sin(jx) sin(kx) dx.

Exercice : Polynôme d’interpolation

On considère une fonction polynomiale P : x ↦ ax³ + bx² + cx + d, où a, b, c, d sont 4 réels fixés.

1. Déterminer les coefficients a, b, c, d pour que la fonction vérifie les quatre équations P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 4 et P(3) = 8.
2. Étudier les variations de cette fonction, puis montrer qu’il existe un unique réel α tel que P(α) = 0.

Exercice

Paradoxe des anniversaires