Devoir surveillé n^o 4 de mathématiques en HKBL

Probabilités

On choisit aléatoirement quatre élèves distincts d'une classe de 48, de façon équiprobable.

1. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? Si vous êtes élève de cette classe, combien y a-t-il de combinaisons qui vous contiennent ?
2. En supposant qu'on choisit les 4 élèves successivement et en retenant l'ordre dans lequel ils sont choisis, combien y a-t-il de tirages possibles ? Cela change-t-il la probabilité d'être choisi ?
3. Le lendemain, on choisit à nouveau quatre élèves distincts en suivant le même procédé, donc en gardant la possibilité qu'un élève choisi la veille soit choisi à nouveau. Calculer le nombre de tirages possibles sur les deux jours et le nombre de tirages sans répétition. En déduire la probabilité qu'il n'y ait aucun élève choisi deux fois.
4. On répète le procédé sur 6 jours. Calculer la probabilité qu'aucun élève ne soit interrogé deux fois et en donner une valeur approchée.

Intégrales

Soit a ∈ R^∗+. On pose pour tout n ∈ N, u_n = a²ⁿ⁺¹/n! ∫₋₁¹ (1 − t²)ⁿ e^ta dt.

1. Calculer u₀ et montrer u₁ = (2a − 2)e^a + (2a + 2)e^−a.
2. À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que pour tout n ∈ N on a u_n+2 = −(4n + 6) u_n+1 + 4a²u_n.
3. Justifier que la suite (u_n) est positive et en déduire que pour tout n ∈ N on a u_n ≤ 2a²ⁿ⁺¹/n! e^a.

Puissances de matrices

On note A = [[1 ;1 ;1 ;]][1 ;1 ;1 ;]][1 ;1 ;1 ;]] et B = [[3 ;1 ;1 ;]][1 ;3 ;1 ;]][1 ;1 ;3 ;]].

1. Calculer A² et exprimer le résultat linéairement en fonction de A. En déduire pour tout n ∈ N^∗ une expression de Aⁿ comme multiple de A.
2. Exprimer la matrice B comme une combinaison linéaire de A et de la matrice identité I₂. En déduire une expression de B² comme combinaison linéaire de B et I₂. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
3. Donner une expression de Bⁿ pour tout n ∈ N^∗.